Provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001

Transkript

1 Institutionen för matematik KTH Provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001 Skrivtid: xx - yy Inga hjälpmedel tillåtna För godkänt betyg 3 fordras minst 16 poäng, för betyg minst 22 poäng och för betyg 5 minst 30 poäng inklusive bonuspoäng Det maximala antalet poäng på varje uppgift är angivet inom parentes i anslutning till uppgiften Ange dina bonuspoäng på omslaget Samtliga behandlade uppgifter skall förses med utförliga lösningar och motiveringar 1 Bestäm arean av den del av planet 2x + y + 3z 12, (3p) som ligger i första oktanten, dvs uppfyller x 0, y 0, z 0 2 Antag att två ytor definieras av (3p) F (3x + 1/y + z) 1 och F (x + y 3 ) 2, där F är en kontinuerligt deriverbar funktion Visa att ytorna skär varandra vinkelrätt längs ytornas skärningskurva (Antag dessutom att F 0 överallt) 3 Humlan A flyger längs linjen r (1, 2, 1) + t(1, 2, 2) (3p) medan humlan B flyger längs r (3, 0, 1) + t(2, 1, 1) (t tiden) Temperaturen i rummet ges av funktionen T (x, y, z) 1 ( x2 + xy + 3z 2 ) Vilken av humlorna upplever störst temperaturökning vid tiden t 0? VGV

2 Bestäm parametern b så att systemet (3p) 2x 3y + z 3 x y b x 2y + z får oändligt många lösningar samt bestäm dessa 5 Bestäm den punkt (x o, y o ) omkring vilken transformationen (3p) u xy y, v x 2 y 2 2x + 1 inte har en differentierbar invers Bestäm dessutom Jacobimatrisen för transformationens invers i (u, v) ( 2, 3) (svarande mot (x, y) ( 1, 1) ) 6 Funktionen u(x, y) (cos x y 2 )(1 + xy) (p) har en stationär punkt i origo MacLaurinutveckla funktionen till och med andragradstermerna och avgör denna stationära punkts karaktär 7 Ett koordinatsystem har basvektorerna ē 1 och ē 2 (p) Ett nytt koordinatsystem införes genom de nya basvektorna f 1 2ē 1 ē 2 och f 2 ē 1 + ē 2 Vad blir ekvationen i det nya systemet för den kurva som i det gamla systemet har ekvationen y 2x 2 + 1? 8 Bestäm den matris X som uppfyller AXB 1 C, där (p) ( ) ( ) 9 2 A, B och C ( ) Låt S vara matrisen Bestäm Max S v 2, då v 2 (p) Linjärkombinationerna s(1, 0, 1, 2) + t(1, 1, 0, 1) (s, t skalärer) (p) bildar en mängd H i R Bestäm den punkt i H som ligger närmast punkten (3, 2, 5, 0)

3 Institutionen för matematik KTH Lösningar till provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B, E, I, IT, M, Media och T ht Ytan är en triangel med hörn i A(6, 0, 0), B(0, 12, 0) och C(0, 0, ) Den sökta arean är alltså 1 ABx AC 1 ( 6, 12, 0)x( 6, 0, ) 1 (8, 2, 72) Första ytans normalvektor i punkten (x, y, x) : n 1 gradf (3x + 1/y + z) (F 3, F ( 1/y 2 ), F 1) Andra ytans normalvektor i punkten (x, y, x) : n 2 gradf (x + y 3 ) (F 1, F (3y 2 ), 0) Alltså, n 1 n 2 (F ) 2 (3 3+0) 0 för alla punkter (x, y, z) på skärningskurvan, dvs n 1 och n 2 är vinkelräta där (Notera att pga förutsättningen F 0 är gradienterna ovan (0, 0, 0)) 3 Om U(t) T (x(t), y(t), z(t)) gäller allmänt att U (t) gradt (x, y, z) (x (t), y (t), z (t)) och U (0) gradt ( r o ) r o, där r o (x(0), y(0), z(0)) och r o (x (0), y (0), z (0)) gradt grad( 1 ( x2 + xy + 3z 2 )) 1 (2x + y, x, 2z) 20 För humlan A gäller r o (1, 2, 1) och r o (1, 2, 2), varför U A (0) 1 1 (, 1, 2) (1, 2, 2) ( ) För humlan B gäller r o (3, 0, 1) och r o (2, 1, 1), varför U B (0) (6, 3, 2) (2, 1, 1) ( ) Humlan B känner alltså en aning större temperaturökning Gauss-Jordan ger: b b b 3 b b 1

4 vilket ger oändligt många lösningar då b 1 Lösningarna blir (sätt z t): y t 5, x 2y t + t 6 Svar: b 1, x t 6, y t 5, z t 5 u x y, u y x 1, v x 2x 2, v y 2y ger allmänna Jacobimatrisen J ( ) ( ) ux u y y x 1 2x 2 2y v x v y Det(J) y x 1 2x 2 2y 2y2 2(x 1) 2 0, vilket är 0 endast då x 1, y 0, dvs transformationen är inverterbar överallt utom i (x, y) (1, 0) Jacobimatrisen i (x, y) ( 1, 1) : ( ) 1 2 J( 1, 1) J 1 2 Den sökta Jacobimatrisen för inversen i (x, y) ( 1, 1) är J1 1 1 ( ) ( ) u(x, y) (cos x y 2 )(1 + xy) cos x + xy cos x y 2 xy 3 u x sin x xy sin x + y cos x y 3, u y x cos x 2y 3xy 2 u x (0, 0) u y (0, 0) 0 u xx cos x y sin x xy cos x y sin x, u xx (0, 0) 1 u xy 3y 2 x sin x + cos x, u xy (0, 0) 1 u yy 2 6xy, u yy (0, 0) 2

5 MacLaurinutvecklingen: u(x, y) x T A x + R 2, där x ( ) x y och A 1 2 ( ) (forts) Hessianens egenvärden: 1 λ λ (1 + λ)(2 + λ) 1 λ2 + 3λ λ 3/2 ± 9/ 1 3/2 ± 5/2 < 0 Båda egenvärdena är< 0 Punkten (0, 0) är alltså ett lokalt maximum 7 f1 2ē 1 ē 2, f2 ē 1 + ē 2 Transformationsmatrisen är alltså: C ( 2 ) Låt (x, y) vara koordinaterna i ē-systemet och (u, v) i f-systemet Då gäller ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 1 u 2u + v y 1 1 v u + v Insättning av (x, y) (2u + v, u + v) i ekvationen y 2x ger: u + v 2(2u + v) eller 8u 2 + 8uv + 2v 2 + u v Ekvationen AXB 1 C löses av X A 1 CB, om A är inverterbar Man får: ( ) ( ) ( ) ( ) A 1, A 1 C A 1 CB ( ) ( )

6 9 W Max S v 2 då v 2 skall bestämmas W M 2, där M Max S v då v 1, dvs M S:s matrisnorm M λ o, där λ o är största egenvärdet till matrisen S T S ( ) ( ) 6 0 S T S ( ) Egenvärden: (7 λ)(6 λ) 6 λ 2 13λ λ 13/2 ± 13/2 ± 5/2, dvs λ o 9 Alltså M 3, W (Problemet kan också lösas som ett minimeringsproblem med bivillkor mhja Lagranges multiplikatormetod) 10 Sätt ā (1, 0, 1, 2), b (1, 1, 0, 1), c (3, 2, 5, 0) Problemet är ekvivalent med att i minstakvadratmetodens mening lösa det överbestämda linjära ekvationssystemet sā + t b c eller H ( ) 1 1 s c T, där H 0 1 t Man får normalekvationerna: ( ) s H T H H T c ( ) ( ) 6 3 s T, t 3 3 t ( ) 2 1 som har lösningen s 1, t /3, vilket ger den sökta punkten ( 1)ā + (/3) b (1/3, /3, 1, 2/3) (Problemet kan också lösas genom minimering av funktionen U(s, t) sā + t b c 2 )