MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Transkript

1 MA004 Tillämpad Matematik II, 7.hp, Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 0 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lycka till! Bertil. Beräkna. (p) Lösningsförslag: Räkna på!. Låt vektorerna,,,, 0, 4 och,,. Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.,, a,, b 0,, c d.. Rätt svarsalternativ: a. Bestäm en vektor i riktningen som har längden. (p) Lösningsförslag: Vi söker tydligen. Skalfaktorn i riktningen behövs naturligtvis inte. Men för tydlighetens skull Normalize a 6,0, 8 Rätt svarsalternativ: a 4 b Norm c, 0, 4 d, 0, 4. Låt punkterna A och C ha ortsvektorerna respektive. Sök ortsvektorn för den punkt som ligger tre längdenheter från A i riktning mot C. (p) Lösningsförslag: Räkna på! Normalize,, 4 a 4 b Norm c d Norm 4 4. Beräkna arean av den triangel som spänns upp av och. (p) Lösningsförslag: Vi har att A. Norm a 7 Norm b Norm c Abs. d Norm. Bestäm skalären s så att vektorn s blir så kort som möjligt. (p) Lösningsförslag: Vi söker tydligen avståndet från origo till linjen s, så s ges av s s 0. Solve s. 0

2 s 6 Rätt svarsalternativ: b a Solve s 0 b 6 c MinimizeAbs s d 6. Beräkna minsta värdet av om, och. (p) Lösningsförslag: Vi får 6 7 7cosΘ {Minst om och är motriktade} 7 7. Rätt svarsalternativ: c a 4 b 6 c d 4 7. Punkterna A,, 0, B,, och vektorn, 0, är givna. Om man går s från A kommer man till Q, då är precis som i figuren vinkeln vid B rät. Sök s. p A Q B Lösningsförslag: När man gått färdigt är BQ AB BQ AB 0 sabab 0, där AB OB OA. Nu är det bara att räkna fram s ur projektionspysslet AB,,,, 0; Solves, 0, AB.AB 0 s a b c d 8. Ett rep mellan origo och den punkt som har som ortsvektor är spänt till 0 N. Sök linkraften i origo. (p) Lösningsförslag: Räkna på! 0 Normalize 6, 0, 8 a 0, 0, 4 b 0 Norm c 0, 0, 4 d 0 Normalize 9. Kraften N angriper i en punkt vars ortsvektor är m. Bestäm momentet kring origo. (p) Lösningsförslag: Även i denna uppgift är såväl kraft som ortsvektor givna på "ren" vektorform så vi får direkt momentet kring koordinataxlarna. Nm 4Nm, Nm, Nm Rätt svarsalternativ: a a 4,, Nm b 4,, Nm c 4,, Nm d 4,, Nm 0. Sök en matris så att a a a a a a. (p) Lösningsförslag: Eftermultiplikation med för att göra linjärkombination av kolonner. Känsla för matrismultiplikation och provande a a a a. 0 a a a a a a Rätt svarsalternativ: b a 0 b 0 c Finns ej d 0. Låt. Beräkna. (p) Lösningsförslag: Går fint!

3 .. IdentityMatrix Välj passande 4 4 a b Går ej c d 4 4. Beräkna (p) Lösningsförslag: Utveckla längs andra kolonnen med många nollor, Det Rätt svarsalternativ: c a b 0 c 0 d Determinant Givet 4 x y. Hur ser den utökade matrisen ut efter Gauss eliminationssteg? (p) Lösningsförslag: Det är bara en nolla att vaska fram, så a 0 8 b 0 c 0 d Låt och bestäm egenvärdena till matrisen. (p) Lösningsförslag: Först sedan 0 0 ;. sedan egenvärden med sekularekvationen. SolveDet.Λ Λ, Λ Se upp för a ij i Mathematica SolveDet Λ 0 0 0

4 Λ, Λ a, 9 b, 9 c 4, 4 d,. Bestäm det arbete som kraften x, N uträttar då den släpar en låda från origo längs backen y x till punkten, m. (p) Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små arbeten, A F x, F y x, yf x, F y, y x x. y x A 0 A x,., Dx,x Nm x 0 A Nm a Nm b Nm c Nm d 7 Nm Rätt svarsalternativ: b Del B poäng med fokus på modellering och Mathematica. 60. Ett flygplan håller alltid farten 0 ms. En dag blåser det 0 ms i sydostlig riktning, det vill säga från origo i riktning sydost. Vilken riktning ska flygplanet nu välja för att resan ska gå rakt österut och vad blir flygplanets resulterande fart då? 6. Låt x axeln peka österut och y axeln norrut. Använd vinkeln Θ i förhållande till positiva x axeln och teckna flygplanets sökta enhetsriktning. (p) Lösningsförslag: Typisk enhetsvektor. CosΘ, SinΘ; a CosΘ, SinΘ: b CosΘ, SinΘ; c SinΘ, CosΘ d SinΘ, CosΘ; Rätt svarsalternativ: b 7. Teckna flygplanets hastighet. (p) Lösningsförslag: Typisk sammanslagning av en vektors atomer! 0 ; a 0 b 0 c 0 Norm d 0 ; 8. Teckna vindens hastighet. (p) Lösningsförslag: Det är bara att följa receptet 0 Cos Π 4, Sin Π 4 ; a 0 Sin Π, Cos Π ; 4 4 b 0 Cos4, Sin4; c 0 Cos Π, Sin Π ; 4 4 d 0 Sin Π, Cos Π ; Bestäm Θ och resulterande fart w österut. (p) Rätt svarsalternativ: c 4

5 Lösningsförslag: Typiskt ekvationssystem. flyg Solve w, 0, Π Θ Π w 0 0 6, Θ sin Rätt svarsalternativ: b a flyg Solve w, 0, Π Θ Π b flyg Solve w, 0, Π Θ Π c flyg Solve w, 0, Π Θ Π d flyg Solve w 0,, Π Θ Π 0. Rita hastighetsvektorn i rött. (p) Lösningsförslag: Rita på! GraphicsRed, Arrow0, 0,. flyg a GraphicsRed, Arrow0, 0,. flyg b GraphicsRed, Arrow0, 0,. flyg c GraphicsRed, Arrow. flyg d GraphicsRed, Arrow. flyg. En skylthållare utanför en butik består av ett så kallat plant fackverk med två stänger fritt ledade med varandra och omgivningen. Punkterna B och C är fixerade i väggen. Kraften F x, F y från skylten verkar i punkten A och orsakar då en förskjutning Δ Δ x, Δ y av A. Sambandet mellan och Δ är linjärt. Mätningar har visat att om, 0 NsåärΔ4, mm och om 0, så är Δ, mm.. Ange den så kallade vekhetsmatrisen, definierad av Δ. (p) Lösningsförslag: Identifiering i matrismultiplikation ger direkt. B C y A x 4 ; a 4 b 4. Sök F x, F y då Δ,. (p) Lösningsförslag: Lös ekvationssystemet för givet högerled. Solve.F x,f y, 4 c Inverse d 4 Δ x, Δ y a Inverse, b Solve F x,f y, c Inverse. d Solve.F x,f y,. Bestäm s så att vektorn, s, blir parallell med vektorn,. (p) Lösningsförslag: Vi vet att t. Detta ger ett ekvationssystem med två ekvationer, x- och y-komponenterna, med de två variablerna s och t som obekanta. Solve, s, t,

6 s, t 7 a Solve, s,, 0 b Solve, s, t, c Solve, s, t, 0 d Solve, s,, 0 Rätt svarsalternativ: b 4. Sök avståndet från den punkt som har som ortsvektor till den linje som går genom origo och innehåller. (p) Lösningsförslag: Typuppgift där projektion gör det mesta av jobbet. Norm.. 4 a Normalize.. b Normalize.. c Norm.. d Norm... Sök skärningspunkten mellan planet x y z 0 och den linje som går genom de två punkter som har respektive som ortsvektorer. (p) Lösningsförslag: I normalformen avläser vi direkt,, och en ortsvektor för en punkt i planet 0 0, 0,. Linjens ekvation, exempelvis t, insatt i planets ekvation gör jobbet. t ;. Solve 0, 0,.,, 0 First 8,, 8 8 Rätt svarsalternativ: a a t;. Solve 0, 0,.,, 0 First b t,. Solve 0, 0,.,, 0 First c t;. Solve 0, 0,,, 0 First d t. Solve 0, 0,.,, 0 First 69. Anpassa y a bx med (MKM) till mätvärdena x y Ange i det överbestämda ekvationssystemet a b. (p) Lösningsförslag: De tre mätpunkterna möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet a b för de sökta konstanterna a och b, där, ;,,, a b c d

7 7. Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssystemet a b. (p) Lösningsförslag: Normalekvationerna a b får vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssystemet a b med transponatet till, alltså...a, b. a 4 b, 4 a 7 b 6 0,46 a a b b.. a b. c..a, b. d..a, b. 8. Bestäm a och b med lämplig funktion i Mathematica. (p) Lösningsförslag: Naturligtvis är det Solve som är lämplig (som vanligt). I detta fall blir det en enkel match att lösa eftersom ekvationerna tydligen är okopplade, så slutligen det efterlängtade. aåb NSolve..a, b. a.77, b 0.47 Men, men...bland alternativen är det Fit som är rätt och snabbaste vägen då vi har linjär (MKM)! Fit ,, x,x 0.47 x.77 a Fit ,, x,x b Fit , x,x c Minimize ,, x,x d Fit , x,, x 9. Antag att a och b är sparade som regler i aåb. Rita modellen där även mätpunkterna är markerade. Välj färger, pynta axlarna osv! (p) Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp. Plota bx. aåb, x, 0, 0, PlotStyle Orange, AxesLabel x, y, Epilog PointSize0.04, Red, Point y x 7

8 a PlotaÅb, x, 0, 0, PlotStyle Orange, AxesLabel x, y, Epilog PointSize0.04, Red, Point b PlotaÅb. a bx, x, 0, 0, PlotStyle Orange, AxesLabel x, y, Epilog PointSize0.04, Red, Point c Plota bx. aåb, x, 0, 0, PlotStyle Orange, AxesLabel x, y, Epilog PointSize0.04, Red, Point d Plota bx. aåb, x, 0, 0, PlotStyle Orange, AxesLabel x, y, Epilog PointSize0.04, Red, Point En räddningsorganisation har för katastrofhjälp en depå med 0 säckar ris och säckar majs. För transport finns en liten lastbil som lastar högst 600 kg och inte mer än 00 liter. För säckarna gäller följande Säck Vikt Volym Antal portioner ris kg 40 liter 800. majs 0 kg 0 liter 60 Antag att de lastar ris säckar ris och majs säckar majs. Hur ska detta göras så att antalet portioner maximeras för en transport med lastbilen? p Lösningsförslag: Typisk LP-modellering som ger svaret på transportoptimeringen. Tydligen är det mängden ris, biv, och tillåten vikt, biv, som begränsar transporten. Många säckar majs blir kvar i depån. LPSolve800 ris 60 majs, Antal portioner ris 0 majs 600, Tillåten vikt, biv 40 ris 0 majs 00, Tillåten volym, biv ris 0, majs, ris 0, majs 0, Depå, biv 6 00 Range0, ris, 0, 40, majs, 0, 40 majs nr biv punkt objfkn, 0, , 6 0, , , 4, , 0, 600 6, 6 0, ris I Mathematica löser vi LP-problem med Maximize eller Minimize. Egentligen befattar man sig enbart med hela säckar vid transporten, det vill säga vi hade lite "tur" ovan. Riktigt noggranna är vi alltså om heltalskrav läggs till, nu när det finns möjlighet. Maximize800 ris 60 majs, Antal portioner ris 0 majs 600, Tillåten vikt, biv 40 ris 0 majs 00, Tillåten volym, biv ris 0, majs, ris 0, majs 0, Depå, biv 6 ris, majs Integers, Heltalskrav ris, majs 8

9 7 600, ris 0, majs 0 a Maximize800 ris 60 majs, ris 0 majs 600, 40 ris 0 majs 00, ris 0, majs, ris, majs c Maximize800 ris 60 majs, ris 40 majs 600, 0 ris 0 majs 00, ris 0, majs, ris 0, majs 0, ris, majs b d Maximize800 ris 60 majs, ris 0 majs 00, 40 ris 0 majs 600, ris 0, majs, ris, majs Maximize800 ris 60 majs, 0 ris 0 majs 600, 40 ris majs 00, ris 0, majs, ris 0, majs 0, ris, majs 9