Linjer och plan (lösningar)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Linjer och plan (lösningar)"

Transkript

1 Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC µ + + =, + +, z + z + z 0. Koordinaterna för punkten P är definitionsmässigt lika med koordinaterna för vektorn OP OQ = OP = ³ OA + AP = = µ OA + AB = (,, ) + 0 ((, 0, ) (,, )) = (, 8, 7) 06. Vad det handlar om, är att uttrcka CA som linjärkombination av CB och CD. Vad vi har att utgå ifrån är att AC = AB +AD AC = [figur!] = AB + BC AC = [figur!] = AD + DC Sätt andra och tredje ekvationens utrck för AB resp. AD in i den första: ³ ³ AC = AC BC + AC DC 4 AC = BC DC 4 CA = CB +CD CA = CB + CD 4 varav vi avläser koordinaterna, a) en sträcka : = (,, ) + (5, 5, 5) = 5 =,, Man kan också utnttja generaliseringen av mittpunktsformeln (övn. 08): OP = OA + OB Vi har tre olika alternativ, beroende på vilket hörn som ligger diagonalt emot ( 5, 0) : Om det är det sökta hörnet, så har det koordinaterna (, ) + (, ) ( 5, 0) = (8, ) Om (, ) ligger diagonalt mot ( 5, 0), så har det fjärde hörnet koordinaterna (, ) + ( 5, 0) (, ) = ( 6, 4) Om (, ) ligger diagonalt mot ( 5, 0) : (, ) + ( 5, 0) (, ) = ( 4, 4) 0 b) en oändlig remsa (inga krav på!) : 0 0

2 c) en parallellogram : f) en triangel : 0 0 d) en oändlig rad av punkter som tcks ligga på rät linje 08. Som föregående, men nu är det A som spelar rollen av (, 0) och B spelar rollen av (0, ). T.e.om A :(0, ),B:(, ) relativt koordinatsstemet i föreg. uppgift, låt OA och OB vara na koordinatalar, B 0 0 A e) hela den räta linjen i som antddes i d) (följer av utredningen i Sparr, avsn..) gradera dem så att A :(, 0),B:(0, ) ochgörettnttrutnät, så är problemet ekvivalent med föregående. T.e. är svaret på (a) återigen en sträcka : B 0 0 A

3 09. Enklast: (,k). 0. a) r = OA + t AB, 0 t Skriv nu AB = OB OA : r = ( t) OA + t OB, 0 t, alt. r = s OA + t OB, 0 s, t,s+ t = b) Till varje punkt X inuti (och på randen av) triangeln, finns Y på BC och 0 u, så att A X AX = u AY Enligt a) kan vi skriva AY = s AB + tac, 0 s, t, s+ t = Alltså OX = ³ OA+u s AB + tac, 0 s, t, s+t = Om vi nu låter s och t stå för us resp. ut : r = OA + s AB + tac 0 s, t, s+ t Sätt in AB = OB OA, AC = OC OA r = t OA + tob + toc, 0 t,t,t, t + t + t = Obs. Går man igenom räkningarna, skall man kunna inse att "koordinaterna" (t,t,t ) är entdigt bestämda: Två olika tripplar kan inte ge samma punkt. (Kan verka litet paradoalt, med tanke på att triangeln är en -dimensionell figur, men glöm inte villkoret t + t + t =.) C Y B c) r = OA + s AB + tad, 0 s, t Den andra varianten, med 4 vektorer r = t OA + tob + toc + t4od, 0 t,t,t,t 4, t + t + t + t 4 = undviker man kanske, eftersom framställningen inte är entdig: olika frtiplar (t,t,t,t 4 ) kan ge samma r : diagonalernas skärningspunk t.e. svarar mot såväl, 0,, 0 som 0,, 0, d) som c) : r = OA + s AB + tad + uae, 0 s, t, u e) som b) Till varje X inuti tetraedern, låt Y vara den punkt där strålen AX skär sidotan BCD. AX = u AY Enligt b) AY = s AB + sac + sad 0 s,s,s, s + s + s = och därmed OX = ³ OA + u s AB + sac + sad = = ³ OA + us OB OA + ³ ³ +us OC OA + us OD OA Alltså : = ( u) OA + us OB + us {z } {z} OC + us {z} OD {z} t t t t 4 r = t OA + tob + toc + t4od, 0 t,t,t,t 4 t + t + t + t 4 = (normerade) barcentriska koordinater

4 . Om t.e. P ligger på linjen P P, så OP = OP + t P P = = OP + t ³ OP OP och därmed ( t) OP + top +( ) OP = 0 Omvänt, om λ OP + λ OP + λ OP = 0, och t.e. λ 6=0, och λ = λ λ, så OP = λ OP λ OP = λ λ = λ + λ OP λ OP = λ λ = λ ³ OP OP + OP = λ = OP λ P P λ vilket säger att P ligger på linjen P P.. En ev. skärningspunkts koordinater (,, z) skall uppflla såväl planets som linjens ekvation. Med andra ord skall det gälla + z 5=0 = t =t z =+t för något reellt tal t Sätt uttrcken för,, z från de senare ekvationerna in i första: ( t)+t ( + t) 5 = 0 0 t 5 = 0 Ingen lösning Ingen skärningspunkt Linjen löper parallellt med, utanför planet.. ½ +z = + z = Addera ekv. till ekv.. Skriv -termerna sist ½ +z + = z +5 = = t z = 5t = z + = 7 t 4. Linjen på parameterform: (subtrahera (första ekv.) från den andra) = t = z = t Genom varje punkt på denna linje lägger vi en linje med riktningen (,, ) = t + s = +s z = t + s, s R och bestämmer dess skärningspunkt (uttrckt som funktion av t) med planet +z =4: ( t + s) ( +s)+(t + s) = 4 4s = t 7 s = (t 7) /4 = t + s = t = +s = t, t R z = t + s = t De här skärningspunkterna (en för varje t) utgör den sökta linjen. Vi kan förenkla dess ekvation något genom att bta ut parametern t mot +4u : = u = 4+u, u R z = +5u Kontroll att denna verkligen är innehållen i planet +z =4: ( u) ( 4+u)+( +5u) =4för alla u 5. I ekvationen för första flgplanet blir (,, z) =(, 4, 6) för t =, d.v.s. första flgplanet befinner sig i (, 4, 6) när t =. I ekvationen för andra glgplanet blir (,, z) =(, 4, 6) för t =, d.v.s. andra flgplanet befinner sig i (, 4, 6) när t =. Båda rutterna går alltså genom (, 4, 6), men flgplanen kolliderar inte, eftersom de befinner sig där vid olika tidpunkter. Sätt in dessa uttrck för,, z ideurspr.ekv. och kontrollera att likhet gäller för alla t! Svar: (,, z) =(0, 0, ) + t, 7, 5

5 6. Låt (,,a) vara skärn. punkten med och (,b,) skärn.punkten med. = a a + Alltså skall vara parallell med b = 4 b Linjens ekv. z 4 b = = a + ½ b = a =0. + t 7. Frågan är ekvivalent med: Finns tal t och s sådana att vektorerna +t t = +t +t +t t och +s +s = s +s 4+s +s är parallella? (Talen t och s skall ge oss skärningspunkterna. De parallella vektorerna linjens riktning.) Tittar vi på andra- och tredjekoordinaterna, ser vi att enda möjligheten är att +t = t t = Första vektorn är då (,, ) och den andra är parallell om Svar: Ja, linjen s = (+s) s = 4 = + t = + t z = + t som skär linjerna i (,, ) resp. (,, 0). 8. Sökta linjens skärningspunkter med de givna linjerna måste ha formen (t, 0, 0) resp. (0,s,). Dess riktning skulle då ges av såväl (p t, q, r) som (p, q s, r ) som alltså måste vara parallella. Om r 6= kan parallellitetsvillkoret formuleras p t p = q q s = r r Enda möjligheten för t är då t = p p r r och om även r 6= 0är enda möjligheten för s s = q/r Om däremot r =0, så är enda möjligheten att (p t, q, 0) = 0 (p, q s, 0 ) q =0 t = p s = godtcklig Om r =, så i stället (p, q s, ) = 0 (p t, q, ) p =0 s = q t = godtcklig 9. a) Vill ha b, så att följande ekvationssstem för s och t är lösbart ( + t, +t, +t) =(s, +s, b s) varav b = +t = s +t =+s +t = b s +t = s +t =+(+t) +t = b (+t) +t = s t = 7=b 6 b) Från a) kan vi avläsa skärningspunkten: t =i första linjens ekv. ger (, 5, 7) Planets ekv. på parameterform: = 5 + s z 7 + t 4

6 0. Dela upp e i vinkelräta komposanter, den ena parallell med, den andra vinkelrät mot e :. Lös ut e och e : ½ be =e +e a) be = e +6e ½ e = 8 (be be ) e = 6 (be be ) e θ e e e Linjen består av de punkter vars ortsvektor OP är parallell med den andra komposanten e cos θ e = e e =[relativt basen e, e ] = µ, Alltså svar: µ µ / = t e e + e = 4 (be be ) 6 (be be ) = 6 be 6 be b) Sambandet mellan koordinaterna relativt de olika sstemen fås ur b be + b be = e + e = 8 (be be ) 6 (be be ) ½ b = 8 6 Därför b = b + b = 0 µ 8 µ = = 0 = t = + =0 5

7 . Linjens ekvation på parameterform: ½ = t, t godtcklig = 4 t OP= OP 0 + tv, där OP 0 = (0, 4), v =(, ) med avseende på den urspr. basen Sambandet mellan na och gamla basvektorer (eftersom OP =(, 0) och PQ =(, ) relativt den gamla basen) : ½ e 0 = e e 0 = e +e ½ e = e 0 e = e + e0 = e0 + e0 Alltså O 0 P 0 = e 4e = e 0 e 0 v = e e = e 0 e 0 e 0 = e 0 e 0 I det na sstemet har vi ekvationen O 0 P = O P 0 + tv där O P 0 = (, ), v =(, ) med avseende på den na basen d.v.s. ½ 0 = t 0 = t, t godtcklig eller ekvivalent 0 = 0 vilket fås ur 0 + = t = 0 +. Alternativ : Utgå från en parameterformekvation och eliminera: OP = OP + s P P + t P P = s +at = +t z = s t t = s = at = a + a z = ( a + a) ( ) Den sista ekvationen är den som efterfrågas: (a ) + z = a Alternativ : Vi söker A, B, C och D, sådana att alla de tre punkternas koordinater uppfller A + B + Cz = D B +C = D A + B + C = D Aa +B + C = D B = D C A = D B C = C ac +(D C)+C = D därdensistaekv.ärekviv.med D = ( a) C Planets ekvation skall alltså ha formen C +( a) C + Cz = ( a) C +( a) + z = a (Fallet C =0ger inte ett plan utan hela rummet.) 6

8 4. Låt oss bestämma oss för att uttrcka allt i de tre linjärt oberoende vektorerna AB, AD och AE. Vektorn AP kan vi uttrcka på två olika sätt. Å ena sidan AP = t AG för något tal t ³ = t AB + BC + CG ³ = t AB + AD + AE Å andra sidan AP = AD + s v + s v där s,s är tal och v, v är två vektorer som spänner upp planet. Vi kan ta v = AE AD v = AB + BC AD = AB AD Därmed t AB + tad + tae = s AB + µ s s AD + s AE I och med att vektorerna är linjärt oberoende, så måste t = s t = s + s t = s vilket ger t = 7 µ s = 4 7,s = 7 Det sökta förhållandet är alltså :5 Alternativt sätt att formulera (egentligen) samma räkningar: Tänk dig ett koordinatsstem med A som origo och med koordinatalar så att intilliggande hörnen får koordinaterna B :(, 0, 0),D:(0,, 0),E:(0, 0, ) och därmed G :(,, ). Planet skall alltså gå genom (0, 0, /), (, /, 0) och (0,, 0). Dess ekvation blir (ser man direkt med interceptformeln) av tpen A + +z = där A bestäms av att (, /, 0) skall uppflla ekv. + +z = Detta plans skärning med linjen t (,, ) fås ur t + t +t = t = 7 5. Låt v, v, v, v 4 beteckna simmarnas hastigheter, t jk = tidpunkten då simmare j och k stöter ihop. Att, och möts parvis sinsemellan ger (t t ) v = (t t ) v +(t t ) v v = ( λ) v + λv med λ = t t t t Att, och 4 möts parvis sinsemellan ger (t 4 t ) v = (t 4 t ) v +(t 4 t 4 ) v 4 v = ( µ) v + µv 4 med µ = t 4 t 4 t 4 t Vi vill visa att det finns t sådant att (t t ) v = (t 4 t ) v +(t t 4 ) v 4 (t 4 t) v 4 +(t t ) v = (t 4 t ) v ( s) v 4 + sv = v med s = t t t 4 t Detta fås, om vi sätter vi de två uttrcken för v lika och omformar : ( λ) v + λv = ( µ) v + µv 4 λv µv 4 = (λ µ) v λ λ µ v µ λ µ v 4 = v Fallet λ = µ är uteslutet, eftersom det skulle innebära att v och v 4 är parallella. 7

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Skalärprodukt (lösningar)

Skalärprodukt (lösningar) Skalärprodukt (lösningar) 404. Nej : 40. Utnyttja definitionen u v u v cos θ u v 4 6 u och distributiviteten (u v) (u + v) u u 6v u + u v v v 4 5 6 0 (Ritar man noggrant, ser man att u v och u + v mycket

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor:

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor: Tentamen i MATEMATIK, HF 700 9 nov 007 Tid :5-7:5 KLASS: BP 07 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken tp som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Tentamen består av 8

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H Vektorer Detta material bygger på valda och delvis omarbetade delar av kompendiet Vektoralgebra av Hasse Carlsson. Dessutom har ett helt nyskrivet avsnitt om strömtriangeln lagts in. Inledning Du är säkert

Läs mer

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 25 augusti 2016 Skrivtid 8:15 12:15

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 25 augusti 2016 Skrivtid 8:15 12:15 Kurs: HF9 Matematik Moment TN Linjär lgebra Datum: 5 augusti 6 Skrivtid 8:5 :5 aminator: rmin Halilovic Undervisande lärare: lias Said För godkänt betg krävs av ma poäng. Betgsgränser: För betg B C D krävs

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

Geometriska vektorer. Vektorräkning utan koordinater. Vektorer och riktade sträckor

Geometriska vektorer. Vektorräkning utan koordinater. Vektorer och riktade sträckor Geometriska vektorer Läs Sparr, avsn. 2.1-2.2 Vektorer och riktade sträckor Vektorer förhåller sig till riktade sträckor som tal till bråk: På samma sätt som olika bråk som 2 3, 4 6, 6 9, 8 12, 1 15,...

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Lite sfärisk geometri och trigonometri

Lite sfärisk geometri och trigonometri Lite sfärisk geometri och trigonometri Torbjörn Tambour 8 april 2015 Geometri och trigonometri på sfären är ett område som inte nämns alls i de vanliga matematikkurserna, men som ändå är värt att stifta

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Kvalificeringstävling den 26 september 2017

Kvalificeringstävling den 26 september 2017 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 6 september 017 1. Bestäm alla reella tal x, y, z som uppfyller ekvationerna x + = y y + = z z + = x Lösning 1. Addera

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN 48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på

Läs mer

VEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb

VEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb VEKTORGEOMETRI Christian Gottlieb Matematiska institutionen Stockholms universitet 2:a upplagan 2001 2014 Förord Detta kompendium har sedan några år använts i utbildningen av grundskolelärare i matematik

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

.I Minkowskis gitterpunktssats

.I Minkowskis gitterpunktssats 1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC.

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC. Lösningar till några övningar i geometri Kapitel 2 1. Formuleringen av övningen är tyvärr inte helt lyckad (jag ska ändra den till nästa upplaga, som borde ha kommit för länge sedan). Man måste tolka frågan

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition

Läs mer

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen. VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 43, 1960 Första häftet 2244. Vilka värden kan a) tan A tanb + tan A tanc + tanb tanc, b) cos A cosb cosc anta i en triangel ABC? 2245. På en cirkel med centrum O väljes en båge AB, som är större

Läs mer

Kongruens och likformighet

Kongruens och likformighet Kongruens och likformighet Torbjörn Tambour 23 mars 2015 I kompendiet har jag tagit kongruens- och likformighetsfallen mer eller mindre som axiom, vilket jag nu tycker är olyckligt, och de här sidorna

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 36, 1953 Årgång 36, 1953 Första häftet 1848. Triangeln ABC är inskriven i cirkeln O, vars tangenter i B och C råkas i D. Sök sambandet mellan triangelns sidor, då punkterna A och D ligga

Läs mer

LNC Lösningar

LNC Lösningar LNC022 2013-05-27 Lösningar 1. (a) På en vägskylt står det att vägens lutning är 12 %. Om detta innebär att höjdskillnaden är 12 % av den körda vägsträckan, vilken är då vägens lutningsvinkel? (Rita figur.)

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

VEKTORGEOMETRI. och ANDRAGRADSYTOR

VEKTORGEOMETRI. och ANDRAGRADSYTOR VEKTORGEOMETRI och ANDRAGRADSYTOR Lars-Åke Lindahl c Lars-Åke Lindahl Matematiska institutionen, Uppsala universitet 000 Innehåll Del 1 Vektorgeometri 1 1 Inledning 1 Vektorer Baser, koordinater och koordinatsystem

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer