Parametriska kurvor: Parametriska ytor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Parametriska kurvor: Parametriska ytor"

Transkript

1 Kror och ytor Eplicit form Implicit form Kror och ytor Parametrisk form Procerbaserade Polynom Catmll-Clark ekannan och dess datormotsarighet Martin Newell, 975. Gsta aén CID Kbiska (grad Generella (grad d Interpolerande Hermite Bezier B-Spline Generell B-Spline Uniform NURBS Matematiska representationer a kror Parametriska kror Om i derierar ttrycket för kran Eplicit Implicit Generellt y f( f(, y Eempel y - y y p( f ( f y ( får i en ektor som definierar krans tangent: Parametrisk f ( y f y ( min ma y dp( df ( df y ( Parametriska kror: Eempel Parametriska ytor För ytor kräs tå parametrar: p(, f (, f y (, f z (, z y

2 Parametriska ytor Parametriska ytor: Eempel De ektorer i får om i derierar m.a.p. och definierar ytans tangentplan: p(, f (, f y (, f z (, p(, f (, f y (, f z (, N(, p(, p(, är ytans normal. Parametriska polynomkror Parametriska polynomkror: Eempel Då p( är ett polynom i kallas kran polynomkra. p( f ( f y ( f z ( c + c + 2 c n c n c y + c y + 2 c y n c yn c z + c z + 2 c z n c zn Polynomkror, isar det sig, har egenskaper som är intressanta för datorgrafik och CAD/CAM. Kbiska polynomkror f ( c + c + 2 c 2 + c f y ( c y + c y + 2 c y2 + c y f z ( c z + c z + 2 c z2 + c z Antag att i har fyra styrpnkter p, p, p 2 och p och att i ill att kran ska gå genom dessa pnkter. Vi låter p (p p y p z, p (p p y p z, p 2 ( p 2y p 2z, p (p p y p z p p p p p y och sätter p y p y p 2y p y p z p z p z p 2z p z Kbiska polynomkror Vi bestämmer att kran ska gå genom styrpnkterna id, /, 2/ och. Vilka c-ärden ska i ha? Låt oss börja med -komponenten. Vi har : : /: 2/: f ( c + c + 2 c 2 + c och i ill ha f ( p f (/ p f (2/ f ( p ilket ger p c p c + c + c 2 + c p c + (/c + (/ 2 c 2 + (/ c c + (2/c + (2/ 2 c 2 + (2/ c 2

3 Interpolerande polynomkror Interpolerande polynomkror: Eempel Löser man ekationssystemet får man y c p c 5.5p + 9p p c 2 9p 22.5p p c 4.5p +.5p p Analogt för y- och z-komponenterna. p ( p ( p 2 ( p ( p p 2 p p Kran som har dessa c-koefficienter sägs interpolera de fyra styrpnkterna. Interpolerande polynomkror: Eempel Interpolerande polynomkror: Eempel p ( p ( p 2 ( p ( ger c c c c Så krans fnktion blir f ( f y ( c y c y c 2y c y Interpolerande polynomkror: Eempel Polynomkror på matrisform Vi ska n isa att i kan skria kran på formen f ( b( p f y ( b( p y f z ( b( p z där p p p p p y p y p y p 2y p y p z p z p z p 2z p z och b( M 2 44-matris

4 Polynomkror på matrisform Skrier i lösningen på ekationssystemet för f ( på matrisform får i c c c 2 c eller c M I p p p p Polynomkror på matrisform Krans ekation för f ( är f ( c + c + 2 c 2 + c f ( eller 2 ilket ger c c c 2 c f ( c (M I p (M I p Enl. föreg. bild Matrisregel c Blandningspolynom b( Det ill säga, i har f ( (M I p b( p där b ( b ( b 2 ( b ( b( kallas för krans blandningspolynom. Notera att eftersom b( bara beror a, gäller resltatet äen för f y ( och f z (. Sammanfattning p En parametrisk kbisk polynomkra är en kra på formen f ( b( p f y ( b( p y f z ( b( p z p p p p y p y p y p 2y p y p z där p z p z p 2z p z är krans styrpnkter och b( är krans blandningspolynom. Parametriska kbiska polynomytor Parametriska kbiska polynomytor: Eempel p(, f (, f y (, f z (, i j c ij c yij c zij i j 4

5 För ytans -komponent har i f (, i j c ij i j Detta kan skrias som c c c 2 c c f (, 2 c c 2 c c 2 c 2 c 22 c 2 c c c 2 c eller f (, C 2 Antag n att i har 6 styrpnkter p ij, i, j p p 2 p p p p p 2 p p p 2 Precis som fört har i att p (p p y p z p (p p y p z... p (p p y p z... p (p p y p z Om i sätter får i en kra som måste interpolera pnkterna p, p, p 2 och p. p p p 2 p os. p p 2 p p p 2 p Med andra ord tittar i på styrpnkterna p p p p p (p p y p z p (p p y p z p 2 ( p 2y p 2z p (p p y p z p y Sätt n p y p y p 2y p y p z p z p z p 2z p z En sådan kra kan, för -komponenten (som i tidigare sett, skrias f ( (M I p Eftersom i för ytan hade att f ( C och eftersom i satt får i f (, M I p C Vi ill att! 2 C 5

6 Sätter i får i en kra som måste interpolera pnkterna p, p, p 2 och p. p p p 2 p p p 2 p p p 2 p p Vi betraktar då styrpnkterna p p p p (p p y p z p (p p y p z p 2 ( p 2y p 2z p (p p y p z och i sätter p y p y p y p 2y p y p z p z p z p 2z p z För -komponenten och gäller då f ( (M I p och f (, C Om i lägger till / och 2/ får i p p p p f (, M I p C 2 f (, M I p C 2 p p f (, M I p C Vi ill att! 2 C p p f (,/ / 2/ M I p C f (/ 2 2 (,2/ M I p C 22 (2/ 2 p (/ (2/ M I p p p Dessa fyra ekationer kan sammanfattas som p p p P p 22 p p p C / (/ 2 (/ 2/ (2/ 2 (2/ A är ekialent med M I - (se härledningen a den interpolerande kran. Vi har alltså M I P C (M I - C M I P M I A (Stryk och arrangera om termer Ytans ekation för -komponenten är f (, C och r föregående bild fick i C M I P M I ilket tillsammans ger f (, M I P M I 6

7 Sammanfattningsis har i Interpolerande polynomytor: Eempel f (, M I P M I f y (, M I P y M I f z (, M I P z M I P p p p p p p p 22 p p p P y p y p y p 2y p y p y p y p 2y p y p 2y p 2y p 22y p 2y p y p y p 2y p y P z p z p z p 2z p z p z p z p 2z p z p 2z p 2z p 22z p 2z p z p z p 2z p z (Angels bok och ytor Angel anänder följande notation för att spara trymme: p(, f (, f y (, f z (, där c ij c ij c yij c zij i j c ij i j (Angels bok ytor Med andra ord har han C p(, C c c c 2 c c c c 2 c c 2 c 2 c 22 c 2 c c c 2 c ilket gör att han måste införa operationen C c c c 2 c c c c 2 c c 2 c 2 c 22 c 2 c c c 2 c Vektor! Skalär! Sammanlänkning a kror Icke-kontinerlig C -kontinerlig Hermitekror Fås om man kräer C -kontinitet. Krans ekation är (som tidigare f ( c + c + 2 c 2 + c f y ( c y + c y + 2 c y2 + c y f z ( c z + c z + 2 c z2 + c z Vi fierar deriatan i p och p och tar dem som styrpnkter : C -kontinerlig p (p p y p z p (p p y p z dp df (p df y (p y df z (p z p p y p z dp df (p df y (p y df z (p z p p y p z 7

8 Hermitekror För f ( ger detta ekationssystemet : p c : p c + c + c 2 + c : p df (/ c : p df (/ c + 2c 2 + c med lösningen Hermitekror: Eempel f 2 ( p p p p Analogt för y- och z-komponenterna. Beziérkror Det är ofta bökigt att arbeta med deriatorna eplicit. Helst ill man arbeta med fyra pnkter (istället för tå pnkter och tå deriator. p Vi kan approimera deriatorna med en differens: p p 2 p dp (p p dp (p p 2 För att kran ska ritas med linjär hastighet m.a.p.. (Inte ppenbart, men kan isas. Beziérkror : : : : För f ( ger detta ekationssystemet f 2 ( p c p c + c + c 2 + c (p p df (/ c (p df (/ c + 2c 2 + c med lösningen 4 6 p p p Analogt för y- och z-komponenterna. Beziérkror: Eempel Kbiska B-splinekror Nackdelen med Beziérytor är att det kan ara sårt att få till C -kontinitet. Det kan lösas genom att man släpper kraet att kran ska interpolera sltpnkterna på kran. p i- p i p i- p i-2 8

9 Kbiska B-splinekror Nackdelen med Beziérytor är att det kan ara sårt att få till C -kontinitet. Det kan lösas genom att man släpper kraet att kran ska interpolera sltpnkterna på kran. Kbiska B-splinekror Nackdelen med Beziérytor är att det kan ara sårt att få till C -kontinitet. Det kan lösas genom att man släpper kraet att kran ska interpolera sltpnkterna på kran. p i- p i p i- p i p i-2 p i+ p i+ p i+2 Se boken för blandningspolynom och härledning. Kbiska B-splinekror: Eempel Generaliserade B-splinekror Vi kan generalisera B-splinekrsbegreppet. Vi ill konstrera en fnktion p( f ( f y ( f z ( öer interallen 2... n- n Värdena,,..., n kallas kntar. Generaliserade B-splinekror Den generaliserade B-splinekrans ekation är n p( B id ( p i i där B id ( är en basfnktion, i det här fallet ett polynom a grad d (och p i är styrpnkterna Väljer man B i ( som blandningspolynom för en kbisk B-spline (se boken och kntarna {,,,,,,, } får man en Bèzierkra. Generaliserade B-splinekror: Eempel En generell B-splinekra a grad d med tre kntar: p( p p B d ( p y + p z p 2 p 2 p B d ( p y + p z B 2d ( p 2y p 2z Basfnktionerna talar om hr mycket a respektie styrpnkt som ska tas med för ett giet. 9

10 NURBS Catmll-Clark-ytor NURBS Non-Uniform Rational B-Spline Variant a generaliserad B-Spline där man iktar de olika styrpnkterna. p( B id (w i p i i Anledningen är att man ill ge anändaren eplicit kontroll öer hr mycket a arje styrpnkt som ska tas med. Om man anänder kombinationer a polynomytor kan det ara sårt att ndika sprickor på ställen där ytorna möts. Catmll-Clark-ytor Catmll-Clark-ytor Lösning: Utgå från ett antal polygoner och dela dem i sccessit mindre bitar enligt på förhand bestämda (relatit enkla regler. Slta när polygonerna är mindre än en pielpnkt. Catmll-Clark-ytor: Eempel

Bestäm den sida som är markerad med x.

Bestäm den sida som är markerad med x. 7 trigonometri Trigonometri handlar om sidor och inklar i trianglar. Ordet kommer från grekiskans trigonon (tre inklar) och métron (mått). Trigonometri har anänts under de senaste 2000 åren inom astronomi,

Läs mer

Teori- och räkneuppgifter

Teori- och räkneuppgifter Teori- och räkneuppgifter Version December 7 014 1 Fel- och störningsanalys 11 Värdet på x är uppmätt till 0956 med ett absolutfel på högst 00005 Ge en öre gräns för absolutfelet i y exp(x + x Motiera

Läs mer

Vektorer En vektor anger en riktning i rummet (eller planet) och en längd (belopp). Vektorer brukar ritas som pilar, Vektoraddition

Vektorer En vektor anger en riktning i rummet (eller planet) och en längd (belopp). Vektorer brukar ritas som pilar, Vektoraddition Vektorer En ektor anger en riktning i rmmet (eller planet) och en längd (belopp). Vektorer brkar ritas som pilar, Vektoraddition Smman a tå ektorer och får i på följande is: lacera i pnkten och placera

Läs mer

TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri

TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri Johan Thim augusti 016 1 Enhetscirkeln Definition. Enhetscirkeln är cirkeln med centrum i origo och radie ett. En punkt P = (a, b på enhetscirkeln uppfyller alltså a

Läs mer

Exempelsamling :: Vektorintro V0.95

Exempelsamling :: Vektorintro V0.95 Exempelsamling :: Vektorintro V0.95 Mikael Forsberg :: 2 noember 2012 1. eräkna summan a ektorerna (1, 2) och (3, 1) mha geometrisk addition 2. Tå ektorer u = ( 2, 3) och adderas och blir ektorn w = (1,

Läs mer

Strålföljning: Bildpunkt till värld 1(1) Strålföljning: Skärning stråle och polygon 1(1)

Strålföljning: Bildpunkt till värld 1(1) Strålföljning: Skärning stråle och polygon 1(1) Strålföljning: Bildpunkt till ärld () Med bildens beteckningar får i (för enkelhets skull antas att fönstret är kadratiskt och att synkoten är ) y y A rad A z N att en bildpunkt (kol,rad) motsarar i ykoordinatsystemet

Läs mer

Ö D W & Ö Sida 1 (5) OBS! Figuren är bara principiell och beskriver inte alla rördetaljerna.

Ö D W & Ö Sida 1 (5) OBS! Figuren är bara principiell och beskriver inte alla rördetaljerna. Ö4.19 Ö4.19 - Sida 1 (5) L h 1 efinitioner och gina ärden: Fluid Ättiksyra T 18 ºC h 4m OBS! Figuren är bara principiell och beskrier inte alla rördetaljerna. p 1 p p atm L 30 m 50 mm 0,050 m ε 0,001 mm

Läs mer

Enzymkinetik. - En minskning i reaktantkoncentrationen per tidsenhet (v = - A/ t)

Enzymkinetik. - En minskning i reaktantkoncentrationen per tidsenhet (v = - A/ t) Enzymkinetik Hastigheten för en reaktion A P kan uttryckas som: - En minskning i reaktantkoncentrationen per tidsenhet ( - A/ t - En ökning i produktkoncentrationen per tidsenhet ( P/ t Detta innebär att

Läs mer

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning

Läs mer

TSBB31. En bild är en 2D signal. Exempel på färginnehåll i bilder p. 4. För en digital bild gäller. vitt. Fig. 1.1

TSBB31. En bild är en 2D signal. Exempel på färginnehåll i bilder p. 4. För en digital bild gäller. vitt. Fig. 1.1 TSBB3 Medicinska bilder Föreläsning 3 D signalbehandling (bildbehandling) Den digitala bilden, ärgtabeller D kontinuerlig ouriertransorm och D DFT D sampling D diskret altning Lågpassiltrerande D altningskärnor

Läs mer

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN 48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på

Läs mer

LotusLive. LotusLive Engage och LotusLive Connections Användarhandbok

LotusLive. LotusLive Engage och LotusLive Connections Användarhandbok LotusLie LotusLie Engage och LotusLie Connections Anändarhandbok LotusLie LotusLie Engage och LotusLie Connections Anändarhandbok Anmärkning Innan du anänder den här informationen och den tillhörande

Läs mer

MÄTNING AV ELEKTRISKA STORHETER

MÄTNING AV ELEKTRISKA STORHETER MÅ NIVSITT Tillämpad fysik och elektronik Hans Wiklund 996-05- MÄTNING AV LKTISKA STOHT Laboration 5 LKTO Personalia: Namn: Kurs: Datum: Återlämnad (ej godkänd): ättningsdatum Kommentarer Godkänd: ättningsdatum

Läs mer

2. Strömförstärkare: Både insignal och utsignal är strömmar. Förstärkarens inresistans

2. Strömförstärkare: Både insignal och utsignal är strömmar. Förstärkarens inresistans 1 Föreläsning 1, Ht 2 Hambley asnitt 11.11, 14.1 Fyra typer a förstärkare s 0 s i ut s in i A in ut L s in i G L in 0 Spänningsförstärkare Spänningströmförstärkare (transadmittansförst.) i in 0 i in i

Läs mer

Operationsförstärkare (OP-förstärkare) Kapitel , 8.5 (översiktligt), 15.5 (t.o.m. "The Schmitt Trigger )

Operationsförstärkare (OP-förstärkare) Kapitel , 8.5 (översiktligt), 15.5 (t.o.m. The Schmitt Trigger ) Operationsförstärkare (OP-förstärkare) Kapitel 8.1-8.2, 8.5 (öersiktligt), 15.5 (t.o.m. "The Schmitt Trigger ) Förstärkare Förstärkare Ofta handlar det om att förstärka en spänning men kan äen ara en ström

Läs mer

Raka spåret. Merkurius? resvägar. omöjliga. Möjliga. till. i solsystemet. Kan man åka. och. av Magnus Thomasson

Raka spåret. Merkurius? resvägar. omöjliga. Möjliga. till. i solsystemet. Kan man åka. och. av Magnus Thomasson Kan man åka Raka spåret till Merkris? Möjliga och resägar i solsystemet omöjliga NASA/Johns Hopk i ns U n ie rsity Appli e d Physics Laboratory/Car n eg i e Instittion of Washington a Magns Thomasson Merkrissonden

Läs mer

FUKTÄNDRINGAR. Lars-Olof Nilsson. En kvalitativ metod att skriva fukthistoria och förutsäga fuktförändringar i oventilerade konstruktionsdelar

FUKTÄNDRINGAR. Lars-Olof Nilsson. En kvalitativ metod att skriva fukthistoria och förutsäga fuktförändringar i oventilerade konstruktionsdelar LUNDS EKNISKA HÖGSKOLA FUKCENRUM VID LUNDS UNIVERSIE Ad Byggnadsmaterial FUKÄNDRINGAR En kalitati metod att skria fukthistoria och förutsäga fuktförändringar i oentilerade konstruktionsdelar Kursmaterial

Läs mer

Massa, rörelsemängd och energi inom relativitetsteorin

Massa, rörelsemängd och energi inom relativitetsteorin Massa, rörelseäng oh energi ino relatiitetsteorin Vi et iag att inget föreål e en iloassa större än noll (t.ex. elektroner, protoner oh ryfarkoster) någonsin kan röra sig snabbare än ljuset. Partiklar

Läs mer

KONSTRUKTION AV HYDRAULSYSTEM FÖR LASTBILSKRAN

KONSTRUKTION AV HYDRAULSYSTEM FÖR LASTBILSKRAN Linköpings Uniersitet Konstruktionsuppgift 1(7) KONSTRUKTION AV HYDRAULSYSTEM FÖR LASTBILSKRAN Konstruktionsuppgift i kursen Fluidmekanisk Systemteknik för M3, läsåret 2014 Linköpings Uniersitet Konstruktionsuppgift

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Cadetgy 2008

Svar och arbeta vidare med Cadetgy 2008 Sar och arbeta idare med Cadetgy 2008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiiteter. Problemen kan inspirera underisningen under flera lektioner. Här ger i några förslag att arbeta idare

Läs mer

En analys av Arbetsdomstolens arbetsvärdering i ett lönediskrimineringsmål

En analys av Arbetsdomstolens arbetsvärdering i ett lönediskrimineringsmål No 55 En analys a etsdomstolens arbetsärdering i ett lönediskrimineringsmål Stig Blomskog Stig Blomskog 2016 Working paper Nr 55 urn:nbn:se:hig:dia-21278 Working paper / Högskolan i Gäle ISSN 1403-8757

Läs mer

Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26

Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera

Läs mer

Figur 5.1. En triangel där nedre högra hörnet har en rät vinkel (90 ).

Figur 5.1. En triangel där nedre högra hörnet har en rät vinkel (90 ). STUDIEAVSNITT 5 TRIGONOMETRI I det här asnittet kommer i att studera hur man beräknar inklar och sträckor för gina figurer. Ordet trigonometri innebär läran om förhållandet mellan inklar och sträckor i

Läs mer

Krets- och mätteknik, fk

Krets- och mätteknik, fk Krets- och mätteknik, fk Bertil Larsson 2014-08-19 Sammanfattning föreläsning ecka 1 Mål Få en förståelse för förstärkare på ett generellt plan. Kunna beskria olika typer a förstärkare och kra på dessa.

Läs mer

Addition av hastigheter

Addition av hastigheter ddition a hastigheter Vi har nu konstaterat att Einsteins postulat leder till en att i inte alltid kan följa år intuition när det gäller hur obseratörer uppfattar rum-tiden. Det är därför inte förånande

Läs mer

Splinebilen och andra rymdytor

Splinebilen och andra rymdytor Splinebilen och andra rymdytor eller Golfbanorna och företagsbilen Michael Litton & Farid Bonawiede Rapporten behandlar konstruktion av splineytor och numerisk integration. Metoder och tillförlitlighet

Läs mer

Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 7. En bild är en 2D signal 1D: f(t) är en funktion f som beror av tiden t. För en digital bild gäller

Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 7. En bild är en 2D signal 1D: f(t) är en funktion f som beror av tiden t. För en digital bild gäller Sinal- och Bildbehandlin ÖRELÄSNING 7 D sinalbehandlin (bildbehandlin) Den diitala bilden, ärtabeller D kontinuerli ouriertransorm och D DT D samplin D diskret altnin Låpassiltrerande D altninskärnor Teori:

Läs mer

Vision Arvika kommun

Vision Arvika kommun Vision Arika kommun Arika - en attraktiare kommun Vision Arika en attraktiare kommun Visionen beskrier kommunens långsiktiga inriktning och politiska ilja. Den konkretiseras i strategiska mål och strategier

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37

Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37 Kvantmekanik II - Föreläsning 2 Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

T BSK03 Teknik för avancerade Datorspel. Jens Ogniewski Information Coding Group Linköpings universitet

T BSK03 Teknik för avancerade Datorspel. Jens Ogniewski Information Coding Group Linköpings universitet T BSK03 Teknik för avancerade Datorspel Jens Ogniewski Information Coding Group Linköpings universitet Representation av rotation Eulervinklar Rotation kring axlarna (t.ex. Zyx) A' = R yaw R pitch R roll

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

Styrsignalsfördelning hos system med redundanta aktuatorer

Styrsignalsfördelning hos system med redundanta aktuatorer Styrsignalsfördelning hos system med redndanta aktatorer Linköpings Tekniska Högskola Tillämpningar Styrsignalsfördelning (eng. control allocation) Hr Hr ska ska den den önskade totala styrerkan fördelas

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

T1. Behållare med varmt vatten placerat i ett rum. = m T T

T1. Behållare med varmt vatten placerat i ett rum. = m T T Behållare med armt atten placerat i ett rum Giet: m 45 kg,, 95 C ; placeras i ett tätslutande, älisolerat rum med stela äggar, olym rum 90 m,, C ; ärmeutbyte ger till slut termisk jämikt; P 0 kpa Behållarens

Läs mer

Hur påverkar rymden och tiden varandra vid relativ rörelse?

Hur påverkar rymden och tiden varandra vid relativ rörelse? Hur påerkar rymden oh tiden arandra id relati rörelse? Einsteins tolkningar ar nya för sin tid, men de grundade sig delis på tidigare fysikers tankar. Galileo Galilei (564 64) framlade okså på sin tid

Läs mer

Funktionsytor och nivåkurvor

Funktionsytor och nivåkurvor CTH/GU LABORATION MVE5-4/5 Matematiska vetenskaper Funktionstor och nivåkurvor Inledning En graf till en funktion i en variabel f : R R är mängden {(, ) : = f()}, dvs. en kurva i planet. En graf till en

Läs mer

Rotation Rotation 187

Rotation Rotation 187 6. Rotation 87 6.. Rotation Vi har tidigare i Exempel 6.5 isat hur man roterar rummets ektorer kring en axel parallell med en a basektorerna. Nu är i redo att besara frågan om hur man rider kring en godtycklig

Läs mer

Att verifiera Biot-Savarts lag för en platt spole samt att bestämma det jordmagnetiska fältets horisontalkomposant

Att verifiera Biot-Savarts lag för en platt spole samt att bestämma det jordmagnetiska fältets horisontalkomposant Elelaboration Magnetisk flödestäthet Uppgift: Materiel: Att erifiera Biot-Saarts lag för en platt spole samt att bestämma det jordmagnetiska fältets horisontalkomposant angentbussol med tillbehör Amperemeter

Läs mer

Hambley: OBS! En del av materialet kommer att gås igenom på föreläsningen

Hambley: OBS! En del av materialet kommer att gås igenom på föreläsningen Föreläsning 3, 2/ Hambley: 4.2 4.4 OBS! En del a materialet kommer att gås igenom på föreläsningen den 9/. Operationsförstärkare [4.] Operationsförstärkaren (operational amplifier eller opamp.) uppfanns

Läs mer

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

10 Relativitetsteori och partikelfysik

10 Relativitetsteori och partikelfysik 0 Relatiitetsteori och artikelfysik 00. a) b) c) 00. a) (0,c) 0,0 0,99,005 (0,8c) 0,64 0,36 0,6,667 =,000000000556 0000 (3,0 0 8 ) 0,0c 0,64c Sar: a),005 b),667 c),000000000556 0 0 0 b) 3 4 c 3 4 0,9999999989

Läs mer

Linköpings universitet 2007 IFM-Kemi. Enzymkinetik. enzymet mättat på substrat. Hastigheten maximal = V max.

Linköpings universitet 2007 IFM-Kemi. Enzymkinetik. enzymet mättat på substrat. Hastigheten maximal = V max. Linöpings uniersitet 2007 IF-emi Enzymineti - - - - -- - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - hyperbel enzymet mättat på substrat. Hastigheten imal. [S] En reations initialhastighet mäts

Läs mer

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen Ladokkod: TT081A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2015-06-04 Tid: 9.00-13.

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen Ladokkod: TT081A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2015-06-04 Tid: 9.00-13. Mekanik romoment: tentamen Ladokkod: TT81A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 15-6-4 Tid: 9.-13. Hjälpmedel: Hjälpmedel id tentamen är hysics Handbook (Studentlitteratur),

Läs mer

Bakgrund. Bakgrund. Kursmaterial. Transformationer i 3D. Matematiska byggstenar. GrIP våren 2008, Förel.10 Yngve Sundblad

Bakgrund. Bakgrund. Kursmaterial. Transformationer i 3D. Matematiska byggstenar. GrIP våren 2008, Förel.10 Yngve Sundblad GrI åren 28, Förel. Bakgrun 3D-transformationer & erspekti & Gusta Taén @kth.se & gustat@csc.kth.se Ett smiigt sätt att arbeta me 3D-grafik är att tänka sig att man har en irtuell kamera som betraktar

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Fotorealistisk 3D Datorgrafik

Fotorealistisk 3D Datorgrafik Fotorealistisk 3D Datorgrafik Kensuke Sugii Åbo Akademi Innehållsförteckning Innehållsförteckning 1 ABSTRAKT 3 1 INLEDNING 4 2 GEOMETRISKA HJÄLPMEDEL 5 2.1 Koordinatsystem 5 2.2 Vektorer 5 2.3 Matriser

Läs mer

Uppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln

Uppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln Matlab-föreläsning (4), 10 september, 015 Innehåll m-filer (script) - fortsättning från föreläsning 1 In- och utmatning Sekvenser, vektorer och matriser Upprepning med for-slingor (inledning) Matlab-script

Läs mer

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska

Läs mer

Säkerhetsavstånd i bilköer Rätt hastighet (och rätt förare) räddar liv!

Säkerhetsavstånd i bilköer Rätt hastighet (och rätt förare) räddar liv! Projektarbete åren 008 Sid:1 Säkerhetsastånd i bilköer Rätt hastighet (och rätt förare) räddar li! Linus Karlsson linuskar@kth.se Geir Ynge Paulson gypa@kth.se Jacob Langer jlanger@kth.se Tobias Gunnarsson

Läs mer

Enkätens uppbyggnad COPSOQ SVERIGE. Introduktion

Enkätens uppbyggnad COPSOQ SVERIGE. Introduktion Enkätens uppbyggnad Introduktion Enkäten mäter den psykosociala arbetsmiljön genom åtta dimensioner. Varje dimension består i sin tur a en till flera skalor som mäter olika aspekter inom arje dimension.

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Zick Zack årskurs 4 finns för användning detta läsår. Årskurs 5 utkommer till höstterminen 2012 och årskurs 6 till höstterminen 2013.

Zick Zack årskurs 4 finns för användning detta läsår. Årskurs 5 utkommer till höstterminen 2012 och årskurs 6 till höstterminen 2013. STEG 1 Zick Zack består a Läsrummet och Skrirummet och är Bonnier Utbidnings nya basäromede i senska och senska som andraspråk för årskurs 4 6. De båda rummen kompetterar arandra, men kan äen anändas ar

Läs mer

Matrismetod för analys av stångbärverk

Matrismetod för analys av stångbärverk KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 1 Inledning Matrismetod för analys av stångbärverk Vid analys av stångbärverk är målet att bestämma belastningen i varje stång samt att beräkna deformationen

Läs mer

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element

Läs mer

ratifiéering av Borgmästaravtalet

ratifiéering av Borgmästaravtalet ÖSTERÅKERS W3MMUN Sericeenheten 2015-10- 2 Motion om» K BiummN KOMMU NSTYRELSEN 2015 10-21 hr 2&jm^ ratifiéering a Borgmästaratalet 2015-10-18 IS 50 senska kommuner har hittills skriit på EU-kommissionens

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

IVAR LO de utsattas reporter

IVAR LO de utsattas reporter STUDIEHANDLEDNING IVAR LO de utsattas reporter Studiebokens uppläggning Boken ger inte något heltäckande porträtt a Iar Lo- Johansson utan är en impressionistisk skildring a en människas frihetslängtan

Läs mer

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20 TANA09 Föreläsning 7 Interpolation Interpolationsproblemet. Introduktion. Polynominterpolation. Felanalys. Runges fenomen. Tillämpning. LED display. Splinefunktioner. Spline Interpolation. Ändpunktsvillkor.

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1: Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a

Läs mer

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper:

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper: Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT Gadienten till en funktion f = f,, K, ) i en punkt P,, K, ) ä ekto som innehålle alla patiella deiato: gad def

Läs mer

= 0 vara en given ekvation där F ( x,

= 0 vara en given ekvation där F ( x, DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering

Läs mer

Grafritning kurvor och ytor

Grafritning kurvor och ytor CTH/GU STUDIO MVE5-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Grafritning kurvor och tor En graf till en funktion i en variabel f : R R är mängden {(, ) : = f()}, dvs. en kurva i planet. En graf till en funktion

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Vågfysik. Vilka typer av vågor finns det? Fortskridande vågor. Mekaniska vågor Elektromagnetiska vågor Materievågor

Vågfysik. Vilka typer av vågor finns det? Fortskridande vågor. Mekaniska vågor Elektromagnetiska vågor Materievågor Vågysik Fortskridande ågor Knight, Kap. 0 Vilka typer a ågor inns det? Mekaniska ågor Elektromagnetiska ågor Materieågor 1 Vad är en åg? En ortskridande åg är en lokal störning som utbreder sig på ett

Läs mer

Bildförbättring i frekvensdomänen (kap.4)

Bildförbättring i frekvensdomänen (kap.4) Bildörbättring i rekensdomänen kap.4 Föreläsning a Mer om iltrering Jämörelse med spatialdomänen Filterdesign Lågpassilter ögpassilter omomor iltrering Korrelation OBS!!! Alla bilder rån öreläsningen är

Läs mer

NetVista N2200w, tunn klient för Windows-based Terminal Standard 1.5 Referenshandbok april 2000

NetVista N2200w, tunn klient för Windows-based Terminal Standard 1.5 Referenshandbok april 2000 NetVista Thin Client NetVista N2200w, tunn klient för Windows-based Terminal Standard 1.5 Referenshandbok april 2000 Senaste uppdatering: http://www.ibm.com/nc/pubs SA14-3048-00 NetVista Thin Client NetVista

Läs mer

IBM Rescue and Recovery med Rapid Restore version 1.5 - handbok för anpassning och driftsättning

IBM Rescue and Recovery med Rapid Restore version 1.5 - handbok för anpassning och driftsättning IBM Rescue and Recoery med Rapid Restore ersion 1.5 - handbok för anpassning och driftsättning Första utgåan (maj 2004) Copyright International Business Machines Corporation 2004. All rights resered. Innehåll

Läs mer

Operationsförstärkare [14.1]

Operationsförstärkare [14.1] Föreläsng 3 Hambley: 4.2 4.4 Operationsförstärkare [4.] Operationsförstärkaren (operational amplifier eller opamp.) lanserades under 940 talet, och anände sig till en början a elektronrör. Operationsförstärkaren

Läs mer

Bézierkurvor och parametriska objektrepresentationer

Bézierkurvor och parametriska objektrepresentationer Sidan 1 av 11 Inledning Detta är en kort sammanfattning av teorimaterialet som år 2004 ingår i examinationen i kursen TNM077 3D-grafik och animering som ges vid Linköpings tekniska universitet på Campus

Läs mer

Introduktionsschema. Serum Sektionen HT15 VECKA 35. Häng med faddergruppen. Prideparad & Färgfest. Vattenlekar VECKA 36. Välkomstdag & Brännboll

Introduktionsschema. Serum Sektionen HT15 VECKA 35. Häng med faddergruppen. Prideparad & Färgfest. Vattenlekar VECKA 36. Välkomstdag & Brännboll Introduktionsschema Serum Sektionen HT15 VECKA 35 Fredag Lördag Söndag Häng med faddergruppen Prideparad & Färgfest Vattenlekar VECKA 36 Måndag Tisdag Onsdag Torsdag Fredag Lördag Söndag Välkomstdag &

Läs mer

Högtryckshomogenisering

Högtryckshomogenisering Processteknik för bioteknik- och lismedelsindustrin, BLT00 Lund, 06039 Lunds Tekniska Högskola Högtryckshomogenisering Projektlaboration i enhetsoperationer och mikrobiell processteknik A: Grupp B Andersson,

Läs mer

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen Ladokkod: TT081A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: Tid:

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen Ladokkod: TT081A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: Tid: Mekanik romoment: tentamen Ladokkod: TT81A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 16-6- Tid: 9.-13. Hjälpmedel: Hjälpmedel id tentamen är hysics Handbook (Studentlitteratur),

Läs mer

Tentamen TNM061, 3D-grafik och animering för MT2. Tisdag 3/ kl 8-12 TP51, TP52, TP54, TP56, TP41, TP43. Inga hjälpmedel

Tentamen TNM061, 3D-grafik och animering för MT2. Tisdag 3/ kl 8-12 TP51, TP52, TP54, TP56, TP41, TP43. Inga hjälpmedel Tentamen TNM061, 3D-grafik och animering för MT2 Tisdag 3/6 2014 kl 8-12 TP51, TP52, TP54, TP56, TP41, TP43 Inga hjälpmedel Tentamen innehåller 8 uppgifter, vilka tillsammans kan ge maximalt 50 poäng.

Läs mer

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Dagens ämnen Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna i rätt bas Kvadratiska former a 1 x 1 + a x +

Läs mer

- Datorer - Servers - Nätverk. - Installationer - Reparationer - Service - Support

- Datorer - Servers - Nätverk. - Installationer - Reparationer - Service - Support När det gäller kalificerade Onsdagen den 30 noember Vi har erfarenhet sedan 1991 en trygghet för åra kunder > > För företag > Priat > Kontakta > oss Kalmar NDC har som mål att alltid leererar kalitati

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Uppgifter på värme och elektricitet Fysik 1-15, höst -09

Uppgifter på värme och elektricitet Fysik 1-15, höst -09 Uppgifter på äre o eektriitet Fyik 1-15, öt -09 1. n auiniukopp ar aan 10 g o teperaturen. I koppen ä 150 art atten ed teperaturen 85. Vad koer attnet teperatur att i id jäikt ed koppen? Borte från oginingen

Läs mer

Lösningsförslag. Universitetet i Linköping Institutionen för Fysik och Mätteknik Arno Platau. Tentamen för "BFL 110, Tekniskt Basår, Fysik del 3"

Lösningsförslag. Universitetet i Linköping Institutionen för Fysik och Mätteknik Arno Platau. Tentamen för BFL 110, Tekniskt Basår, Fysik del 3 1 Uniersitetet i Linköping Institutionen för Fysik oh Mätteknik Arno Platau Lösningsförslag entamen för "BFL 110, ekniskt Basår, Fysik del 3" Onsdagen den 6 Maj 004, kl. 8:00-1:00 1.. I ett hamninlopp,

Läs mer

Vektorer, matriser, nätverk - några elementa

Vektorer, matriser, nätverk - några elementa Vektorer, matriser, nätverk - några elementa Innehåll: Vektorer Radvektorer och kolumnvektorer Operationer med vektorer Input- och outputvektorer i neurala nätverk Utvikning om kompetitiva nät Matriser

Läs mer

Tentamen i mekanik TFYA16

Tentamen i mekanik TFYA16 TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Intitutionen för Fyik, Kei och Biologi Galia Pozina Tentaen i ekanik TFYA6 Tillåtna Hjälpedel: Phyic Handbook eller Tefya utan egna anteckningar, aprograerad räknedoa enligt

Läs mer

Observationer rörande omvandling av digitala yttäckande vektordata till rasterformat.

Observationer rörande omvandling av digitala yttäckande vektordata till rasterformat. GeoDataEnheten Kulturgeografiska Institutionen 106 91 Stockhlm Observationer rörande omvandling av digitala yttäckande vektordata till rasterformat. 1993 Stefan Ene INNEHÅLL Inledning Omvandling av koordinatsatta

Läs mer

G16. En kula skjuts upp med hastigheten 22 m/s och kastvinkeln 27 o. Hur stor är kulans hastighet i kastbanans högsta punkt? Bortse från luftmotstånd.

G16. En kula skjuts upp med hastigheten 22 m/s och kastvinkeln 27 o. Hur stor är kulans hastighet i kastbanans högsta punkt? Bortse från luftmotstånd. Kaströrelse G9.En liten metallkula kastas horisontellt med hastigheten 5,3 m/s från höjden 1,7 m oanför golet. Hur lång tid dröjer det tills kulan träffar golet? G10. I startögonblicket har den leande

Läs mer

Komponentvisa operationer,.-notation Multiplikation (*), division (/) och upphöj till (ˆ) av vektorer följer vanliga vektoralgebraiska

Komponentvisa operationer,.-notation Multiplikation (*), division (/) och upphöj till (ˆ) av vektorer följer vanliga vektoralgebraiska Matlab-föreläsning 3 (4), 17 september, 2015 Innehåll Sekvenser (från förra föreläsningen) Upprepning med for-slingor och while-slingor Villkorssatser med if - then -else - Logik Sekvenser - repetion från

Läs mer

in t ) t -V m ( ) in - Vm

in t ) t -V m ( ) in - Vm 1 Föreläsning 17/11 Hambley asni 14.5 14.7 Komparaorn ej i Hambley) En komparaor anänds för a agöra eckne på den differeniella insignalen. Komparaorn besår a en operaionsförsärkare som aningen saknar åerkoppling

Läs mer

δx 1, (1) u 1 + u ) x 1 där den andra termen är hastighetsförändringen längs elementet.

δx 1, (1) u 1 + u ) x 1 där den andra termen är hastighetsförändringen längs elementet. Föreläsning 3. 1 Töjningstensorn I denna föreläsning kommer vi konsekvent att använda oss utav Cartesisk tensornotation i vilken vi benämner våra koordinater med (x 1, x 2, x 3 ) och motsvarande hastighetskomponenter

Läs mer

TRE TYPER AV SPATIALA DATA

TRE TYPER AV SPATIALA DATA STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 21 TRE TYPER AV SPATIALA

Läs mer

Föreläsning 9. Absolutstabilitet

Föreläsning 9. Absolutstabilitet Föreläsning 9 Absolutstabilitet Introduktion För att en numerisk ODE-metod ska vara användbar måste den vara konvergent, dvs den numeriska lösningen ska närma sig den exakta lösningen när steglängden går

Läs mer

SAMMANTRÄDESPROTOKOLL Sammanträdesdatum 2013-08-28. Kommunkontoret, Astrakanen, klockan 08.30-11.45

SAMMANTRÄDESPROTOKOLL Sammanträdesdatum 2013-08-28. Kommunkontoret, Astrakanen, klockan 08.30-11.45 [HJ BÅSTADS Sammanträdesdatum 2013-08-28 l (7) Plats och tid: Beslutande: Kommunkontoret, Astrakanen, klockan 08.30-11.45 Kerstin Gustafsson (M), Ann-Marie Johnsson (C) Ann-Margret Kjellberg (S) Pelle

Läs mer

REPETITION. [F ] = a. a m1... a mn Sådan att [F (v)] = [F ][v].

REPETITION. [F ] = a. a m1... a mn Sådan att [F (v)] = [F ][v]. REPETITION (1) Låt F : R n R m vara en linjär avbildning. Då är F (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) där f 1 (x 1,..., x n ) = a 11 x 1 +... + a 1n x n,..., f m (x 1,...,

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Varning!!! Varning!!!

Varning!!! Varning!!! Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H04 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat

Läs mer

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer