Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm

Transkript

1 Tentamen i Matematik, HF93, 9 oktober, kl Hjälpmedel: Endast ormelblad miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng. Betgsgränser: För betg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, 3 respektive poäng. Den som uppnått 9 poäng år betget F och har rätt att komplettera. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgiter. Eaminator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm Uppgit. Denna uppgit kan du som är godkänd på KS hoppa över. a) Bestäm deinitionsmängden ör ) p) b) Beräkna gränsvärdet p) c) Beräkna gränsvärdet till d) Bestäm derivatan, sin cos sin p) p) Uppgit. a) Betrakta tangenten till kurvan 8 i, ). I vilka punkter skär denna tangent koordinatalarna. p) b) Bestäm största och minsta värdet ör unktionen ) p)

2 Uppgit 3. Lös öljande obestämda integraler. 3a) Beräkna integralen, 3 p) 3b) Låt ) ). Bestäm arean av det område området som ligger mellan kurvan ), och aeln då. p) Uppgit. Betrakta unktionen. Bestäm unktionens eventuella asmptoter, samtliga etrempunkter min och ma) och rita graen till unktionen. p) Uppgit 5. 5a) z, ) är en unktion av två variabler. Bestäm koordinaterna,, z) ör eventuella stationära punkter. Bestäm också de stationära punkternas karaktär ma-, min- eller sadelpunkt). p) 5b) Bestäm värdet av öljande dubbelintegral: ) D dd där området D i -planet är en rektangel med hörn i punkterna: -,), -,5),,) och,5), p) Uppgit 6. Man kan använda dubbelintegraler ör att bestämma tngdpunkten, och ttröghetsmoment ör ett plant område. Formlerna inns på ormelbladet. ) För området D :, se Fig ) bestäm 6 a) Tngdpunkten p) 6 b) Yttröghetsmoment med avseende på aeln p) 6c) Yttröghetsmoment med avseende på aeln p) Fig. Lcka till!

3 FACIT: Uppgit. Denna kan du som är godkänd på KS hoppa över. a) Bestäm deinitionsmängden ör ) p) b) Beräkna gränsvärdet p) c) Beräkna gränsvärdet till sin cos sin p) d) Bestäm derivatan, a) Funktionen ) är deinierad om 6 8 ) ) ås t e genom teckenstudie). SVAR: Deinitionsmängden är. Rättningsmall: Rätt eller Fel b) Eter örkortning med // erhålls SVAR: 3 Rättningsmall: Helt rätt poäng. c) kan lösas t.e genom att brta ut i både täljare och nämnare. / sin cos sin sin ) sin cos ) SVAR: Rättningsmall: Rätt eller Fel c) Enligt kvotregeln blir derivatan, SVAR: ) ) )

4 Rättningsmall: Helt rätt poäng. Uppgit. a) Betrakta tangenten till kurvan 8 i, ). I vilka punkter skär denna tangent koordinatalarna. p) b) Bestäm största och minsta värdet ör unktionen ) p) a) Funktionen 8 beskriver en cirkel med medelpunkten i origo och radien 8. Punkten -,) stämmer med ekvationen. 8, Tangentens lutning k värdet) i punkten -,) är k - Tangentens ekvation - - -)), dvs ger och ger. Punkterna blir, ) och -, ) Rättningsmall: Derivatan rätt poäng, Punkterna rätt poäng. b) 6 ) 6 8 ) 3 Teckenstudie av ) ger mapunkt ör 3. Intervallets ändpunkter samt mapunkt: ) 3, ) 3, 3). SVAR: Största värde är och minsta värde är 3. Rättningsmall: p ör största värdet och p ör minsta värdet. Uppgit 3. Lös öljande obestämda integraler. a) Beräkna integralen, 3 p) b) Låt ) ). Bestäm arean av det område som deinieras av ), p) 3a) Börja med att aktorisera nämnaren,

5 gör sedan en partialbråksuppdelning enligt 6 ger A och B 3 ln)ln-3)c, 3 Rättningsmall: Rätt värde på A och B poäng, helt rätt p. Inget poängavdrag om konstanten C är utelämnad.) 3b) Arean ) d Integralen löses via variabelsubstitution. Sätt t t d tdt t t ) d t )) t t dt Ger p 3 5 t t t t ) dt Ger p SVAR: 5 Uppgit. Uppgit. Betrakta unktionen. Bestäm unktionens eventuella asmptoter lodräta/vågräta/sneda ), samtliga etrempunkter min och ma) och rita graen till unktionen. p) Funktionen är deinierad ör alla. Asmptoter: En vågrät horisontell) asmptot: etersom ), ) ) Stationära punkter: ', ) ' ± Två stationära punkter: A-,-) minimum kriterium med örstaderivatans tecken) B, ) maimum

6 Graen: Rättningsmall: Korrekta asmptoter p. Korrekta stationära punkter p varje punkt ger poäng. Graenp Uppgit 5. 5a) ), z är en unktion av två variabler. Bestäm koordinaterna,, z) ör eventuella stationära punkter. Bestäm också de stationära punkternas karaktär ma-, min- eller sadelpunkt). p) 5b) Bestäm värdet av öljande dubbelintegral: D dd ) där området D i -planet är en rektangel med hörn i punkterna: -,), -,5),,) och,5), p) 5a) Partiella derivator av ), z : 6, 8,, Stationära punkter inns där, d.v.s.: Det inns alltså en stationär punkt, i -3, ). Funktionsvärde: ) 6 3) 3,) Punktens karaktär? Andraderivator används: > samt > Det är öljaktligen ett minimum i den stationära punkten. Svar: Funktionen har en minpunkt i -3, -7). Rättningsmall: Korrekt beräkning av minpunktens koordinater åtminstone och ) p

7 5b) ) dd D Området D kan beskrivas med: och 5 Integrera örst i -led: D 5 5 ) dd ) d d ) d 5 ) d d 5 5 [ ] 5 ger poäng ) Svar: Dubbelintegralens värde är. Uppgit 6. Man kan använda dubbelintegraler ör att bestämma tngdpunkten, och ttröghetsmoment ör ett plant område. Formlerna inns på ormelbladet. ) För området D :, se Fig ) bestäm 6 a) Tngdpunkten p) 6 b) Yttröghetsmoment med avseende på aeln p) 6c) Yttröghetsmoment med avseende på aeln p) 6a) Tngdpunkten. Vi använder ormlerna AreanD) d 3 Därör och /3 3 3 Svar a: T 3/, 3/) b) Yttröghetsmoment med avseende på aeln / /

8 Svar b) c) Yttröghetsmoment med avseende på aeln Svar c) Rättningsmall: Korrekt a-delen ger poäng poäng ör varje koordinat) ; b-delen ger poäng, c-delen ger poäng. 5