MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,"

Helen Fredriksson
för 4 år sedan
Visningar:

1 MA00 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 0 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som tet i en Input Cell. Övrig tet som i en Tet Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betgsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lcka till! Bertil. Bestäm längden av. (p) Låt vektorerna,,,, 0, och,,. Del A 5 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica. Lösningsförslag: Räkna på. Längden av en vektor.,..,,, 9 a 7 b c d.. e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: e. Bestäm en enhetsvektor i riktningen. (p) Lösningsförslag: Räkna på,, där är vektorn enligt receptet i uppgiften. Trean behöver naturligtvis inte vara med, räcker. Jobbet görs direkt i Mathematica av Normalize a 5,0, 5 5, 0, b Normalize c 5, 0, d 5, 0, e Inget av a till d.. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive. Sök längden av ortsvektorn för punkten mitt emellan A och B. (p) Lösningsförslag: Den sökta ortsvektorn är, med längden Norm a 5 b Norm c 6 d Normalize e Inget av a till d.. Bestäm skalären s så att vektorn s blir vinkelrät mot. (p) Lösningsförslag: Vi vet att s s 0, så Solve s. 0 s a 5 b c d e Inget av a till d.

2 5. Bestäm skalären s så att vektorn s blir så kort som möjligt. (p) Lösningsförslag: Vi söker tdligen avståndet från origo till linjen s, så s ges av s s 0. Solve s. 0 s 6 5 a Solve s. 0 b c Minimize s d e Inget av a till d. 6. Beräkna vinkeln mellan och negativa -aeln. (p) Lösningsförslag: Vinkeln ur definition på skalärprodukt..0,, 0 ArcCos. Π a Π b arccos 5 c arccos 5 d Π e Inget av a till d. 7. Dela upp i två vinkelräta komposanter varav den ena är parallell med. Bestäm den andra! (p) Lösningsförslag: Projektionen av på är ju den parallella komposanten, så den vinkelräta.. 8,, Rätt svarsalternativ: e a.. b 0,, c,, d. e Inget av a till d.. 8. Kraften N flttar en låda från en lagerplats med ortsvektorn m till en annan lagerplats med ortsvektorn m. Sök det uträttade arbetet. (p) Lösningsförslag: Här är såväl kraft som förflttning givna på "ren" vektorform så vi får direkt A. Nm 90 Nm a 90 Nm b 0Nm c 90 Nm d 60 Nm e Inget av a till d. 9. Kraften N angriper i en punkt vars ortsvektor är m. Bestäm momentet kring origo. (p) Lösningsförslag: Även i denna uppgift är såväl kraft som ortsvektor givna på "ren" vektorform så vi får direkt momentet kring koordinatalarna., 7, a, 7, Nm b, 7, Nm c, 7, Nm d, 7, Nm e Inget av a till d. 0. Låt och beräkna sedan. (p) Lösningsförslag: Vi får direkt

3 Det 7 a 7 b 9 c d e Inget av a till d.. En laboratorieassistent får i uppgift att blanda ihop liter 7% koksaltlösning. Endast färdigblandade koksaltlösningar med koncentrationerna 5% respektive 0% får användas. Hur många liter av vardera lösningen ska assistenten ta? (p) Lösningsförslag: Problemteten möblerar ett litet ekvationssstem som lätt löses för hand! Solvev 5 v 0, 5 v 5 0 v 0 7 v 5 6 5, v 0 5 Rätt svarsalternativ: e a v 5, v 0 b v 5 5, v c v 5 5, v 0 d v 5, v 0 e Inget av a till d.. Sök en matris så att a a a a a a a a. (p) Lösningsförslag: Finns ej! Linjärkombination av rader kräver förmultiplikation med en permutationsmatris.. a a a a a a a a a a a a Rätt svarsalternativ: c a b 0 c Finns ej d 0 e Inget av a till d.. Låt 5, och lös matrisekvationen. (p) Lösningsförslag: Lös ut ;. Så a b 0 0 c d 0 0 e Inget av a till d.. Vid anals av svängningar i mekaniska sstem får man egenvärdesproblemet Λ, där kallas stvhetsmatris och massmatris, båda smmetriska, samt Λ egenvärden och till Λ hörande egenvektor som vanligt. Skriv om till den standardform du känner igen och bestäm egenvärdena om 5 och 0 0. (p) Lösningsförslag: Egenvärdena ges av sekularekvationen Λ 0, med. SolveDetInverse Λ Λ, Λ Rätt a, b, c, d, e Inget av a till d. svarsalternativ: c 5. Studera enhetskvadraten, det vill säga med sidan. Se figur. Låt i, i,,, vara ortsvektorerna till dess numrerade hörn. Vilken figur erhålles efter transformationen i? 0

4 Lösningsförslag: Efter multiplikation av de fra ortsvektorerna enligt receptet i problemteten inser vi att... Rätt svarsalternativ: c a b c d e Inget av a till d. Del B 5 poäng med fokus på modellering och Mathematica. 69. Sök skärningspunkten mellan linjen t och planet z. 6. Bestäm en normalvektor till planet. (p) Lösningsförslag: Läs av, 0, ; a, 0, b, 0, c,, d, 0, e Inget av a till d. 7. Bestäm ortsvektorn 0 för en punkt i planet. (p) Lösningsförslag: Meka till ett 0, eempelvis 0, 0, ; a 0, 0, b 0, 0, c 0,, d 0, 0, e Inget av a till d. 8. Bestäm t för skärningspunkten. Spara den som regel i T Q. (p) Lösningsförslag: Sätt in linjens ekvation i planets ekvation. T Q Solve t 0. 0 t 9 5 a T Q Solve t 0. 0 b T Q Solve t 0. 0 c T Q Solve t d T Q Solve t 0 0 e Inget av a till d. 9. Bestäm slutligen ortsvektorn för skärningspunkten. (p) Lösningsförslag: Sätt in aktuellt t i linjens ekvation! t.t Q First 5, 9 9, 5 5 a 0 t.t Q b T Q c T Q. t d t.t Q e Inget av a till d.

5 05. En homogen lucka med massan m öppnas genom att dra i en lina. Placera modellen i ett vanligt z sstem med origo i O, aeln åt höger och aeln rakt upp genom B. Hela skådespelet utspelas i planet, men räkna i tre dimensioner. 0. Bestäm enhetsvektorn som beskriver luckans läge som funktion av Θ. (p) Lösningsförslag: Tpisk enhetsvektor. CosΘ, SinΘ, 0; a SinΘ, CosΘ, 0 b CosΘ, SinΘ, 0 c 0.5 CosΘ, SinΘ, 0 d 0.8 CosΘ, SinΘ, 0 e Inget av a till d.. Sök ortsvektorerna O, A, B och G till tngdpunkten. Ange A. (p) Lösningsförslag: Vi behöver alla. O 0, 0, 0; A 0.5 ; B 0, 0., 0; G ; a A b A 0.5 c A 0.5 d A e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: c. Frilägg luckan genom att klippa av linan och ta bort lagret vid O och ersätt dem med krafter. Ansätt O i O. (p) Lösningsförslag: Ansätt okända komponenter. O F O,F O,0; a O F O,F O,0 b O F O,F O,0 c O F O,F O,0 d O F O,F O,0 e Inget av a till d.. Ansätt linkraften A i punkten A. (p) Lösningsförslag: Dela upp kraften i storlek och enhetsriktning som vanligt. A T Normalize B A ; a A T Normalize B A b A T Normalize A B c A T B A d A T Norm B A e Inget av a till d.. Bestäm tngdkraften G. (p) Lösningsförslag: Lättast av dem alla. G mg 0,, 0; a G mg b G mg 0,, 0 c G mg 0, 0, d G mg 0,, 0 e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: e 5. Bestäm nu alla okända storheter med jämviktsekvationerna i, i i. Rita T mg, Θ0, Π med pntade alar. (p) Lösningsförslag: Gör dé! 5

6 Solve O A G, O O A A G G 0, F O,F O,T PlotT mg., Θ, 0, Π, AesLabel "Θ", "Tmg" F O. mg cosθ, F O. mg sinθ 0. mg, T. mg sinθ. cosθ Tmg Θ a Solve O A G, O O A A G G, F O,F O,T 0; PlotT mg., Θ, 0, Π, AesLabel "Θ", "Tmg" b Solve O A G ; O O A A G G 0, F O,F O,T; PlotT mg., Θ, 0, Π, AesLabel "Θ", "Tmg" c Solve O A G, O O A A G G 0; PlotT mg., Θ, 0, Π, AesLabel "Θ", "Tmg" d Solve O A G, O O A A G G 0, F O,F O,T; PlotT mg., Θ, 0, Π, AesLabel "Θ", "Tmg" e Inget av a till d. 6. Planet a b z 0, där a och b är konstanter, innehåller den punkt som har som ortsvektor och är parallellt med. Bestäm a och b. (p) Lösningsförslag: De två villkoren möblerar ett ekvationssstem för de två sökta konstanterna. Solve a b 0, Planet innehåller given punkt a, b,. 0 Planets normal a, b 9 a Solve a b 0, b Solve a b 0, a, b, 0 a, b,. 0 c Solve a b 0, d Solve a b 0, e Inget av a till d. a, b, 0 a, b, Anpassa a b med (MKM) till mätvärdena Ange i det överbestämda ekvationssstemet a b. (p) Lösningsförslag: De tre mätpunkterna möblerar och i det överbestämda ekvationssstemet a b för de sökta konstanterna a och b, där, ;, a b 0 c d e Inget av a till d. 6

7 8. Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssstemet a b. (p) Lösningsförslag: Normalekvationerna a b får vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssstemet a b med transponatet till, alltså...a, b. a b, a 7 b 6 0,6 Rätt svarsalternativ: e a a b b.. a b. c..a, b. d..a, b. e Inget av a till d. 9. Bestäm a och b med lämplig funktion i Mathematica. (p) Lösningsförslag: Naturligtvis är det Solve som är lämplig (som vanligt). I detta fall blir det en enkel match att lösa eftersom ekvationerna tdligen är okopplade, så slutligen det efterlängtade. aåb NSolve..a, b. a 5., b Men, men...bland alternativen är det Fit som är rätt och snabbaste vägen då vi har linjär (MKM)! Ordningen i spelar ingen roll. Fit ,,, a Fit ,,, b Fit ,,, c Minimize ,,, d Fit ,,, e Inget av a till d. 0. Antag att a och b är sparade som regler i aåb. Rita modellen med mätpunkterna markerade. Välj färger, pnta alarna osv! (p) Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp. Plota b. aåb,, 0,, PlotStle Orange, AesLabel "", "", Epilog PointSize0.0, Red, Point

8 a PlotaÅb. a b,, 0,, PlotStle Orange, AesLabel "", "", Epilog PointSize0.0, Red, Point b PlotaÅb. a b,, 0,, PlotStle Orange, AesLabel "", "", Epilog PointSize0.0, Red, Point c Plota b. aåb,, 0,, PlotStle Orange, AesLabel "", "", Epilog PointSize0.0, Red, Point d Plota b. aåb,, 0,, PlotStle Orange, AesLabel "", "", Epilog PointSize0.0, Red, Point e Inget av a till d. 8

Relevanta dokument

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, MA00 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, 08-0-06 Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 0 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas