10 Beräkning av dubbelintegraler

Transkript

1 Nr,7april-,Amelia Beräkning av dubbelintegraler. Bte av integrationsordning Eempel (96) Kasta om integrationsordningen i a) b) c) Z Z e Z 6 Z d d d Z ln Z f(, )d f(, )d f(, )d. Lösning: Med hjälp av figurer framgår de na gränserna i dessa integraler, efter bte av integrationsordning. a) Vi skriver ut variablerna i integralens gränser för tdlighets skull: Z Z d f(, )d Alltså är kurvorna,,och gränser för området. Vi ritar ut dessa kurvor. et ger den vänstra figuren nedan: Här är området bergänsat av de två kurvorna och ihöjdled,alltsåiled pga R...d. Notera att är den undre kuvan (t < om <<). I sidled (-led) har vi begränsning i form av de lodräta linjerna och, pga R...d. Kvar blir den smala "skäran" i den vänstra figuren, från till.

2 Om vi istället integerar i sidled så har vi som variabel. å går vi från den vänstra kurvan till den högra. å får vi med precis samma punkter om vi i -led befinner oss mellan och. Med dessa gränser täcker vi samma område. Alltså: Z Z Z Z d f(, )d d f(, )d. b) Här har vi R e d R ln f(, )d, och kurvorna, e, och ln är ritade i den vänstra figuren nedan: Till höger startar vi istället med kurvan ln, eller e, och slutar med kurvan e. å måste ligga mellan och. Alltså: Z e Z ln Z Z e d f(, )d d f(, )d. e c) I R 6 d R f(, )d är vi mellan till och mellan 6 till. Figuren nedan visar att gränserna i -led går precis i skärningarna mellan och, sominträffar i ( 6, 8) och (, ) (lös ekvationen ).

3 Men för att bta integrationsriktning måste vi dela upp området i två delar, genom ett snitt i linjen Inverserna till är ±, beroende på område. I den vänstra kan vi då i -led integrera från till, och då har vi i -led begränsningarna och 8. I det högra området kan vi i -led integrera från till, och har i -led begränsningarna och. Vifårenintegralfördenvänstra biten plus en integral för den högra:

4 Z 6 Z d f(, )d Z 8 Z Z d f(, )d + d Z f(, )d.. Beräkning av dubbelintegraler Eempel (97e) Beräkna dd där är frhörningen med hörn i (, ), (, ), (, ) och (, ). Om vi delar detta område i två delar enligt den högra figuren nedan kan vi integrera i -led, t i -led är då gränserna konstanter en undre delen begränsas av och, samt av och. en övre begränsas av / och samt av och. Alltså: dd dd + dd Z d Z d + Z Z d d. /

5 Vi löser dem var och en för sig. Först över : Z d Z d { är en konstant under -integrationen} {insättning av gränser} Z Z Z [ ] d ( )d ( )d [ 9 9 ] Integralen över blir Z Z d / d Z {insättning av gränser} Z Z [ ] / d ( )d ( )d [ ] 9. Så dd dd + dd Svar: 9 9. Eempel (97f) Beräkna (, ), (, ) och (, ). dd om är triangeln med hörnen +

6 Lösning: Området begränsas av linjerna, och. Vi kan välja på två itererade integraler: Z Z p dd d p d + + eller (observera gränserna!) Z p dd + Z d p + d. Integralen R d är inte så lätt att lösa, så vi provar den andra vägen. + Z Z d p d { p är en konstant + + Z under -integrationen} [ p + ] d {insättning av gränser} Z Z ( p )d + p + d. Med substitutionen t, som ger d dt och gränserna t och t kan denna intgral lösas: Z p d + Z dt {standardintegral} +t [ln(t + p +t )] (ln( + ) ln ) ln( + ). 6

7 Svar: dd + ln( + ). Eempel (97l) Beräkna ( + )dd om { + }. Lösning: Området är här smmetriskt runt origo: Här räcker det att integrera i första kvadranten ( och ) pågrund av integrandens och områdets smmetri. Genom successiva speglingar i -och -aeln har att (, ) (, ) (, ) (, ) och att Av smmetriskäl får vi då ( + )dd ( + )dd där {+,, }. I är och, så + +. å får vi ( + )dd ( + )dd Z Z d Z ( + )d [ + ] d 7

8 Z ( ( ) + )d [ 6 ( ) + ] ( ( 6 )). Svar:. Eempel (97u) Beräkna dd om { + }. Lösning: Enhetscirkeln{ + } kan integreras som {, } eller som {, p p }, vilket svarar mot -led respektive -led. Med integranden är det lämpligt att integrera i -led först, för då kommer vi att bli av med rötterna efter den första integrationen. Z Z dd d d Z [ ] d Z d. Z [ ( ) ( ) )d Vi har en smmetri i området höger-vänster, som svarar mot att integranden bter tecken ( ). ärför har vi två bidrag till volmen som skiljs av -aeln. e är identiska bortsett från att de har olika tecken, varför summan är noll. enna observation kunde göras genast, i vilket fall kalkl helt kan undvikas. Observera att vi då både behöver områdets smmetri och integrandens antismmetri (teckenbte). Svar: dd. 8