Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Transkript

1 Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig, N:et för normerat, d.v.s.att enhet på axlarna svarar mot längdenhet i "verkligheten". Sparr visar att vissa saker 306. Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo oh AB oh AD till basvektorer, får C koordinaterna (2, 3). Vilka koordinater får A, om man till origo väljer C oh till basvektorer väljer CB oh CD? 307. Markera oh beskriv mängden av punkter vars koordinater (x, y) uppfyller y ange punkters lägen beskriva räta linjer oh plan bestämma skärningspunkter mellan linjer/plan beräkna förhållanden mellan längder går alldeles utmärkt att göra även med ett ike-on-system. Koordinatangivelserna nedan antas hänföra sig till givna parallellkoordinatsystem Oe x e y alt. Oe x e y e z. (Alltså ej nödvändigtvis rätvinkliga, såvida det inte sägs uttrykligen!) 30. Ange koordinaterna för mittpunkten på sträkan mellan (a) (, 0, 2) oh (, 2, 2) (b) (x,y,z ) oh (x 2,y 2,z 2 ) 302. Ange tyngdpunktens läge för en triangel med hörn i (x,y,z ), (x 2,y 2,z 2 ), (x 3,y 3,z 3 ) Låt O vara origo, A :(,, ), B :(6, 4, 4), oh låt P vara den punkt som delar sträkan AB i förhållandet 2:3, d.v.s. P ligger på sträkan AB oh AP PB = 2 3 Bestäm koordinaterna för den punkt Q som är sådan att OQ = OP En parallellogram har tre av sina hörn i (, 0), (, ) oh (2, 3). Var finns det fjärde hörnet? 30. En partikel startar i (, 2, 3) oh rör sig med konstant hastighet (alltså rätlinjigt oh med samma fart). Enminutefterstartbefinner den sig i (2, 0, 2). Var finns den 0 minuter efter start? 3 0 (a) x 2, y=3 (b) x 2 () 0 x, 0 y (d) x + y =,x,yheltal (e) x + y = (f) x 0, y 0, x+ y 308. Punkterna A :(a,a 2 ), B :(b,b 2 ) oh O :(0, 0) bildar en triangel i planet. Beskriv geometriskt punktmängderna s (a,a 2 )+t (b,b 2 ) som fås då man låter de reella talen s oh t genomlöpa mängden (a) s 2, t=3 (b) s 2 () 0 s, 0 t (d) s + t =,s,theltal (e) s + t = (f) s 0, t 0, s+ t x 27

2 Läs Sparr, avsn Ange en riktningsvektor för en linje med riktningskoeffiienten k relativt ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem. 30. En rät linje med riktningsvektor v oh som går genom punkten med ortsvektor r 0 har parameterframställningen r = r 0 + tv, <t< (Tolkning: En punkt ligger på linjen omm 6 dess ortsvektor r kan skrivas på ovanstående sätt.) Ange analoga parameterframställningar för en (a) sträka AB, dels med vektorerna OA oh AB, dels med OA oh OB; (b) triangel ABC, inkl. dess inre, dels med vektorerna OA, AB, oh AC, dels med vektorerna OA, OB, oh OC; () parallellogram ABCD, inkl. dess inre (AC oh BD diagonaler), dels med vektorerna OA, AB, oh AD dels med vektorerna OA, OB, OB oh OD. (d) parallellepiped ABCDEF GH (övn. 203), med vektorerna OA, AB, oh AD oh AE; (e) tetraeder ABCD (inkl. dess inre), med vektorerna OA, OB, OC oh OD. 3. Visa att tre punkter P,P 2 oh P 3 ligger på rät linje då oh endast då det finns tre tal λ,λ 2 oh λ 3, ej alla =0, men med summan λ + λ 2 + λ 3 =0, sådana att λ OP + λ 2OP2 + λ 3OP3 = 0 för alla punkter O. 32. Bestäm skärningen mellan planet 2x + y z =oh linjen x = t y = 3t z = 2 + t 33. Bestäm en ekvation för skärningslinjen mellan planen 3x 2y +2z =2oh 2x +2y z =. 34. Linjen ½ x + y + z = : 2x +3y +2z =0 projieras på planet 3x y +2z =4genom parallellprojektion med riktningen (,, ). Ange en ekvation för bildlinjen. 6 omm =omohendastom dåå = då oh endast då (är synonymer) 3. Ett flygplan kör rätlinjigt från (, 2, 3) till (, 6, 9). Dess koordinater som funktioner av tiden t är x =+2t y =2+2t z =3+3t, 0 t 2 Ett annat flygplan färdas enligt x =+t y =8 2t, 0 t 3 z = 3t Visa att (3, 4, 6) ligger på båda rutterna. Kolliderar planen? 36. Linjen går genom punkten (3,, ) oh skär de två linjerna ½ ½ x = x = : oh y = 2 : z = Bestäm en ekvation för linjen. 37. Undersök om det finns en rät linje som går genom punkten (,, 2) oh skär de båda linjerna. x = 2 + t y = 2t z = 2 + t oh x = + t y = 3 + t z = 4 + t Om ja: ange en ekvation för linjen på parameterform samt skärningspunkterna. 38. Bestäm ekvationen för en rät linje som går genom punkten (p, q, r) oh skär de räta linjerna y = z =0oh x = z =0. I vilket fall är den sökta linjen entydigt bestämd? 39. Två linjer har ekvationerna : (x, y, z) =(+t, +2t, +3t) 2 : (x, y, z) =(t, 2+t, b 2t) (a) Bestäm talet b så att linjerna skär varandra. (b) Ange för detta värde på b ekvationen på parameterform för det plan som innehåller de båda linjerna. 28

3 320. I ett plan har man lagt ett koordinatsystem Oe e 2, vars basvektorer har längden, men vinkeln mellan dem är 60. Bestäm en ekvation för linjen genom origo som är vinkelrät mot e Låt ABCDEF GH vara en godtyklig parallellepiped H 32. I ett plan med koordinatsystem Oe e 2 införsettnyttkoordinatsystemobe be 2 genom ½ be =3e +2e 2 be 2 = e +6e 2 (a) Punkten P har koordinaterna (2, ) relativt Oe e 2. Ange dess koordinater relativt Obe be 2 A E D F C G (b) Linjen har ekvationen bx + bx 2 = 0 relativt Obe be 2. Ange dess ekvation i Oe e 2 -systemet. B 322. I ett visst (ej nödvändigtvis ortonormerat) koordinatsystem Oe e 2 iplanetär punkterna P :(, 0) oh Q :(0, 2), samt den räta linjen :2x + y +4=0givna. EttnyttkoordinatsystemO 0 e 0 e 0 2 väljs genom O 0 = P, e 0 = OP oh e 0 2 = PQ. Ange en ekvation för i koord.systemet O 0 e 0 e Låt P :(0,, 2),P 2 :(,, ),P 3 :(a, 2, ) (a) Visa att för varje a bestämmer punkterna P,P 2,P 3 ett plan π a oh ange detta plans ekvation på affin form. (b) Bestäm a så att linjen Vi tänker oss ett plan genom mittpunkten på AE, mittpunkten på BC samt D. Detta plan skär rymddiagonalen AG i punkten P. Beräkna längdförhållandet AP : PG. 32. Fyra personer simmar i en stor vik, var oh en i sin egen jämna takt, var oh en längs sin egen räta linje. Inga två av de räta linjerna är parallella oh inga tre skär varandra. Nu råkar det bli så att simmare stöter på vägen med såväl simmare 2, 3 som 4, oh likaså simmare 2 stöter ihop med, förutom, även 3 oh4.visaattäven3oh4träffas! (x, y, z) =(7, 3, ) + t (, 2, 3) blir parallell med π a. Affin geometri metrisk geometri Geometrin i Sparr, kap.2 & 3 har, om du tänker efter, inte berört längder oh vinklar (s.k. metrisk geometri), utan har handlat om parallellitet, inidens (skärningar) oh delningsförhållanden affina problem / affin geometri, säger man ibland. Först i Sparr, kap.4 går vi in på huvudverktyget för metriska problem skalärprodukt. 29

4 ON oh ike-on-system. Alternativ med normal oh vektorprodukt Följande sidor handlar om hur vissa problem om linjer oh plan, som Sparr tar upp i kap.3, p.g.a. att deras lösning inte beror på om koordinatsystemet är ON eller inte, kan lösas m. h.a. skalärprodukt oh vektorprodukt, som gås igenom i kap.4&. Följaktigen kan dessa sidor med fördel sparas till efter att du gått igenom skalär- oh vektorprodukt. Nedan följer dok en sammanfattning av de resultat man behöver. Det anmärkningsvärda är att, fastän resonemang oh formler förutsätter ett ON-koord.system (för vektorprodukt till oh med litet mer än så), fås korrekta resultat även för snedvinkliga koord.system! Planets ekvation: rekapitulation Sparr, kap.3 härleder ekvationer för plan oh räta linjer relativt ett godtykligt koordinatsystem vinklarna mellan koord.axlarna behöver inte vara räta! Man kommer fram till att varje plan kan beskrivas som mängden av punkter vars koordinater (x, y, z) satisfierar ett samband av typ Ax + By + Cz = D, där A, B, C, D fixa konstanter A, B, C ej alla 0 Oh omvänt: varje sådan ekvation definierar ett plan. (Oavsett hur snett koordinataxlarna ligger.) Normal till ett plan Sparr, kap.4 visar att, i ett ON-koordinatsystem, pekar vektorn (A, B, C) vinkelrätt mot planet i fråga: (A, B, C) ger planets normalriktning Anm. Med riktning avses i detta sammanhang egentligen en oriktad linje/axel: t.ex. (, 0) oh (, 0) sägs definiera samma riktning! Alla vektorer 6= 0, som är sinsemellan parallella, d.v.s. som skiljer sig på en skalär faktor (som får vara negativ) sägs ge en oh samma riktning! (Man säger ofta planets normalvektor, fast det inte är fråga om någon entydigt bestämd vektor!) Skalärprodukt oh ortogonalitet Två vektorer, vars koordinater relativt ett ON-system är(a, b, ) resp. (x, y, z), är vinkelräta (=ortogonala) om oh endast om den s.k. skalärprodukten (a, b, ) (x, y, z) =ax + by + z =0 Vektorprodukt I Sparr, kap. introdueras vektorprodukten, som till två givna vektorer ordnar en tredje som är vinkelrät mot båda de givna. Om koordinatsystemet är ortonormerat oh dessutom högerorienterat, s.k.hon-system (du behöver inte bekymra dig nu om vad det är det förklaras tydligt av Sparr, avsn..) fås vektorproduktens koordinater på följande sätt a b x y = z bz y x az ay bx Hur vektorprodukt beräknas är nu inte det intressanta det är lätt att programmera en maskin att utföra det studera i lösningarna nedan hur dess ovannämnda egenskap kan användas! Minnesregel för beräkning av vektorprodukt (För den som ändå är nyfiken.) Varje komponent fås som en determinant (jfr. sid.9): bz y = b y z x az = z a x ay bx = a x b y För att få första komponentens determinant, stryk faktorernas första komponenter: a b x µ µ y b y z b z För att få andra komponentens determinant, skifta faktorernas komponenter ykliskt ett steg oh gör sedan på samma sätt : a b x y z b a y z x a För den tredje komponenten, skifta en gång till. Sparr, kap. ställer upp vektorerna radvis 7 : (a, b, ) (x, y, z) = b µ y z, z a x, a x y z z x b y 7 Härärdetkolonnerinteminstavdatortekniskaskäl:-) 30

5 Från parameterform till affin form Vektorprodukten kan användas t.ex. för att gå över från parameterform-ekvationen för ett plan x = x 0 + sa + tα y = y 0 + sb + tβ z = z 0 + s + tγ till den parameterfria (affina) formen Ax + By + Cz = D, s,t R på följande sätt: Planet spänns upp av vektorerna (a, b, ) oh (α, β, γ). Dess normalriktning är den entydigt bestämda riktning som är vinkelrät mot båda dessa, oh vektorprodukten ger just den riktningen. Så A B C = a b α β γ oh sedan återstår att bestämma D, så att (x 0,y 0,z 0 ) uppfyller ekvationen: D = Ax 0 + By 0 + Cz 0 =... Om koordinatsystemet inte är ortonormerat? Då är (A, B, C) från Ax + By + Cz = D i allmänhet inte normalvektor till planet oh vektorprodukt kan inte heller beräknas med determinantformeln". Men ovanstående metod att gå över från parameterform till affin form fungerar ändå! (Illustreras av 326 nedan.) Hur kan det komma sig? Linjära ekvationssystem har samma lösning, oavsett om variablerna står för koordinater relativt ett ON-system eller ett snedvinkligt system. Första lösningen till 326 nedan visar att problemet kan redueras till en fråga om ett linjärt ekvationssystem. Svaret på denna fråga måste bli detsamma, oavsett om de inblandade talen är koordinater relativt ett ON- eller ett snedvinkligt system. Den metod som löser frågan för ett ON-system måste fungera även för alla andra system! Uppgifterna med lösningar på de följande sidorna är alla exempel på fall, där räkning som ytligt betraktat förutsätter ON-system, ändå ger korrekt resultat för alla koordinatsystem! 326. Vilket samband skall råda mellan x, y oh z för att punkten (x, y, z) skall ligga i planet x =+s t y =2+s + t z =3 s +2t Lösning m.h.a. ekvationssystem (Sparr, kap.3) : Frågan är: För vilka x, y, z finns s oh t sådana att de tre likheterna blir sanna? Med andra ord: Om ovanstående betraktas som ett ekvationssystem, där x, y, z är givna, medan s oh t söks, så för vilka x, y, z.har då detta system lösningar? Det kan vi undersöka med suessiv elimination: Skriv om systemet på standardform: s t = x s + t = y 2 s +2t = z 3 x y 2 2 z 3 x 0 2 (y 2) (x ) 0 (z 3) + (x ) Byt rader 2 oh 3, så slipper vi division med 2 x 0 (z 3) + (x ) 0 2 (y 2) (x ) x 0 (z 3) + (x ) 0 0 (y 2) 3(x ) 2(z 3) Härav syns att lösningar finns om oh endast om (y 2) 3(x ) 2(z 3) = 0 y 3x 2z +7 = 0 3x y +2z = 7 Lösning m.h.a. vektorprodukt: Planet spänns upp av (,, ) oh (,, 2). Taltrippeln (A, B, C) i Ax + By + Cz = D kan vi få med vektorprodukt: = 3 2 2? En punkt i planet ser vi direkt: (, 2, 3). Alltså är planets ekvation 3x y +2z =

6 327. Skriv på formen ax + by + z = d ekv. för planet (a) (b) () (d) x = + s + t y = s + 2t z = s t x = + s t y = 2s t z = + s + 2t x = + s t y = 2 s z = + 2s + t x = + s y = z = 3 + t Lösning med vektorprodukt som i föregående: (Gausseliminationvarianten är väl omständligare.) a) 2 = Planets ekv.: x 2y 3z = b) 2 = 2 Planets ekv.: x 3y + z = ) 2 0 = Planets ekv.: 2y + z =2 2 d) = Planets ekv.: y = I övning 32 fik vi att linjen oh planet inte hade någon skärningspunkt. Hur kan man se detta m.h.a. skalärprodukt? ingen skärningspunkt linjen är parallell med planet oh innehåller en punkt utanför planet (För en linje som är parallell med ett plan finns två alternativ: alla eller ingen av linjens punkter tillhör planet!) Vidare ( står för "är vinkelrät mot") : linjen är parallell med planet linjens riktning planets normal Nu tänker vi oss att koord.systemet är ON: normalvektor till planet är (2,, ) u v u v =0 (, 3, ) (2,, ) = 2+3 =0 Att linjen innehåller en punkt utanför planet syns lätt: (, 0, 2) är den punkt på linjen som t = 0 ger, = 6= Ange ekvationen på parameterform för den linje som går genom punkten (2, 2, ), skär linjen (x, y, z) =(, 2, 0) + t (, 3, ) oh är parallell med planet x + y +7z =2. Lösning: Betekna den sökta linjen med, dengivnamedm. Återstår att hitta en riktningsvektor för. Låt s vara det värde på t i ekv. för m, som svarar mot skärningspunkten mellan linjerna. En riktningsvektor är då v = (, 2, 0) + s (, 3, ) (2, 2, ) = = (s 3, 3s, s ) Att är parallell med ett visst plan är ekvivalent med att v är vinkelrät mot planets normal: (s 3, 3s, s ) (,, 7) = 0 s 0 = 0 s = 2 Svar: (x, y, z) =(2, 2, ) + t (, 6, ) 32

7 330. Avgör vilka av vektorerna (, 2, 0), (,, ), (2,, 3) oh (2,, 3) som är parallella med planet 2x y + z +3=0. Lösning med skalärprodukt: Kontrollera vilka vektorer som är ortogonala mot planets normal. Ifall av ON-system kan detta göras så här: (, 2, 0) (2,, ) = 0 ja (,, ) (2,, ) = 2 nej (2,, 3) (2,, ) = 6 nej (2,, 3) (2,, ) = 0 ja Men varför skulle detta ge korrekt resultat även ifall av ike-on-system? Jo, problemet kan redueras till en fråga om ett linjärt ekvationssystem: Om en given vektor kan skrivas som en linjärkombination av två andra givna vektorer (två som spänner upp planet i fråga). Svaret på en sådan fråga är oberoende av om vektorernas koordinater hänför sig till ett ON- eller ett snedvinkligt koordinatsystem! En konkretare förklaring är okså möjlig: Lösning utan skalärprodukt: En vektor (u, v, w) är parallell med planet om oh endast om (förkortas omm) den kan skrivas som differensen mellan ortsvektorerna för två punkter i planet, d.v.s. omm u v = w där x y z x 2 y 2 z 2 ½ 2x y + z +3=0 2x 2 y 2 + z 2 +3=0 Subtraherar vi andra ekv. från första, så får vi 2(x x 2 ) (y y 2 )+(z z 2 )=0 33. Två linjer har ekvationerna (x, y, z) = (+t, +2t, +3t), t R resp. (x, y, z) = (t, 2+t, b 2t), t R (a) Bestäm b så att linjerna skär varandra. (b) Bestäm för detta b en ekvation för det plan som innehåller båda linjerna. Lösning: a) +t = s +2t =2+s +3t = b 2s +t = s +2t =2++t +3t = b 2(+t) +t = s t =2 3 = b Svar: b =3 b) Planets normalriktning bestäms av att den skall vara ortogonal mot båda linjerna : 2 = Från a) hämtar vi skärningspunkten mellan linjerna: +t +2t med t =2 +3t Planets ekvation blir 7x +y z = x y + z = 3 oh vänsterledet är identiskt med skalärprodukten av normalen (2,, ) oh (u, v, w). 33

8 332. För planen 3x 2y + z =6oh x + y 2z =8 samt linjen (x, y, z) =(,, ) + t (,, ) (a) visa att de har en punkt gemensam oh beräkna denna punkts koordinater, (b) ange, på formen ax+by +z = d, ekvationen för det plan som innehåller skärningslinjen mellan de givna planen samt den givna linjen. Lösning a) Skärningspunkten mellan linjen oh (t.ex.) det andra planet fås ur lösningen till x + y 2z =8 x =+t y =+t z = t ( + t)+(+t) 2( t) =8 x =+t y =+t z = t t = 2,x= 7 2, y = 3 2,z= 3 2 Punkten 7 2, 3 2, 3 2 ligger även i det första planet, ty µ 3 =6 2 Lösning b), variant omständlig: Skärn. linjen mellan planen: ½ x + y 2z =8 3x 2y + z =6 ½ x + y 2z =8 y +7z = 8 x =22/+3t y =8/+7t z = t, t R Omvandling till parameterfri form : z +3/2 7 y 3/2 3 x 7/2 z +3/2 0 2 (y 3/2) + (z +3/2) 0 28 (x 7/2) + (z +3/2) z +3/2 0 2 y + z 0 0 (x +z +4) 28 2 (y + z) Ekv.systemet för s oh t har alltså lösning dåå (x +z +4) 7 (y + z) 3 = 0 3x +z +2 7y 7z = 0 3x 7y +8z = 2 Alternativlösning till b) m.h.a. vektorprodukt: När vi redan har en punkt på planet (från a) behöver vi endast planets normalvektor. Skärningslinjen mellan planen har riktningen (måste vara ortogonal mot båda planens normaler) 3 2 = Det sökta planet skall som normal ha en vektor som är vinkelrät mot såväl (3, 7, ) som (,, ), alltså en vektor parallell med 3 7 = 2 28 k Därmed planets ekvation : 3x 7y +8z = µ x 7y +8z = 2 (z =t iställetförz = t, för färre bråk) Det sökta planet spänns alltså upp av oh 3 7 oh går genom (7/2, 3/2, 3/2). Dess ekv. på parameterform x =7/2+s +3t y =3/2+s +7t z = 3/2 s +t 34

9 333. Ange ekvationen för den räta linje som är parallell med planet x 2y z =, skär skärningslinjen s mellan planen x + y + z =2oh x + y +3z =, samt går genom punkten (0,, ). Lösning m.h.a. skalärprodukt: Om (a, b, ) beteknar :s skärningspunkt med s, så är problemet att lösa ekvationssystemet a + b + =2 a b a + b +3 = 0 2 (Det tredje villkoret kommer sig av att en linje är parallell med ett plan linjens riktn.vektor planets normal.) a + b + =2 a + b +3 = a 2b = a =/2 b =0 =3/2 Alltså, linjens riktning: a b 0 oh linjens ekvation: x y = 0 z = + t /2 /2 2 = Alternativ lösning till 34 m.h.a. vektorprodukt: Linjen tillsammans med projektionsstrålarna bildar ett plan, kalla det Π. Bildlinjen är skärningen mellan Π oh planet 3x y +2z =4. Linjen har riktningsvektor 2 3 = 0 2 Normal till Π är 0 = 2 En riktningsvektor till bildlinjen är 2 3 = 3 2 Återstår att hitta en punkt på bildlinjen. En sådan är :s skärning med planet vi projierar på: y = 2 z =7 x = 4 Bildlinjens ekvation: x y = 4 2 z 7 + t 3 Detta är ekvivalent med svaret till 34, eftersom 2 4 =