MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Transkript

1 MA00 Tillämpad Matematik II,.hp, 0-0- Hjälpmedel: Räknedosa! Tänk på att dina lösningar ska utformas så att det blir lätt för läsaren att följa dina tankegångar. Ofullständiga lösningar, eller lösningar som är svåra att följa ger poängavdrag. Skriv tydligt! Motivera väl! Endast svar accepteras ej! För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lycka till! Bertil Låt vektorerna a =, -,, b =, 0, - och c = -,, -. Del A Handräkning, p/uppgift.. Sök arbetet A Nm som uträttas då kraften c N flyttar en låda m i riktning b. Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram kraft och förflyttning på vektorform. F c -,, - s b b.b, 0, -0 Varav arbetet i Nm. A F.s -. Ett kraft a N angriper i en punkt som har ortsvektorn b m. Bestäm kraftmomentet M Nm kring origo. Lösningsförslag: Vi får direkt momentet i origo M = r äf. M ba -, -, -. Låt matrisen A μ vara given. Bestäm sedan en matris P μ så att kolonnerna i matrisprodukten AP blir lika med kolonnerna i A fast i omvänd ordning. Lösningsförslag: Eftersom vi bara ska kopiera så söker vi en matris där elementen är antingen eller 0. Efter "lite provande" ser vi att P = 0 gör jobbet. 0 a a a a. 0 0 a a a a

2 . Låt A = och bestäm inversen till A. - - Lösningsförslag: Om B = A = - - har vi direkt B- = Inverse ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÿ---ÿ - - = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ - x. Studera ekvationssystemet 6 y = och fullborda sedan Gauss eliminationssteg 6 8 z Ñ genom att fylla i den saknade koefficienten Lösningsförslag: 6 ~ Hit räcker! ~ ~ Del B Användning av Mathematica. Markera alla stora bokstäver i Mathematica genom att stryka under dem! Skilj noga på ()[]{}.ä! Ange om du använder Palette eller Â-sekvenser! Använd gärna förklarande text&pilar! p/uppgift. 6. Bestäm längden av a, a äb och vinkeln mellan a och b. Lösningsförslag: Lite vektorslöjd. a.a a.b, ab, ArcCos a.a b.b,,,, cos - - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. Visa hur du skriver in B = - och bestäm sedan BB, transponat, determinant, invers samt - egenvärden och egenvektorer. Lösningsförslag: Matrispyssel. B ; B.B - -9 B Âtr eller TransposeB

3 - - DetB - InverseB EigensystemB ÅÅÅÅ - - ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ - -, ÅÅÅÅ 6 ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 6 - +, 8. Bestäm egenvärdena till A = genom att lösa sekularekvation A -l I = 0. Lösningsförslag: Det är bara att följa receptetet... SolveDet l Ø-, l Ø 9. Låt A = 6. Hämta de två första raderna och de två sista kolonnerna med indexering och - spara dem i matrisen C. Lös sedan C x y =. Lösningsförslag: Matriser igen. C 6 SolveC. x y x Ø ÅÅÅÅÅ, y Ø ÅÅÅÅÅ,,, 0. Ta hjälp av en lämplig funktion för att anpassa y = ax + b x med MKM till x 0 y 0. Lösningsförslag: Fit och FindFit är lämpliga funktioner för jobbet!

4 f Fitdata 0 0. x - 0. x En bild piggar alltid upp., x, x, x Plotf, x, 0,, PlotRange All, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize0.0, Red, Point data y 0.. x Del C Modellering och Mathematica, p/uppgift.. Bestäm skräningspunkten mellan planet x + y - z = och linjen a + s b. Lösningsförslag: Först planets normal n och en "punkt" r 0 i planet. n,, ; r 0 0,, 0; Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet, så linjen i planets ekvation r - r 0 ÿ n = 0 bestämmer antalet steg s med steget b från "a" till skärningspunkten. Varav s ekv a s b r 0.n 0 s + s ess Solveekv First s Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ 0 och slutligen skärningspunkten. a s b. ess ÅÅÅÅÅÅÅ 9 0, -, 9 ÅÅÅÅÅ

5 . I föreskriften för en speciell diet står att man dagligen bör inta dryck som ger minst 00 kcal, 6 mg Vitamin-A och 0 mg Vitamin-C. Sådana drycker finns att köpa på burk. Stina som nappat på dieten fokuserar på två märken med innehåll enligt följande tabell. Dryck Energi Vitamin A Vitamin C Pris Slim 60 kcal mg 0 mg 8 krburk Fit 60 kcal 6 mg 0 mg krburk Hur många burkar av varje märke bör hon dricka dagligen för att minimera kostnaden och samtidigt tillgodose de krav som dieten föreskriver? a) Formulera LP-problemet som hjälper Stina att välja burkar. b) Gör en grafisk representation med bivillkorslinjer, tillåtna området med alla hörnpunkter numrerade samt några nivåkurvor. c) Ange optimal hörnpunkt med aktiva bivillkor och minsta kostnad. d) Ges något av Energi, Vitamin-A eller Vitamin-C i överflöd? Lösningsförslag: Svar a) till d). Tydligen Slim och Fit till en minsta kostnad av 98 kr. Vi ser att Vitamin-A ges i överflöd. LPSolve8Slim Fit, 60Slim 60Fit 00, Slim 6Fit r 6, 0Slim 0Fit r 0, Slim 0, Fit 0, 0Range, Slim, 0, 6, Fit, 0, 6 Vinst Energi VitaminA VitaminC Visst Nivåkurvor Fit 6 nr biv punkt objfkn,, 98,, 06, 6, 0 08, 0, 6 6 Slim