1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

Transkript

1 . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare i grndkrsen betecknat vektorer med,v,... eller v,v 2,... Vi har sett att i ett koordinatsstem i rmmet med basen e = {e,e 2,e 3 } kan vi skriva vektorn med hjälp av dess koordinater enligt = e + e 2 + ze 3 = e z = ex, där X = Vi har också härlett räknelagar samt definierat det viktiga begreppet skalärprodkt för vektorer, se nedan. Här kommer vi att stdera dessa vektorer lite djpare och se hr vi kan tillämpa dessa i olika viktiga sittationer. För att knna göra detta behöver vi ett fnktionsbegrepp som vi kallar linjär avbildning och som vi betecknar F. En Linjär avbildning F svarar i endimensionella fallet mot fnktionen, = f() = a. En definitionsmängd samt en värdemängd kommer att höra till den linjära avbildningen F. Dessa mängder kallas vektorrm och betecknas V. På samma sätt som talet a representerar fnktion f() = a kommer en matris A att representera F, så att F(e X) = eax. Till den linjära avbildningen F hör också en mcket viktig mängd vektorer; de som kallas för egevektorer till F. Egenvektorer v har den nika egenskapen att de avbildas på en sträckning, λ R, av sig själva (eller motsatt riktning) nder F, dvs F(v) = λv. Talet λ kallas för egenvärdet till F med tillhörande egnvektorn v. Många frågeställningar i linjär algebra kommer så småningom att kräva att man kan lösa sstem av linjära ekvationer. En av de enklaste linjära ekvationer är räta linjensekvation som på normalform ser t A + B = C. (.2) Om vi sätter = t, t R och löser t = C A B t kan linjensekvation i (.2) skrivas på A paremterformen { = = t C A B A t eller ( ) = ( C/A z. ) ( B/A + t ( ) C/A Ur denna form ser vi att vektorn är ortsvektorn för pnkten (C/A,) på linjen. ( ) B/A Utgår vi från denna pnkt och följer riktningen v = kommer vi med rätt värde på steglängden t att nå varje pnkt på linjen. Därav kallar vi v för linjens riktningsvektor. ).

2 2 INLEDNING ( ) A Förtom riktningsvektorn är för linjen normalen n = en annan viktig vektor. B Dessa två vektorer är ortogonala, t v n =. Därav säges linjensekvation i (.2) vara en ekvation på normalform. Lösningsmängden för följande sstem av linjära ekvationer { A + B = C A 2 + B 2 = C 2 beskriver således geometriskt skärningsmängden mellan linjerna. Denna mängd kan antingen vara tom då linjerna är parallella, en pnkt eller oändligt många pnkter då linjerna sammanfaller. Mängden av pnkter (,,z) i rmmet som satisfierar den linjära ekvationen A + B + Cz = D (.3) beskriver geometriskt ett plan i rmmet. Till planet i (.3) hör en normal n = A B C som är ortogonal mot planet. Därav säger vi att ekvationen är skriven på normalform. Låt oss visa detta. Vi sätter = λ och z = λ 2, där λ,λ 2 R. Då kan ekvationen i (.3) skrivas på formen s D/A = λ B/A + λ 2 C/A Här ser vi att pnkten (,,z) ligger i planet bara om vektorn = är parallell med planets riktningsvektorer v = B/A och v 2 = C/A. z D/A I det här avsnittet kommer begreppet parallell med att ersättas med det mer allmänna begreppet linjärkombination av. Vi säger då att planet är mängden av alla vektorer som är en linjärkombination av vektorerna v och v 2 och skriver = λ v + λ 2 v 2. Att normalen är ortogonal mot planet är detsamma som att mormalen är ortogonal mot varje vektor i planet. Speciellt gäller att { n v = n v 2 =.

3 3 v 2 v Nedan påminner vi om vissa begrepp från vektorgeometrin i grndkrsen som vi behöver vara förtrogna med för fortsättningen. T.e. bör vi. komma ihåg att en vektor är en mängd som består av alla riktade sträckor som är lika långa och som har samma riktning och att vi brkar räkna med en representant för denna mängd. 2. veta hr nollvektorn resp. ortsvektorn till en pnkt är definierade. 3. knna räknelagarna för vektorer såsom addition mellan vektorer, mltiplikation av ett reellt tal med en vektor samt räkna t längden för en vektor. 4. veta att om e och e 2 är två ortogonala vektorer med längd, så säger vi att mängden e = {e,e 2 } är en ortonormerad bas, förkortas ON-bas, i planet. 5. att ON-basen e = {e,e 2 } spänner pp planet, dvs till varje vektor finns talpar (, ) som kallas koordinater och som är sådana att är en linjärkombination av basen e, dvs = e + e veta att om e är en ON-bas i planet så är Oe e 2 ett rätvinkligt koordinatsstem. 7. veta att motsvarande gäller för rmmet där ON-basen är e = {e,e 2,e 3 }.

4 4 INLEDNING Vi behöver också vara bekanta med begreppet vinkelräta vektorer eller som vi allmännare kommer att säga ortogonala vektorer. För detta behöver vi en skalärprodkt som ska vara definierad. Vi behöver t.e. knna veta att. skalärprodkten mellan två vektorer och v definieras via där θ är vinkeln mellan och v. 2. om e = {e,e 2,e 3 } är en ON-bas i rmmet, så gäller att {, om i = j, e i e j =, om i j. 3. för vektorer = ex, där X = e = {e,e 2,e 3 } gäller att v = v cos θ, (.4) 2 3 och v = ey, där Y = 2 3 givna i en ON-bas v = (.5) 4. Längden av vektorn kan beräknas enligt (.5): 2 = =. 5. om och v är två vektorer givna i ON-basen e, så kan v skrivas som en ortogonalprojektion på, dvs v = v + v, där är parallell med n och är ortogonal mot n. Figr.. v = v 2 (.6) v = v v 2 (.7) v v v //

5 5 Bevis: Att v är parallell med betder att det finns ett reellt tal λ, så att v = λ. Eftersom v är ortogonal mot, dvs v = och v = v v, följer att Alltså är = v = (v v ) = (v λ) = v λ. λ = v och formlerna (.6) och (.7) därmed följer. 6. Om och v har samma riktning, dvs vinkeln mellan dem är, får vi att v = v cos = v. 7. Pthagoras sats säger v 2 = v 2 + v följande räknelagar gäller för skalärprodkten: a) v = v b) (λv) = λ( v), λ R c) = 2 d) = = e) (v + w) = v + w Lagen i a) brkar vi kalla för den kommtativa lagen. I b) brkar vi säga att skalärprodkten är homogen och i c) och d) att den är positiv. Sista lagen i e) kallar vi för distribtiva lagen. Lagarna a), c) och d) följer direkt r Definitionen.4. Verifera gärna detta! För b) antar vi att λ > och ritar figren Figr.2. λ v (λ v) v v (λ v) // A B C v //

6 6 INLEDNING Av likformighet i trianglarna följer att Om och v har samma riktning så får vi AC= λ AB= λv. (λv) = AC= λv = λv = λ v = λ v = λ v. Verifera gärna fallet λ <! Sltligen visar vi den distribtiva lagen i e). Av figren Figr.3. v w v v+w v // A B C w // framgår att projektionen av (v + w) på är lika med smman av projektionenerna av v och w) eftersom (v + w) = AC= AB + BC= v + w. Om, som i figren visar, v och w har samma riktning som gäller att (v + w) = (v + w) = (v + w) = v + w = v + w = ( v + w ) = v + w = v + w = v + w.