Tillämpad Matematik II Övning 2

Transkript

1 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning Tillämpad Matematik II Övning Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel. Uppgifter Typuppgifter i första hand. Låt 4, 7 6 och 4. Beräkna sedan a typ b typ c d typ e f g h i typ j 4 k l Lösningsförslag: Standard matrisalgebra. Vi använder oss av enhetsmatrisen och nollmatrisen för första gången. Ladda upp med lite hjälpredor, sedan är det bara att räkna på n : IdentityMatrixn; n : 0 n ; typ : Dimensions; 4 ; 7 6 ; 4 ; typ, typ, typ, , 4 typ, Typfel. Låt 4, 7 6 och 4. Beräkna sedan a b c d e f Lösningsförslag: Räkna på! 4 ; 7 6 ; 4 ; Givet matriserna, 4 och 4. Vilka matrismultiplikationer är möjliga?,,,,,,,,, Lösningsförslag: Direkt studie av typerna ger att endast,,,, är möjliga. 4. Låt 4, 7 6 och 4. Beräkna sedan

2 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN a b c d e f g h i j k l Lösningsförslag: Tänk på matrispotenser i Mathematica; n MatrixPower, n. n st 4 ; 7 6 ; 4 ; Låt 4 och. Beräkna sedan a b c d e f Lösningsförslag: Olika produkter mellan matris och vektor. 4 ; ; Låt 4 och 7 6. Beräkna sedan a b c d Lösningsförslag: Bara kvadratiska matriser inblandade. Räkna på! 4 ; 7 6 ; Sök en matris så att a a a a a a a a a. a a a Lösningsförslag: Vi ser att också är kvadratisk, så förtrogenhet med matrismultiplikation tillsammans med lite provande ger a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

3 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 8. Sök en matris så att a a a a a a. a a a Lösningsförslag: Vi ser att också är kvadratisk, så förtrogenhet med matrismultiplikation tillsammans med lite provande ger a a a a a a. a a a a a a a a a a a a Låt Ξ Ξ och beräkna a Ξ b Ξ c Ξ d Ξ e Ξ Ξ Ξ Ξ f Lösningsförslag: Derivering och integration av matriser. 4 Ξ Ξ Ξ Ξ ; Ξ.D, Ξ Ξ. Ξ 4. Ξ. D, Ξ.D, Ξ Ξ 9 D, Ξ Ξ Låt 4 och 4. Beräkna sedan a b c d e f Lösningsförslag: Standard matrisalgebra. 4 ; 4 ; Det,,.,.,.,.,,,, 94, 0. Låt. Bestäm. Lösningsförslag: Vi har a a a a a a a a. Så a a a a a a a a Eller direkt i Mathematica Inverse

4 4 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN Lös matrisekvationen då 0 och. Lösningsförslag: Förmultiplicera båda led med och eftermultiplicera båda led med. Vi får. Observera ordningen i sista ledet! 0 ; ; Inverse.Inverse Inverse. En ängslig koll.. True Eller en rå attack med Mathematica direkt mot ekvationen där de obekanta elementen i bestäms med hjälp av Solve. Det är viktigt att ansätta rätt, här ser vi ser att typ typ så x x x x ; ekv.. x x x x x x x x x x x x 0 0. Solveekv First. Lös matrisekvationen då 0 och 4 6. Lösningsförslag: Vi får. 0 ; 4 6 ; Inverse En ängslig koll... True Eller en rå attack med Mathematica direkt mot ekvationen där de obekanta elementen i bestäms med hjälp av Solve. Det är viktigt att ansätta rätt, här ser vi ser att typ typ så x x ; ekv...

5 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning x x x x 4 x x x 6. Solveekv First Låt 0,. Lös sedan i detalj med Gauss eliminationsmetod. Vad menas med begreppen eliminationssteg och bakåtsubstitution? Ange en grov formel för lösningstiden om ekvationssystemet har n ekvationer. Lösningsförslag: Vi kan följa skådespelet med följande programsnutt i Mathematica. Först den utökade matrisen. M 0 n LengthM; Print" Elimination " DoPrint"j", j, ": ", M; ; Mi, j Doq Mj, j ; Mi qmj; Print"j", j, ", i", i, ", ", a 0 ij, i, j, n;, j,, n Print" Bakåtsubstitution " Table0, n ; Doi Mi, n Mi. Mi, i; Printx i," ", i;, i, n,, Elimination a 0 jj,"", q, " ", M; j: 0 j, i, a 0 a j, i, a a j: j, i, a a j: Bakåtsubstitution x x 0 x En liten ängslig koll Lösningstiden är proportionellt mot kuben på antal obekanta, T kn, där k beror på datorns prestanda.

6 6 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN Solve 0. x x x x, x 0, x. Kan man dra nytta av Gauss eliminationsmetod när det gäller att bestämma determinanter? Om så är fallet ange i föregående uppgift. Lösningsförslag: Visst, efter elimination fås determinanten som produkten av talen i huvuddiagonalen, 4. Det är väsentligen såhär effektiva determinantberäkningsalgoritmer fungerar. Tr , Times Direkt i Mathematica. Det Vilka tre fall kan man få då man löser ett ekvationssystem? Utred dem geometriskt och förklara med begrepp som determinant, koefficientmatris, högerled och parallellitet. Lösningsförslag: Se "Något om Matriser och Mathematica"! 7. Vad menas med att ett ekvationssystem är illa konditionerat? Lösningsförslag: Se "Något om Matriser och Mathematica"! 8. Bestäm med hjälp av ett ekvationssystem den räta linje y kx m som går genom punkterna, och, 4. Lösningsförslag: Vi får direkt ekvationssystemet och dess lösning Solve k m, 4 k m, y kx m, y, k, m y x, k, m 9. En fondplacerare delar upp 000 kr i tre poster varav de två första tillsammans är tre gånger så stor som den tredje. Dessa poster placeras sedan i olika värdepapper där den årliga avkastningen är %, 4% respektive 0%. Bestäm nu posternas storlek om den totala avkastningen vid årets slut är 400 kr. Lösningsförslag: Antag att posternas storlekar är x, y respektive z. Informationen räcker för att möblera ett ekvationssystem som sedan kan lösas med exempelvis Gauss eliminationsmetod eller något ännu enklare Solvex y z 000, x y z, 00 x 4 00 y 0 00 z 400 x 00, y 6 0, z AB Len&Fin tillverkar en kräm som enligt reklamen sägs motverka rynkor. Denna kräver tre olika råvaror. Inköpspriset per gram råvara är kr,.0 kr respektive kr. Fraktkostnaderna per gram råvara är kr, kr respektive.0 kr. Till kund levereras burkar med kräm som väger 0 gram och betingar 80 kr i råvukostnad och 70 kr i fraktkostnad. Hur många gram av de olika råvarorna går det åt för att tillverka en burk? Lösningsförslag: Antag att råvarornas storlekar är x, y respektive z gram. Informationen räcker för att möblera ett ekvationssystem som sedan kan lösas med exempelvis Gauss eliminationsmetod eller något ännu enklare

7 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 7 Solvex y z 0, x. y z 80, x y. z 70 x 0., y 0., z 0.. Beskriv arbetsgången att bestämma egenvärden och egenvektorer. Vad menas med sekularekvationen? Kan den alltid lösas exakt? Blir egenvärden och egenvektorer unikt bestämda? Hur många får man? Vad kan man säga om egenvärdena till en reell symmetrisk matris? Lösningsförslag: Se "Något om Matriser och Mathematica"!. Bestäm egenvärden och normerade egenvektorer till Lösningsförslag: Vi får direkt i Mathematica. Kontrollräkna för hand enligt kompendiet. Kom ihåg att egenvektorerna är inte entydigt bestämda, utan pekar bara ut syftlinjer. Λ, veigensystem 4 4 9,, Återstår bara att normera egenvektorerna. Serveras radvis i samma ordning som ovan. Normalize v. Matrisen har en egenvektor. Bestäm motsvarande egenvärde. Lösningsförslag: Vi har egenvärdesproblemet Λ. Eftersom nu är given räcker det att kontrollera likhet för exempelvis första raden 6 Λ Λ7. Kontroll visar att det stämmer för alla rader True Utom tävlan låter vi Mathematica stilla vår nyfikenhet. Eigensystem ,,, 0,,, 0 4. Matrisen a 4 har ett egenvärde Λ. Bestäm a och Λ. Lösningsförslag: Först bestämmer vi a med hjälp av Λ och sekularekvationen Λ 0. ekv Det a a 0 0 avärde Solveekv First a Sedan Λ med sekularekvationen i repris

8 8 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN ekv Det a 4 Λ avärde False Solveekv Alltså Λ 7 eftersom Λ var givet. Eller direkt med Eigensystem som dessutom levererar egenvektorerna som bonus. Eigensystem a 4. avärde 7,,. Ange de olika stegen i minsta kvadratmetoden (MKM). Vad menas med funktionsval och modellparametrar? Skillnad på linjär och olinjär MKM. Diskret jämfört med kontinuerlig. Lösningsförslag: Se "Något om Minsta kvadratmetoden och Mathematica"! 6. Vad menas med normalekvationerna? Några speciella egenskaper? Lösningsförslag: Se "Något om Minsta kvadratmetoden och Mathematica"! 7. Använd MKM för att anpassa en rät linje y kx m till mätpunkterna funktionen i samma figur. x y..6. Rita mätpunkter och den anpassade Lösningsförslag: Bestäm nu k och m enligt MKM receptet och normalekvationerna k m. Vi tar lite matrisgodis på vägen. ; Slutligen det efterlängtade...6 ; kåm Solve.. k m. k 0.8, m 0.4 En bild piggar alltid upp Plotk x m. kåm, x, 0, 4, PlotStyle Brown, AxesLabel "x", "y", Epilog Orange, PointSize0.0, Point y 4 x

9 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 9 8. Vad menas med interpolation och extrapolation? Diskutera med hjälp av figuren i föregående uppgift. Lösningsförslag: Se "Något om Minsta kvadratmetoden och Mathematica"! 9. Man vill approximera y x med en rät linje y kx i intervallet x 0,. Ta hjälp av kontinuerlig MKM för att bestämma k. Lösningsförslag: Kvadratsumman S x kx x 0 k k och slutligen minimum genom att lösa normalekvationen S k 0. kå SolveDS, k 0 k 4 En bild piggar alltid upp Plotx,kx. kå, x, 0,, PlotStyle Brown, Orange, AxesLabel x, "x,x4" x,x x 0. Anpassa med MKM y ax bx till mätvärdena x 8 y Lösningsförslag: Vi har det överbestämda ekvationssystemet x x x x a b y y a b.,,, 8;.9, 0.,, 9;, Bestäm nu a och b enligt MKM receptet och normalekvationerna a b. Vi tar lite matrisgodis på vägen , Slutligen det efterlängtade. aåb Solve..a, b. a.7087, b Varför inte rita en liten bild Plota x bx. aåb, x,, 8, PlotStyle Brown, AxesLabel "x", "y",

10 0 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN Epilog Orange, PointSize0.0, Point, y x Sambandet mellan strömmen i och spänningen u i en olinjär elektrisk krets antas följa lagen i au n, där a och n är konstanter. Bestäm dessa med MKM och mätserien. Rita mätpunkter och den anpassade funktionen i samma figur. u i Lösningsförslag: Modellen är olinjär, men blir linjär efter logaritmering, lnilnanlnu. Nu är det bara att möblera det överbestämda ekvationssystemet lnu lnu lni lni för de sökta konstanterna ln a och n, där lna n 8,,, 0, 8, 6 N; 4.,.6, 6.8, 8.6, 0, 7;, Log & lna n Bestäm nu lna och n enligt MKM receptet och normalekvationerna lna n...log , Slutligen det efterlängtade. lnaån Solve..lna, n.log lna.47, n Speciellt har vi a lna. lnaån a Detta eviga ritande Plot lna u n. lnaån, u, 0, 40, PlotStyle Brown, AxesLabel u, i, Epilog Orange, PointSize0.0, Point, i u. Vad karakteriserar ett LP-problem? Ta hjälp av problemet nedan och dess grafiska lösning när du nu diskuterar vad som menas med min/max, objektfunktion, olika typer av bivillkor och synen på dem, positivitetskrav, nivåkurva, objektfunktionens gradient, tillåtet konvext område (simplex), hörnpunkter, redundanta bivillkor, aktiva bivillkor, optimal punkt, optimalt värde. Var kan man

11 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning hitta den optimala punkten? Är den alltid unik? Finns det alltid en lösning till ett LP-problem? Om inte, vad kan det bero på? Lösningsförslag: Se "Något om Linjärprogrammering och Mathematica"!. En bonde håller kor och får. En ko behöver LE (ladugårdsenheter) och ett får LE på grund av frigång inomhus. Totalt förfogar bonden över 0 LE. En ko äter och dricker ME (matenheter) medan ett får nöjer sig med ME. Totalt finns 0 ME tillgängliga. Hur ska han hålla djur om han vill maximera sin vinst då försäljningspriset på en ko är dubbelt så högt som på ett får? Om försäljningspriset skulle bli fyra gånger så högt? Eller om det blir endast en tredjedel? Rita figur och markera det godkända konvexa området (simplex) samt ange samtliga hörnpunkter och den optimala punkten. Rita en uppsättning nivåkurvor för var och ett av de tre optimeringsfallen du ska ta hänsyn till enligt ovan. Lösningsförslag: Om bonden håller x k kor och x f får har vi efter dechiffrering av problemtexten att betrakta LP-problemet med de olika prisvarianterna max p k x k p f x f då x k x f 0 x k x f 0 x k 0 x f 0 För den goda sakens skull så använder vi både Maximixe och vår egen lilla LPSolve. Första prisvarianten med maximal vinst om försäljningspriset på ett får är kr, samt tillhörande optimala djurhållning. Maximize x k x f, x k x f 0, x k x f 0, x k 0, x f 0, x k,x f, x k 8, x f 6 LPSolve x k x f, x k x f 0, x k x f 0, x k 0, x f 0, Range0, x k, 0., 0, x f, 0., 0 x f nr biv punkt objfkn, 8, 6, 4 0, 0 0, 0, 0 0 4, 4 0, x k Andra prisvarianten Maximize4 x k x f, x k x f 0, x k x f 0, x k 0, x f 0, x k,x f 40, x k 0, x f 0 LPSolve4 x k x f, x k x f 0, x k x f 0, x k 0, x f 0, Range0, x k, 0., 0, x f, 0., 0 x f nr biv punkt objfkn, 4 0, 0 40, 8, 6 8, 0, 0 0 4, 4 0, x k

12 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN och slutligen tredje prisvarianten. Vinst om försäljningspriset på en ko är kr. Maximizex k x f, x k x f 0, x k x f 0, x k 0, x f 0, x k,x f 0, x k 0, x f 0 LPSolvex k x f, x k x f 0, x k x f 0, x k 0, x f 0, Range0, x k, 0., 0, x f, 0., 0 x f nr biv punkt objfkn, 0, 0 0, 8, 6 6, 4 0, 0 0 4, 4 0, x k Svaret på frågan varför optimala punkten flyttar sig beror på objektfunktionens gradient och kan tydligt ses i figurerna ovan. Rita gärna in den optimala punkten! Extrauppgifter i andra hand i mån av tid 4. Låt, 7 och 6 4. Beräkna sedan a b c d e f g h i j k l Lösningsförslag: Standard matrisalgebra. ; 7 ; 6 4 ; Typfel.. Typfel. Låt och. Beräkna sedan. Lösningsförslag: Räkna på! Sök en matris så att a a a a a a. Lösningsförslag: Vi ser att också är kvadratisk, så förtrogenhet med matrismultiplikation tillsammans med lite provande ger

13 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 0. a a a a a a a a a a 7. Lös matrisekvationen då och. Lösningsförslag: Det gäller som vanligt att göra omstuvning samt för- och eftermultiplikation. Nu är det "bara" att räkna på. ; ;.Inverse 9 För att bli riktigt trygga testar vi om verkligen satisifierar den ursprunliga ekvationen. InverseInverse. True 8. Låt 0, 0 och visa att de är varandras inverser. Bestäm sedan en matris sådan att. Lösningsförslag: Först, där sista ledet konfirmeras efter kontroll av inversa släktskapet som visar sig vara ok! 9. Låt Ξ Ξ. Beräkna Ξ k k Ξ med hänsyn till att en -matris kan tolkas som en skalär. Ξ Lösningsförslag: Derivering och integretion av matriser och vektorer. Vi låter vara en radvektor i Mathematica så får vi en utmärkt träning på hur man gör matriser av vektorer i Mathematica. Dessutom fungerar -matrisen i mitten som en skalärprodukt, vilket är önskvärt. Ξ, Ξ; D, Ξ.k,k.D, Ξ Ξ k 4 k 4 k k 4 4 k 4 k 4 k k Studera ekvationssystemet koefficienten i det utökade systemet x y z och fullborda sedan Gauss eliminationssteg genom att fylla i den saknade

14 4 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN Lösningsförslag: Hit räcker 4. Anpassa med MKM y ax b x till mätvärdena x y Lösningsförslag: Mätvärdena möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet de sökta konstanterna a och b, där x x x x a b y y a b för.0,.0,.0, 8.0; 0.,.,.9,.8;, Bestäm nu a och b enligt MKM receptet och normalekvationerna a b. Vi tar lite matrisgodis på vägen , Slutligen det efterlängtade. aåb Solve..a, b. a.6966, b.464 Javisst Plota x b x. aåb, x,, 8, PlotStyle Brown, AxesLabel "x", "y", Epilog Orange, PointSize0.0, Point, y x 4. Man vill approximera y x med en rät linje y kx m i intervallet x 0,. Ta hjälp av kontinuerlig MKM för att bestämma k och m. Jämför med diskret MKM och x 0,,. Lösningsförslag: Räkna på enligt MKM-receptet. Först den kontinuerliga. Felet S k x m 0 x x k k m 4 m 4 m

15 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning Minimum genom att söka nollställe till normalekvationerna S k 0 S m 0 kmkm SolveDS, 0& k, m k 4, m 4 Sedan diskret MKM, där k och m ges av normalekvationerna 0 ; 0 ; dmkm Solve.. k m. k, m 6 Nu é dé mycké å rita. Vi ser att resultatet av metoderna varierar kraftigt. Varför det? PlotEvaluateFlatten x,kx m. kmkm, dmkm, x, 0,, PlotStyle Brown, Orange, Green, AxesLabel "x", " x, kmkm, dmkm" x, kmkm, dmkm x 4. Gör om föregående uppgift men använd modellen y c x c x c 0. Lösningsförslag: Räkna på enligt MKM-receptet. Först den kontinuerliga. Felet S c x c x c 0 0 x x c 0 c c c 0 c c 4 c 7 0 c c 8 Minimum genom att söka nollställe till normalekvationerna S c i 0. kmkm SolveDS, 0& c,c,c 0 c 0 6, c 48, c 4 7 Sedan diskret MKM, där c i ges av normalekvationerna 0 0 ; 0 ; dmkm Solve.. c c c 0. c 0 0, c, c Nu é dé mycké å rita. Vi ser att resultatet av metoderna varierar kraftigt. Varför det? PlotEvaluateFlatten x,c x c x c 0. kmkm, dmkm, x, 0,,

16 6 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN PlotStyle Brown, Orange, Green, AxesLabel "x", " x, kmkm, dmkm" x, kmkm, dmkm x Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls 44. Låt, med avseende på en godtycklig bas,. Som nya basvektorer införes 4 och. Skriv i komponentform med avseende på den nya basen,. Lösningsförslag: Oberoende vilket koordinatsystem vi använder ligger den fixerade platsen kvar, det vill säga v 4 v. ekv Coefficient v 4 v,, v v, 4 v Solveekv 0 v 4, v 4 4. Låt vara en kvadratisk matris. Man kan då skapa två matriser, modalmatrisen vars kolonner är egenvektorerna till och spektralmatrisen som är en diagonalmatris med egenvärdena till på huvuddiagonalen, motsvarande ordningen i. Man kan då visa att släktskapet mellan dessa tre matriser är. Låt och beräkna sedan 000 med hjälp av informationen ovan och att S n Λ 0 0 Λ n Λ n 0 0 Λ n. Du behöver inte räkna ut Λ n och Λ n. Dessa får ingå i den sökta resultatmatrisen. Lösningsförslag: Vi har enligt uppgift att så Nu är det bara att bestämma egenvärden och egenvektorer varav Λ, eeigensystem,, M e InverseM n n Så med hjälp av den avslutande informationen i problemtexten har vi till slut svaret på den brännande frågan

17 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 7 Avslutningsvis försöker vi övertyga oss ytterligare genom att jämföra med den inbyggda funktionen i Mathematica True MatrixPower, 000 Stora tal blir blir dé MatrixPower, 000 N är en kvadratisk matris som uppfyller relationen. a) Visa att är inverterbar och ange inversen. b) Bestäm. Lösningsförslag: a) Med den givna relationen (gr) har vi så gr. b) Med (gr) har vi så gr.