1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e ett koordinataxel.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e ett koordinataxel."

Oliver Viklund
för 5 år sedan
Visningar:

1 rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR a 9 aser och koordinater i D-rummet SER CH KRDINTER Vektorer i ett plan Vektorer i rummet SER CH KRDINTER FÖR VEKTRER SM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betraktar ektorer som ligger på en rät linje L eller är parallella med L Låt e ara en icke-nollektor på linjen L och en punkt på linjen Då definierar punkten och ektorn e ett koordinatael e P -aeln En ektor som ligger på L eller är parallell med L är också parallell med e och därför finns det ett tal så att e Vi säger att e är en basektor för alla ektorer som ligger på L eller är parallella med L SER CH KRDINTER FÖR VEKTRER SM LIGGER I ETT PLN Vi betraktar ektorer som ligger i ett giet plan som i betecknar α STS Låt e och e ara tå skilda från nollektorn och dessutom icke-parallella ektorer som ligger i planet Varje ektor i planet kan skrias som en linjär kombination a e och e e e * där och är entidigt bestämda tal eis: Vi parallellförflttar e e och så att de startar i samma punkt Vi betecknar e e och P se figuren nedan Genom punkten P drar i linjerna parallella med e och e samt betecknar med M N deras skärningspunkter med linjerna som går genom punkterna och N P e e M Vi ser att M N Eftersom M e och N e så finns det ett tal så att M e och ett tal så att N e Därför M N e e Därmed har i isat att det finns tal och sådana att

2 rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR a 9 aser och koordinater i D-rummet e e * Vi har kar att beisa entdighet Låt e e en godtcklig representation a som en linjär kombination a e och e Då har i e e e e e e Eftersom e och e är icke- parallella och skilda från nollektorn är detta möjligt endast om och Vi har därmed beisat entdighet i * nmärkning: I samband med baser och basektorer anänder i följande terminologi: Vi säger att oanstående e och e utgör en bas i planet α och att talen och är :s koordinater i basen e e Vektorerna e och e kallas :s komposanter i basen e e Vi säger att planet α spänns upp a ektorerna e och e m P är en punkt i planet α då kan motsarande ektorp skrias som en linjär kombination a e och e P e e Vi säger också att alla ektorer som ligger i planet bildar ett tådimensionellt ektorrum rummet har basektorer eteckning: Vektorn P e e följande sätt: P Koordinatsstem i ett plan när basen e e är känd anges oftast med endast koordinater på En punkt och tå basektorer icke-parallella och ej nollektorer som ligger i planet och som i betecknar e och e definierar ett parallellt koordinat sstem i planet med tå alar: -aeln går genom och har riktningsektor e och -aeln går genom och har riktningsektor e

3 rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR a 9 aser och koordinater i D-rummet -aeln P e e -aeln Låt P ara en gien punkt i planet Vektor P som har en entdlig framställning P e kallas punktens ortektor e Tal kallas punktens koordinater lltså punkten P och punktens ortektorn P har samma koordinater eteckning: tt punkten P har koordinater skris i kursböcker på följande tå sätt: P eller P Koordinater för en ektor mellan tå gina punkter m och är tå punkter i planet då gäller lltså e eller kortare e e e e e e Eempel: [ alltså ändpunktens koordinater startpunktens kordinater] e

4 rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR 4 a 9 aser och koordinater i D-rummet SER CH KRDINTER FÖR GEMETRISK VEKTRER I D-RUMMET För att bilda en bas i D-rummet tre-dimensionella rummet behöer i tre ektorer e e e som är skilda från 0 och som inte är parallella med ett gemensamt plan man säger ofta de inte ligger i samma plan Då kan arje skrias på eakt ett sätt som en linjär kombination a e e och nedanstående figur e se -aeln P e -aeln e e -aeln R Q Vi ser detta om i parallell förflttar e e e och så att de har en gemensam start punkt Den rätta linje genom P :s ändpunkt som är parallell med e måste skära planet e e plan Linjen genom Q parallell med e skär aeln i punkten R Då gäller -planet i en punkt Q eftersom e e e är ej parallella med något gemensamt R RQ QP Men eftersom R e RQ e QP e R e RQ e QP e Därför e e e Entdighet beisas som i D fallet Koordinatsstem i D-rummet finns det tal så att En punkt och tre basektorer icke-parallella med något gemensamt plan och skilda från 0 e e e definierar ett parallellt koordinat sstem i planet med tre alar: -aeln går genom och har riktningsektor e -aeln går genom och har riktningsektor e och -aeln går genom och har riktningsektor e

5 rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR 5 a 9 aser och koordinater i D-rummet Koordinater för en punkt P definieras som koordinater med ektorn ortektor lltså P e e e P Koordinater för en ektor mellan tå gina punkter P punktens m och är tå punkter i rummet då gäller e e e e e e e e e lltså e e e eller kortare Eempel: 4 0 ÖVNINGR: Uppgift Uttrck u och i nedanstående figur som linjära kombinationer a basektorer e och e och bestäm deras koordinater u e e - Sar: u e e koordinater 5e e koordinater 5 5e e koordinater 5 Uppgift Uttrck i nedanstående figur som en linjär kombination a basektorer e och e och bestäm ektorns koordinater

6 rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR 6 a 9 aser och koordinater i D-rummet e e Vi parallell förflttar ektorn så att startpunkt hamnar i punkten : e e Nu har i 5e e koordinater Uppgift estäm koordinater för w 0 u i basen e och e om :s koordinater är och samt u :s koordinater är 5 och -5 i samma bas e e u 5e 5e w 0 u 0e e 5e 5e 0e 0e e 5e 7e 5e Därmed är w : s koordinater i basen e och e 7 5 Uppgift 4 estäm p och q så att u p e e och e q 5 e blir lika ektorer Vi anänder att koordinater är entdigt bestämda för en gien bas u { p och q 5} p q 7 Sar: p q 7 Uppgift 5 gör om u och är parallella där a u e e e e b u e e 8e 4e a u och är parallella om det finns ett tal k så att ku

7 rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR 7 a 9 aser och koordinater i D-rummet k u e e ke e { k och k} där båda ekationer måste satisfieras Men första ekationen ger k som är motsägelse med k i andra ekationen och därmed finns inget k som satisfierar k u Detta medför att u och är inte parallella b k u 8e 4e ke e {8 k och 4 k} k 4 lltså 4u ds är parallella ektorer Sar a nej b ja Uppgift 6 Låt e e e u e e e ara tå ektorer i D rummet med basen e e e estäm w 0 u w 0e e e e e e e 4e 7e Uppgift 7 Låt u ara tå ektorer i D rummet i någon bas t e e e e estäm a u b u c 5 u d 0 e 5 u 0 Sar: a u 4 b u 0 e 5u 0 5u c 5 u 505 d Uppgift 8 estäm p och q om möjligt så att u och definierade nedan med koordinater i en gien bas blir lika ektorer om a u p och q p b u p och q p a Sstemet med tre ekationer p q p har eakt enlösning p och q Då blir u b Sstemet med tre ekationer p q p saknar lösning eftersom p den första ekationen och p den tredje ek är en motsägelse Sar a p och q b Det finns inte sådana pq att u och blir lika

8 rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR 8 a 9 aser och koordinater i D-rummet Uppgift 9 estäm p om möjligt så att u och definierade nedan med koordinater i en gien bas blir parallella a u p och 844 b u p och 84 a u och parallella det finns k så att och p k844 Hära sstem : p 8k 4k k/4 och därför p 6 4k Då blir u 6 uppenbart parallell proportionella koordinater med 844 b Den här gånger från p k84 får i sstemet p 8k 4k k som saknar lösning Sar: a u och är parallella om p 6 b Det finns inte någon p så att u och blir parallella ektorer Uppgift 0 Låt 48 ara tå punkter i rummet där koordinater är gina i ett koordinatsstem e e e estäm koordinater för punkten P som ligger på sträckan och delar i förhållandet : P Lägg märke till att en punkt och tillhörande ortektor har samma koordinater Vi har P Därför P P har samma koordinater som P 7 9 lltså P Uppgift 0 Låt och ara tå punkter i rummet och S mittpunkten på sträckan Koordinater är gina i ett koordinatsstem e e e Visa att mittpunkten ges a S

9 9 a 9 rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR aser och koordinater i D-rummet Vi har S och därmed S ad skulle beisas Uppgift 0 Låt C och ara tre punkter i rummet och T tngdpunkten för triangeln C Koordinater är gina i ett koordinatsstem e e e Visa att tngdpunkten ges a T T C T T ] [ C C lltså T ad skulle beisas S

Relevanta dokument

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel.

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel. Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet BASER CH KRDINATER Vektoe i ett plan Vektoe i ummet BASER CH KRDINATER FÖR VEKTRER SM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betakta ektoe som ligge på