2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =

Transkript

1 Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn r = ( 4, 2, 2) och planet har normalvektorn n = (2,1, 1) eftersom 2(2,1, 1) = ( 4, 2,2) är r parallell med n och därför går linjen vinkelrätt mot planet. Problem 2. Sök ekvationen till det plan, som går genom punkten p 1 = (1,2,3) och som är parallellt med xy-planet. Lösning: xy-planet har skrivet på vektorform (x,y,z) = (s,t,0). n = (0,0,1) är en normalvektor till xy-planet. Vi får (x,y,z) (0,0,1) +d = 0 som ger z+d = 0. Eftersom n 1,2,3+d = 0 får vi d = 3 och planets ekvation z 3 = 0 Problem 3. Vi söker här ekvationen för det plan som går genom origo och som är parallellt med 7x+4y 2z+3 = 0. Lösning: Ett plan som är parallellt med 7x + 4y 2z + 3 = 0 har normalvektorn n = (7,4, 2) (x,y,z) (7,4, 2) +d = 0 ger 7x+4y 2z+d = 0 eftersom punkten (0,0,0) ligger på planet får vi d = 0, vilket ger d = 0 och planets ekvation 7x+4y 2z = 0 Problem 4. Det två planen 2x + y 4z = 0 och x + 2y + 1 = 0 är vinkelräta mot varandra: Sök nu ett tredje plan som är vinkelrätt mot båda dessa och som dessutom går genom punkten p = (5, 2, 3) Lösning: Det första planet har n 1 = (2,1, 4) och det andra n 2 = ( 1,2,0). Nu ska vi hitta n 3 som är vinkelrät mot både n 1 och n 2. Det får vi genom att bestämma n 1 n 2 n 3 = n 1 n 2 = = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) Genom (x,y,z) (8,4,5) + d = 0 får vi 8x + 4y + 5z + d = 0 eftersom punkten (5,2,3) ligger i planet får vi d = 0 som ger d = 63 och hela ekvationen är bestämd 8x+4y+5z 63 = 0 Problem 5. Sök ekvationen till ett plan som innehåller linjen l 1 och som är parallell med linjen l 2 x = 1+2t x = 1+4t l 1 = y = 2+3t l 2 = y = 3 2t z = 5+6t z = 5 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Lösning: Vektorerna v = (2,3,6) och u = (4, 2,0) är linjernas riktningsvektorer och samtidigt parallella med planet. Genom v u får vi planets normalvektor. n = v u = = 24 e y 4 e z +12 e x 12 e z = (12,24, 16) Genom (x,y,z) (12,24, 16) + d = 0 får vi 12x + 24y 16z + d = 0. Punkten (1,2,5) ligger på planet vilket ger d = 0, d = 20. Planets ekvation 12x+24y 16z+20 = 0 eller 3x+6y 4z+5 = 0 Problem 6. Sök ekvationen till en linje som går genom punkten p = (1,1,1) och som är parallell med planen 2x+y z = 0 och x 2y+3z 4 = 0. Lösning: Först räknar vi fram planens skärningslinje. Vi sätter z = t och löser ut x och y ur { 2x+y t = 0 Vi får x 2y+3t 4 = 0 x = 4 5 t 5 y = t 5 z = t Linjens riktningsvektor r = ( 1 5, 7 5,1). Genom att multiplicera den först erhållna med 5 får vi ett trevligare utseende och vi kan skriva den sökta linjens ekvation x = 1 t y = 1+7t z = 1+5t Problem 7. På linjen l 1 ligger punkten P 1 (5, 2, 1). Bestäm en annan punkt som ligger 10 längdenheter från P 1 men fortfarande på linjen. x = 1+t l 1 = y = 2 t z = 1 Lösning: Ekvationen vi har att lösa (5 (1+t)) 2 +( 2 (2 t)) 2 +( 1 ( 1)) 2 = 10 (4+t) 2 +(t 4) 2 = 10 (4+t) 2 +(t 4) 2 = 100 t 1 = t 2 = Dessa t insatta i linjens ekvation ger oss de två sökta punkterna P 2 (5 5 2, 2+5 2, 1) och P 3 (5+5 2, 2 5 2, 1) Problem 8. Bestäm avståndet mellan punkten P(1,0, 2) och linjen l 1 x = 1 t l 1 = y = t z = 0 Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Lösning: Linjen har riktningsvektorn r = ( 1,1,0). Linjen på vektorform l 1 = (1 t,t,0). v = ( t, t, 2) är alla vektorer mellan punkten P och linjen. Vi söker nu den vektor av alla v som är vinkelrät mot r. Vi får ( t,t,2) ( 1,1,0) = 0 t+t+0 = 0 t = 0 Det betyder att det är mellan punkten P 2 (1,0,0) och P(1,0, 2) som avståndet ska beräknas. Genom huvudräkning får vi d = 2. Problem 9. Bestäm avståndet mellan de två linjerna l 1 och l 2 x = 1 t x = 2 l 1 = y = 3 l 2 = y = 1+t z = 3+t z = 2t Lösning: Den första linjen har riktningsvektorn r 1 = ( 1,0,1) och för den andra r 2 = (0,1,2). De två linjerna på vektorform l1 = (1 t,3,3 + t) och l2 = (2,s 1,2s). v = ( t 1,4 s,3 2s t) är vektorer som har startar från en punkt på l1 och slutar vid en punkt på l2. Vi är nu på jakt efter den vektor av alla v vars riktning är vinkelrät mot både r 1 och r 2. Vi får följande ekvationssystem övergår i { ( t 1,4 s,3 2s t) ( 1,0,1) = 0 ( t 1,4 s,3 2s t) (0,1,2) = 0 { 4 2s+t = s+2t = 0 Med lösningen s = 2 och t = 0. De två punkterna vi söker är på första linjen P 1 = (1,3,3) och på andra linjen P 2 = (2, 1,4). Avståndet mellan dessa punkter är lika med avståndet mellan linjerna: d = (2 1) 2 +(1 3) 2 +(4 3) 2 = 6 Problem 10. Bestäm vinkeln mellan linjerna l 1 och l 2 x = 3+t x = 4+2t l 1 = y = 2+t l 2 = y = 1+t z = 6+t z = t Lösning: Vinkeln mellan linjerna är lika med vinkeln mellan riktningsvektorerna. De två linjerna har riktningsvektorerna r 1 = (1,1,1) respektive r 2 = (2,1,1) Vi får cosθ = (1,1,1) (2,1,1) 3 6 = 4 18 θ = arccos 4 = arccos Problem 11. Bestäm vinkeln mellan de två planen pl 1 och pl 2 x = 1+s+2t x = 2+s+2t pl 1 = y = 2 t pl 2 = y = t z = 3+s z = 1+2t Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Lösning: Vi har två vägar att gå. Antingen bestämmer vi de två planens ekvationer på normalform, från vilka vi enkelt kan bestämma normalvektorerna. Varefter vi bestämmer vinkeln mellan dessa vektorer. Ett annat sätt är att bestämma normalvektorn genom de två riktningsvektorerna i varje plan och därefter vinkeln mellan dessa vektorer. Vi väljer den senare planen, som antagligen innebär mindre räknande. För det första planet gäller riktningsvektorerna v = (1,0,1) och u = (2, 1,0). n 1 = v u = = 2 e y e z + e x = (1,2, 1) Samma sak för det andra planet ger v = (1,0,0) och u = (2,1,2) n 2 = v u = = e z 2 e y = (0, 2,1) Vinkeln mellan n 1 och n 2 bestäms av Svar: θ = π arccos cosθ = n 1 n 2 n 1 n 2 = = 5 30 Problem 12. Bestäm avståndet mellan punkten P(3, 0, 1) och planet x + 2y + 2z + 4 = 0 Lösning: Vi ska lösa problemet på inte mindre än tre olika sätt (!). Lösning I: Då planets normalvektor n = (1,2,2) tillsammans med punkten P ger oss följande linje som går genom P och vinkelrätt mot planet x = 3+t l = y = 0+2t z = 1+2t Vi kan nu bestämma skärningspunkten mellan planet och linjen genom (3+t)+2 2t+2(1+2t)+4 = 0 3+t+2t+2+4t+4 = 0 9t+9 = 0 t = 1 ger skärningspunkten P 2 (2, 2, 1). Avståndet PP 2 till sist d = (3 2) 2 +(0 ( 2)) 2 +(1 ( 1)) 2 = 3 Lösning II: Vi startar med att bestämma planets ekvation på parameterform och börjar med att sätta y = s och z = t. Vi får så en ekvation där vi löser ut x. x+2s+2t+4 = 0 x = 4 2s 2t Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Planets ekvation kan nu skrivas x = 4 2s 2t y = s z = t med de två riktningsvektorerna r 1 = ( 2,1,0) och r 2 = ( 2,0,1). Vi kan nu framställa alla vektorer som har sin start i planet och slut i punkten P. v = (3,0,1) ( 4 2s 2t,s,t) = (7+2s+2t, s,1 t). Vi söker nu den vektor av dessa som är vinkelrät med både r 1 och r 2. Vi får ekvationssystemet: { (7+2s+2t, s,1 t) ( 2,1,0) = 0 (7+2s+2t, s,1 t) ( 2,0,1) = 0 ger s = 2 och t = 1 som ger den vektor vi söker v = (1,2,2) och dess längd d = = 3 Lösning III: Så den lösning som ligger allra närmast till för en ingenjör med formelsamling: d = Ax 0 +Bx 0 +Cx 0 +D A 2 +B 2 +C 2 = = 3 Håkan Strömberg 5 KTH Syd