Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte):

Transkript

1 Linjära samband Räta linjens ekvation Förmågan att se, analsera och förstå olika samband är egenskaper som är viktiga att ha i vardagslivet men oundvikliga för kommande studier och arbetsliv. Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.e. kunna vara (sant eller inte): - Skivförsäljningen beror av mängden fildelning. Ju mer (antal) vi fildelar desto färre (antal) skivor säljs. - Ett företags vinst beror av antalet anställda, försäljning, lagerkostnader mm. Ju mer produkter (antal) som säljs desto större blir vinsten (kr). Ju lägre lagerkostnader (kr) desto större vinst (kr). - Huspriser beror av räntan på bolån. Ju lägre bolåneränta (%) desto högre huspriser (kr). En del samband är mindre uppenbara, andra är uppenbara men svåranalserade. Många samband är däremot uppenbara och kan relativt enkelt beskrivas och analseras med hjälp av matematikens uttrcksformer. I B-kursen kommer vi att fördjupa oss i några av de allra mest grundläggande tperna av samband som vi med hjälp av matematik kan beskriva och analsera: Linjära samband (linjära funktioner) Kvadratiska samband (andrgradsfunktioner) Eponentiella samband (eponentialfunktioner) Ska vi ha en chans att förstå en ofta komple verklighet måste vi ha goda kunskaper om grunderna! I detta häfte skall du få jobba med de viktigaste egenskaperna ett linjärt samband har. 1

2 Linjära samband En av de mest grundläggande tperna av samband, och som vi ganska enkelt kan beskriva med hjälp av matematik, är så kallade linjära samband. För att du skall komma med övningarna längre bak i häftet börjar vi med ett eempel som du uppmanas att noggrant läsa igenom. Eempel: Priset (kr) vi betalar när vi åker tai beror självklart av hur långt (km) vi åker. Ju längre vi åker desto drare blir resan. Så långt är allt uppenbart. På vilket sätt beror då priset av den sträcka vi åker? Hur kan vi tdligare beskriva sambandet? Vad måste vi veta? Den sträcka vi åker med tain förändras hela tiden. Antalet km kan vi därför smbolisera med något som vi kan låta variera, t.e.. Eftersom priset är beroende av den sträcka vi åker och därmed också förändras hela tiden smboliserar vi priset på ett liknande sätt med. Låt oss nu lite påhittat anta att du som resenär får betala 40 kr i startavgift. Detta får du betala trots att tain inte börjat rulla än. (Trist, men låt gå...) Låt oss vidare anta att resans pris ökar med 20 kr varje för kilometer vi åker. Detta kan vi också uttrcka som att priset ökar med (förändringshastigheten) 20 kr/km. 1. Åker vi 0 km ( 0) blir priset som sagt 20 }{{} kr 2. Åker vi 10 km ( 10) med detta fiktiva taibolag skulle vi således få betala priset 20 }{{} kr 3. Om vi nöjer oss med att säga att vi åker km kan vi inget annat säga än att priset beror av enligt sambandet vilket är den matematiska beskrivningen i form av en funktion. Funktionen kan vi använda för att på olika sätt analsera kostnader och reslängd för olika tairesor med detta bolag. Som vi tidigare har pratat om så kan man även beskriva ett samband av detta slag med hjälp av en graf. Sambandet blir på så sätt viualiserat på ett sätt som kan göra det lättare att förstå karaktären av sambandet. I detta fall kommer vi också se varför just detta samband kallas för linjärt. 2

3 Eftersom en punkt i ett koordinatsstem anges med två koordinater (,) kan vi markera de två resorna som punkter i ett koordinatsstem: Skulle vi med den skapade funktionen beräkna priset på alla tänkbara tairesor (vilket är oändligt många) och på samma sätt markera dessa som punkter i koordinatsstemet skulle de alla hamna på en rät linje. Om vi ändrar på km-priset, d.v.s. hur snabbt priset förändras, till eempelvis 30 kr/km får grafen utseendet Funktionen ges i detta fall av (kolla så att den stämmer)

4 Grafens lutning, k-värde Som du ser blir grafens lutning brantare när vi ökar km-priset. På samma sätt skulle lutningen bli mindre brant om vi minskade priset per km. Om grafen var vår enda informationskälla borde vi således kunna bestämma vad tain kostar för varje km vi åker. Låt oss allmänt beteckna det värde som tdligen str lutningen på grafen med k. Då kan vi skriva funktionen som k + 40 Lutningen k, i detta fall priset per km, kan vi då beräkna som förädrningen i -led,, dividerat med förändrningen i -led,. k vilket stämmer överrens med antagandet om pris på 20 kr/km. I det andra fallet (röd linje) skulle motsvarande beräkning vara k om vi anväder de två markerade punkterna. Även detta stämmer med det tidigare antagandet. k-värde (lutning) k Grafens skärning med -aeln, m-värde Som du kanske redan insett så har startpriset (som hittils varit 40 kr i de båda fallen) en koppling till den punkt där grafen skär -aeln. Eftersom 0 i denna punkt så får vi ju oavsett km-pris (k-värde) k Om startpriset skulle vara högre, säg 0 kr, så skulle grafen skära -aeln där 0 vilket innebär att grafen flttas uppåt. Sänker vi startpriset flttas grafen istället ned. Allmänt kan vi kalla det -värde där den räta linjen skär -aeln för m. 4

5 Räta linjens ekvation Ett linjärt samband vilket som helst kan med införda smboler uppenbarligen skrivas k + m där k-värdet bestämmer grafens lutning. k m-värdet bestämmer var grafen skär -aeln. Båda dessa värden kan vi bestämma från en graf.

6 I följande figurer är två punkter på en rät linje markerade. Punkternas koordinater är också givna. Ange i varje figur förändringen i -led - - samt förändringen i -led - - mellan de två punkterna. Kan du använda punkternas koordinater för att beräkna detta? Beräkna också den räta linjens lutning k, samt ange dess m-värde. (1,3) - (-1,-1) k m - - (3,-1) - (,-3) k m (-2,8) (0,0) - k m -

7 (2,4) - - (-2,-8) k m För att bestämma en specifik rät linje så räcker det med att man vet två punkter som linjen går igenom. Rita ut den linje som går igenom de markerade punkterna i figurerna nedan. Gör sedan likadant som i uppgiften innan. (2,4) - - (8,7) k m (1,) - (3,-1) - k m

8 - (2,0) - (8,3) k m I följande figurer är endast koordinaterna för två punkter angivna. Dra en rät linje igenom punkterna och gör sedan som i tidigare uppgifter. (2,1) (4,) k m (-1,3) (3,2) k m