MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Transkript

1 MA00 Tillämpad Matematik II, 7hp, Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 0 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell Övrig text som i en Text Cell Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om" För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen Lycka till! Bertil Bestäm (p) Låt vektorerna,,,, 0, och,, Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica Lösningsförslag: Räkna på Längden av en vektor 6 Bestäm en vektor med längden i riktning (p) Lösningsförslag: Räkna på, med, räcker är nu vektorn enligt receptet i uppgiften Tvåan behöver naturligtvis inte vara, 0,, 0, Normalise, 0,, 0, Låt punkterna A och C ha ortsvektorerna respektive Sök ortsvektorn för den punkt som ligger mitt emellan origo och den punkt som ligger på sträckan AC två gånger så långt från A som från C (p) Lösningsförslag: Linjärkombination, 6, 6,,,, 6,,,, 6 Bestäm skalären s så att vektorn s blir så kort som möjligt (p) Lösningsförslag: Den är som kortast då s s 0, så Solve s 0 s 6 Beräkna vinkeln mellan och negativa x-axeln (p) Lösningsförslag: Vinkeln ur definition på skalärprodukt

2 , 0, 0 ArcCos cos arccos arccos arccos Π 6 Dela upp i två vinkelräta komposanter varav den ena är parallell med Bestäm den som är vinkelrät mot! (p) Lösningsförslag: Projektionen av på är ju den parallella komposanten, så den vinkelräta,, Rätt svarsalternativ: a 0,,,, 7 Kraften N flyttar en låda från en lagerplats med ortsvektorn m till en annan lagerplats med ortsvektorn m Sök det uträttade arbetet (p) Lösningsförslag: Här är såväl kraft som förflyttning givna på "ren" vektorform så vi direkt E Nm Nm Nm 0 Nm Nm 6 Nm Kraften N angriper i en punkt vars ortsvektor är m Bestäm momentet kring origo (p) Lösningsförslag: Även i denna uppgift är såväl kraft som ortsvektor givna på "ren" vektorform så vi direkt momentet kring koordinataxlarna Nm Nm, 7 Nm, Nm, 7, Nm, 7, Nm, 7, Nm, 7, Nm 9 Låt Beräkna (p) Lösningsförslag: Otillåten addition! Rätt svarsalternativ: e 0 Låt c d och bestäm c och d så att (p) Lösningsförslag: Första raden i ger direkt c 9 och d En kontroll visar sedan att detta duger även för rad c d ;, Solve 0 9 c d c c d c, c 9, d c 9, d c 9, d c 9, d c 9, d Sök en matris så att a a a a a a a a (p) Lösningsförslag: Eftermultiplikation med permutationsmatris för att göra linjärkombinationer av kolonner Med lite känsla för matrismultiplikation och lite provande har vi ;-)

3 a a a a 0 0 a a a a a a a a Finns ej 0 0 Beräkna (p) Lösningsförslag: Utveckla längs tredje kolonnen med många nollor Det Rätt svarsalternativ: a Determinant Matrisen satisfierar sin sekularekvation Bestäm (p) Lösningsförslag: Multiplicera sekularekvation med så vi, varav ; Bestäm alla egenvärden till (p) Lösningsförslag: Egenvärdena ges av sekularekvationen Λ 0 sekekv Det Λ Λ 7 Λ0 0 SolvesekEkv Λ, Λ SolveDet Λ0,,, Bestäm en egenvektor till det största egenvärdet till matrisen i föregående uppgift (p) Lösningsförslag: Egenvektor till Λ; Avslutningsvis hela sagan utom tävlan x y x y x y 0 Ok, parallella! Så exempelvis e, x y 0

4 0,, Rätt svarsalternativ: a,, Eigensystem,,,,,, Rätt svarsalternativ: a Del B poäng med fokus på modellering och Mathematica 69 Punkten P har ortsvektorn,, Bestäm ortsvektorn för spegelbilden av P i planet y z 6 Bestäm en normalvektor till planet (p) Lösningsförslag: Läs av 0,, ; 0,,, 0, 0,, 0, 0, Rätt svarsalternativ: a 7 Bestäm ortsvektorn 0 för en punkt i planet (p) Lösningsförslag: Meka till ett 0, exempelvis 0 0,, ; 0,,, 0, 0,, 0,, Bestäm avståndsvektorn från punkten P till planet (p) Lösningsförslag: Projektion,, ; Bestäm slutligen ortsvektorn för spegelbilden (p) Lösningsförslag: Gå två -steg från! Tre vätskor blandas i volymförhållande :: varvid blandningen densiteten 09 Om de blandas i volymförhållande :: blir densiteten 0 och om de blandas :: blir den Vi söker densiteterna Ρ, Ρ och Ρ för de tre vätskorna 0 Formulera ekvationssystemet q som bestämmer densiteterna (p) Lösningsförslag: Låt x:y:z betyda att vi tar precis x, y, z liter av respektive vätska En stunds funderande ger då ekvationssystemet q Ρ Ρ Ρ 09 0 ;

5 q q Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ q q Ρ Ρ Ρ 09 0 Ρ Ρ Ρ 09 0 Lös q med lämplig funktion i Mathematica Spara lösningen på regelform i d (p) Lösningsförslag: Lämplig funktion är naturligtvis Solve, lösningen sparas på regelform i d d Solveq Ρ 9, Ρ 0, Ρ 07 d Solveq d Solveq d Solveq Solveq d Anpassa ett fullt polynom yx i0 c i x i med (MKM) till mätvärdena x 0 y Ange i det överbestämda ekvationssystemet c c (p) Lösningsförslag: Mätpunkterna möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet för de sökta parametrarna, där, 0 ;,,,, Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssystemet c c (p) Lösningsförslag: Normalekvationerna vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssystemet med transponatet till, det vill säga Solve,c,c, c, c Rätt svarsalternativ: e c c c c c c c c Bestäm, c och c med lämplig funktion i Mathematica (p) Lösningsförslag: Visst är det Fit som är snabbaste vägen då vi har linjär (MKM)! Ordningen i spelar ingen roll! Fit 0, x,, x,x

6 x x Fit 0,, x, x,x Fit 0 Minimize 0,, x, x,x Fit 0, x,, x,x,x,, x, x Antag att, c och c är sparade som regler i Rita modellen där även mätpunkterna är markerade Pynta! (p) Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp Eftersom vi har tre mätpunkter och ett andragradspolynom blir det exakt anpassning Plot c i x i, x,,, PlotRange All, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", i0 Epilog PointSize00, Red, Point 0 y x 0 0 Rätt svarsalternativ: e Plot i0 c i x i, x,,, PlotRange All, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize00, Red, Point 0 Plot i0 c i x i, x,,, PlotRange All, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize00, Red, Point 0 Plot i0 c i x i :, x,,, PlotRange All, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize00, Red, Point 0 Plot i0 c i x i, x,,, PlotRange All, PlotStyle Blue, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize00, Red, Point 0 6 En kvadratisk glasskiva med massan m ska hållas i horisontellt läge av tre linor enligt figur, där koordinatsystem och diverse mått är angivna Det gäller nu att bestämma linkrafterna så att optimala linor kan väljas 6 Sök ortsvektorerna A, B, C, D och G Ange A (p) Lösningsförslag: Vi behöver alla 6

7 A 00, 00, 0; B 00, 00, 0; C 0, 00, 0; D 0, 0, 00; G 0, 0, 0; A 00, 00, 0; A 00, 00, 0; A 00, 00, 0; A 00, 00, 0; 7 Frilägg glasskivan genom att klippa av de tre linorna och ersätta dem med linkrafterna AD, BD och CD som verkar på glasskivan Inför även tyngdkraften G Ange AD (p) Lösningsförslag: Vi behöver alla AD F AD Normalize D A ; BD F BD Normalize D B ; CD F CD Normalize D C ; G mg 0, 0, ; AD F AD Normalise D A AD F AD Normalize A D AD F AD Norm D A AD F AD Normalize D A Bestäm slutligen linkrafternas storlek med jämviktssambandet i 0 och Solve (p) Lösningsförslag: Gör dé! Solve AD BD CD G 0, F AD,F BD,F CD F AD mg, F BD mg, F CD mg Solve AD BD CD G 0 Solve AD BD CD G 0, AD, BD, CD Solve AD BD CD G 0, F AD,F BD,F CD Solve AD BD CD G, F AD,F BD,F CD 0 90 En bonde håller kor och En ko behöver LE(ladugårdsenheter) och ett LE på grund av frigång inomhus Totalt förfogar bonden över 0 LE En ko äter och dricker ME(matenheter) medan ett nöjer sig med ME Totalt finns det ME tillgängliga Hur ska han hålla djur om han vill maximera sin vinst, då försäljningspriset för en ko är tre gånger så högt som för ett? (p) 9 Formulera LP-problemet (p) Lösningsförslag: Översätt problemtexten! Rätt svarsalternativ: a max kor kor 0 kor då kor 0 0 max kor kor 0 kor då kor 0 0 max kor kor 0 kor då kor 0 0 max kor kor 0 kor då kor Gör en grafisk representation av LP-problemet (p) Lösningsförslag: Så här blir det! 7

8 LPSolve kor, Vinst kor 0, LE kor, ME kor 0, 0, Inga negativa antal ; Range0, Nivåkurvor kor, 0,,, 0, 6 nr biv punkt objfkn,,, 9,0 7, 0,, 0, kor kor 6 0 kor kor 6 0 kor