Vektorer En vektor anger en riktning i rummet (eller planet) och en längd (belopp). Vektorer brukar ritas som pilar, Vektoraddition

Transkript

1 Vektorer En ektor anger en riktning i rmmet (eller planet) och en längd (belopp). Vektorer brkar ritas som pilar, Vektoraddition Smman a tå ektorer och får i på följande is: lacera i pnkten och placera i den pnkt :s spets hamnar. Då har sin spets i en pnkt. Smman + är ektorn. och betecknas med bokstäer i fet stil,, r,.... Notera att en ektor inte har någon förankringspnkt i rmmet tan alla ektorer som pekar i samma riktning och är lika långa är samma ektor. Vektorsbtraktion + Differensektorn är den ektor som när i lägger till får. Längden a en ektor betecknas. En ektor som har längd 1 kallas för en enhetsektor. Vektorn som när den placeras i pnkten får sin spets i pnkten betecknas. ( ) + =

2 Mltiplikation med skalär Om k > 0 pekar ektorn k i samma riktning som men har längd k gånger :s längd. Om k < 0 pekar ektorn k i motsatt riktning som och har längd k gånger :s längd I planet Koordinatsystem Om i har giet tå icke-parallella ektorer e 1 och e 2 i planet, då kan i beskria arje pnkt i planet på följande sätt: Utgående från en baspnkt O anger i sträckor 1 och 2 i ska gå i respektie ektorriktning e 1 och e 2 för att komma till pnkten. e 2 2 e 2 e 1 O 1 e 1 olär ppdelning En ektor kan skrias som = e, där e är enhetsektorn som pekar i -riktningen. Detta är alltså en ppdelning a ektorn i dess belopp (längd) och dess riktning e. Räkneregler + = + (Kommtatia lagen) + ( + w) = ( + ) + w (Associatia lagen) k( + ) = k + k (Distribtia lagen) (k + l) = k + l (Distribtia lagen) k(l) = (kl) Talparet ( 1, 2 ) kallas för pnktens koordinater i koordinatsystemet Oe 1, e 2, e 3. I rmmet Med tre ektorer e 1, e 2 och e 3 i rmmet som inte ligger i ett plan kan i ttrycka arje pnkt i rmmet genom att ange en baspnkt O och tre sträckor i e 1 -, e 2 - respektie e 3 -riktningen som tar oss till pnkten. e 3 e 1 e 2 1 e 1 2 e 2 O 3 e 3 Taltrippeln ( 1, 2, 3 ) kallas för pnktens koordinater i koordinatsystemet Oe 1, e 2, e 3.

3 I planet Orientering Ett koordinatsystem i planet är ett högerhandssystem om basektorerna e 1 och e 2 har samma inbördes förhållande som högerhandens tmme och pekfinger. e 2 e 1 Komposant Några begrepp Om = ( 1, 2, 3 ) i koordinatsystemet Oe 1, e 2, e 3, d..s. = 1 e e e 3, då kallas 1 e 1, 2 e 2 och 3 e 3 för :s komposanter i e 1 -, e 2 - och e 3 -riktningen. Linjärkombination En smma i formen c c c m m, I rmmet Ett koordinatsystem i rmmet är ett högerhandssystem om basektorerna e 1, e 2 och e 3 har samma inbördes förhållande som högerhandens tmme, pekfinger och långfinger. e 3 e 2 e 1 där c 1,..., c m är tal, kallas för en linjärkombination a 1,..., m. Linjärt beroende/oberoende Om någon a ektorerna i samlingen { 1,..., m } kan ttryckas som en linjärkombination a de öriga ektorerna då sägs ektorerna ara linjärt beroende, annars linjärt oberoende. I en linjärt beroende samling ektorer finns alltså fler ektorer än antalet riktningar de beskrier. Sats Vektorerna 1, 2,..., m är linjärt oberoende om följande implikation gäller c c m m = 0 c 1 = = c m = 0.

4 Bas Om 1 och 2 i planet är linjärt oberoende, då kan arje ektor i planet skrias som en linjärkombination a 1 och 2. { 1, 2 } kallas därför för en bas till planet. Om 1, 2 och 3 i rmmet är linjärt oberoende, då kan arje ektor i rmmet skrias som en linjärkombination a 1, 2 och 3. { 1, 2, 3 } kallas för en bas till rmmet. ON-bas Skalärprodkten mellan tå ektorer och definieras som = ( e ) = e = cos θ. Sats och är inkelräta = 0. Koordinatform Om = ( 1, 2, 3 ) och = ( 1, 2, 3 ) i ett ON-system, då är = Om basektorerna i en bas är sinsemellan inkelräta och har längd 1, då sägs basen ara en ON-bas (ortonormerad bas). Skalärprodkt Skalärprodkten e mellan en ektor och en enhetsektor e är längden a ektorn :s komposant i riktningen e. θ e e e ekar :s komposant och e i motsatta riktningar är skalärprodkten negati. Om θ är inkeln mellan och e, då är e = cos θ. θ e Räkneregler = ( + w) = + w k( ) = (k) = (k) (Kommtatia lagen) (Distribtia lagen)

5 Linje Låt l ara linjen som går genom pnkten r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och är parallell med riktningsektorn = (a, b, c). arameterform r 0 Varje pnkts läge på linjen kan beskrias som att i först går till r 0 och sen en iss sträcka tmed -riktningen, l lan Ett plan π kan beskrias genom att ange en pnkt r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) i planet och en ektor n = (a, b, c) som är inkelrät mot planet, en s.k. normalektor. r 0 n π t r Ekation r 0 O r = r 0 + t arametern t bestämmer pnktens astånd från pnkten r 0. Utskriet i koordinatform får i En pnkt r = (x, y, z) ligger i planet om ektorn r r 0 (från r 0 till r) är parallell med planet, ilket är detsamma som att r r 0 är inkelrät mot n, n x = x 0 + at, y = y 0 + bt, z = z 0 + ct. r r 0 n (r r 0 ) = 0. Ekation Linjen kan också beskrias med ekationen x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c (om a, b, c 0). En pnkt (x, y, z) ligger på linjen om den ppfyller ekationen. I koordinatform blir ekationen a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0.

6 arameterform Ett plan kan också beskrias genom att ange en pnkt r 0 i planet och tå linjärt oberoende ektorer och som är parallella med planet. Kryssprodkt Kryssprodkten a tå icke-parallella ektorer och definieras som den ektor som har en riktning som är inkelrät mot och enligt högerhandsregeln, r 0 Varje pnkt i planet kan då beskrias som att i först går till r 0 och sedan en iss sträcka i -riktningen följt a en iss sträcka i -riktningen, och har beloppet r 0 s r t r = r 0 + s + t. Koordinatform = sin θ. Om = ( 1, 2, 3 ) och = ( 1, 2, 3 ) i ett högerhänt ONsystem, då är arametrarna s och t anger den sträcka i rör oss i respektie riktning. = ( , , ). Geometrisk tolkning Om i tolkar och som kantektorer i ett parallellogram,

7 då är Räkneregler = arean a parallellogrammet. = (Antikommtatia lagen) ( + w) = + w (Distribtia lagar) ( + w) = + w k( ) = (k) = (k) Obserera att ( w) ( ) w i allmänhet. Den associatia lagen gäller alltså inte. 2 2-determinanter Determinanter Tå ektorer = ( 1, 2 ) och = ( 1, 2 ) i planet spänner pp ett parallellogram. Arean a detta parallellogram är beloppet a determinanten = 1 2 = Determinanten är alltså en area med tecken. 3 3-determinanter Tre ektorer, och w i rmmet spänner pp en parallellepiped. w Volymen a denna parallellepiped är beloppet a determinanten w 1 w 2 w 3. Kofaktorteckling längs första raden En 3 3-determinant kan beräknas med kofaktorteckling längs första raden. Vi illstrerar med ett exempel, Varje element i första raden ger en term i kofaktortecklingen. Vi börjar med det änstra elementet och stryker den rad och den kolmn elementet befinner sig i

8 Determinanten a de tal som återstår kallas för en minor. Den första termen i kofaktortecklingen är elementet gånger denna minor, = När i går idare till nästa element i första raden strycker i på samma sätt den rad och den kolmn elementet befinner sig i, Den andra termen i tecklingen är elementet gånger den nya minor i får a de icke strkna talen. Denna term har dock ett minstecken framför sig, = För det sista elementet i raden stryker i raden och kolmnen elementet befinner sig i, Den sista termen i tecklingen blir elementet gånger motsarande minor (med plstecken), = Detta är kofaktortecklingen a determinanten längs första raden. 2 2-minorerna i tecklingen räknar man sen t med den anliga formeln. Determinantformel för kryssprodkten Kryssprodkten kan beräknas med följande formel e 1 e 2 e 3 = , där determinanten beräknas med kofaktorteckling längs första raden, = e e e Skalär trippelprodkt Den skalära trippelprodkten definieras som a 1 a 2 a 3 [a, b, c] = a (b c) = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3, Sats a, b och c är linjärt beroende [a, b, c] = 0. Beis Vektorerna a, b och c är linjärt beroende omm (om och endast om) de ligger i ett plan, ilket är detsamma som att parallellepipeden de spänner pp har olym noll, d..s. [a, b, c] = 0.

9 roblem Aståndsproblem Bestäm det kortaste aståndet mellan en pnkt/linje/plan och en pnkt/linje/plan. Gemensamt för alla dessa aståndsproblem är att det kortaste aståndet ges a det inkelräta aståndet. Låt oss isa detta för aståndsproblemet mellan en pnkt och ett plan. Låt ara den pnkt i planet som gör att ektorn är inkelrät mot planet och låt R ara någon pnkt i planet. R R bildar då en rätinklig triangel och ythagoras sats ger att R 2 = 2 + R 2 2. Detta isar att R, d..s. att är det kortaste aståndet. De möjliga aståndsproblemen är Astånd mellan pnkt linje plan pnkt linje 4 5 plan 6 Vi isar n hr man löser arje typproblem. 1. nkt-pnkt Aståndet mellan pnkterna = (p 1, p 2, p 3 ) och = (q 1, q 2, q 3 ) ges a aståndsformeln = (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 + (p 3 q 3 ) nkt-linje Aståndet mellan pnkten och linjen l ges a det inkelräta aståndet. d Tag en pnkt på l. Då ges aståndet a längden a ektorn :s komposant inkelrätt mot linjens riktning. :s komposant inkelrätt mot l

10 Vi får denna komposant som differensen mellan och :s komposant i -riktningen, 4. Linje-linje Aståndet mellan linjen l 1 och linjen l 2 ges a det inkelräta aståndet. d = ( e )e. 1 ( e ) e d l nkt-plan Aståndet mellan pnkten och planet π ges a det inkelräta aståndet. Tag en pnkt på π. Då ges aståndet d a längden a ektorn :s komposant i planets normalriktning n. d π Aståndsektorn är parallell med ektorn l 2 n = 1 2, som jst är inkelrät mot linjernas riktningar 1 och 2. Tag en pnkt på l 1 och en pnkt på l 2. Då ges aståndet d a längden a ektorn :s komposant i n-riktningen. n n d = ( e n )e n = e n. d = ( e n )e n = e n

11 Vi kan inse detta med följande resonemang. Låt A och B ara de pnkter på respektie linje som ger det kortaste aståndet. d A B e n 5. Linje-plan Linjen l och planet π måste ara parallella för att problemet ska ara meningsfllt (annars skär de arandra och aståndet är noll). Tag en pnkt på linjen. d l Då är d = BA = BA e n. Dela pp ektorn genom att gå ia B och A. Vi har n att A B e n = ( B + BA + A ) e n = B e n = B + BA + A + BA e n + A e n De gråfärgade termerna blir noll eftersom B och A är parallella med respektie linje och därmed inkelrät mot e n. = 0 + BA e n + 0 = BA e n = BA = d. Då är aståndet mellan linjen och planet lika med aståndet mellan pnkten och planet. Detta är ett pnkt-planproblem (se fall 3). 6. lan-plan De tå planen måste ara parallella för att problemet ska ara meningsfllt (annars skär de arandra och aståndet är noll). Tag en pnkt i det en planet. Då är aståndet mellan planen lika med aståndet mellan pnkten och det andra planet. Detta är ett pnkt-plan-problem (se fall 3). π