Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra"

Transkript

1 Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version

2 Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra är att ge grundläggande kunskaper om linjära ekvationssystem, matriser och vektorer. Undervisning Kurstillfället i period 4 är schemalagt med tio föreläsningar och tio lektioner om vardera -3 timmar. Kursinnehåll och kursmaterial Kursens omfattning definieras av innehållet i de 16 stycken filer betitlade Anteckningar från moment, numrerade A.1 A.8, B.1 B.8, och publicerade på kursens webbsidor. Momenten kan som antyds av numreringen ses som att kursstoffet gås igenom i två omgångar två nivåer), varav den första är avsedd att introducera till de begrepp som ingår i kursen medan den andra är ämnad att träna i att kunna lösa mer sammansatta problemställningar. En rekommendation är att inför var och en av föreläsningarna läsa igenom de Anteckningar från moment som berörs vid respektive tillfälle två moment per föreläsning). Speciellt finns i slutet av var och en av filerna en förteckning över vad varje student förväntas kunna från respektive moment. Vid sidan om anteckningarna kan det vara bra att skaffa sig någon av alla de kursböcker som finns i ämnet. Några av de titlar som är lämpliga är Grundläggande linjär algebra av Hillevi Gavel, 1:a uppl., Studentlitteratur 011. Linjär algebra av Gunnar Sparr, :a uppl., Studentlitteratur 198 reviderad 1997). Eget studium Vid sidan om de schemalagda passen förutsätter kursen ett eget arbete med att lösa övningsuppgifter, och då såväl sådana som finns i detta häfte som de som finns i den kursbok som används. Därutöver finns gamla tentamina publicerade på kursens webbsidor) att öva på. Generellt råd Vikten av att vid matematikstudier lösa många och olika typer av problem kan knappast överskattas. I denna studiehandledning finns därför relativt många representativa övningsuppgifter att ta sig an, alla med svar till. Svaren skulle dock ha kunnat utelämnas eftersom ett tema rakt igenom hela kursen kommer att vara att träna i att kunna verifiera lösningar. Examination och betyg Examination i kursen är fr.o.m. höstterminen 013 uppdelad i två examinationsmoment, TEN5 och TEN6. Examinationsmomenten genomförs i form av skriftliga tentamina. Tentamen TEN5 Tentamen TEN5 består av åtta 8) stycken 3-poängsuppgifter baserade på innehållet i den första omgången A) av kursens åtta moment. Poängkraven för de godkändbetyg 3, 4 och 5 som finns är 11p, 16p respektive 1p. Skrivtid per enskild tentamen är tre 3) timmar. Tentamen TEN6 Tentamen TEN6 består av fem 5) stycken 4-poängsuppgifter baserade på innehållet i den andra omgången B) av kursens åtta moment. Poängkraven för de godkändbetyg 3, 4 och 5 som finns är 9p, 13p respektive 17p. Skrivtid per enskild tentamen är tre 3) timmar. Sammanfattningsbetyg De betygsgrader som används som sammanfattningsbetyg på avklarad kurs är 3, 4 och 5. Om den erhållna poängen vid tentamen TEN5 benämns S 5, och den vid tentamen TEN6 S 6, bestäms graden på sammanfattningsbetyget för en slutförd kurs enligt S 5 11, S 6 9 och S 5 + S S 5 11, S 6 9 och 4 S 5 + S S 5 + S

3 Övningsuppgifter Momenten A.1 A.8 A.1 Linjära ekvationssystem Vilka taltriplar x, y, z) satisfierar ekvationssystemen S 1, S respektive S 3? x 4y 3z = 4 S 1 : 3x + y z = 6 x + 5y + z = 3x + y + z = 5 ) S 1 : 4x 3y + z = 1 x + y 3z = 1 x + y + z = 1 S : 4x + y + z = 3 x + 4y + 3z = 5 x y + z = 6 S : x + 5y z = 16 5x 7y + 4z = 0 x + 3y + 10z = 4 S 3 : x 5y + z = 7 3x 3y + 7z = 1 x + y + z = 8 S 3 : 3x + y z = 1 x + y + 3z = 6 A. Matriser Bestäm den matris X som löser ekvationen. E är lika med enhetsmatrisen. X + ) X + E) 3) ) ) 1 T ) = ) 3 1 = 1 ) X = 1 ) T 1 1 ) T 3 X 1 4) 5) 6) ) 3 1 = X 4 T + 3E ) 1 ) ) = X 0 8 T ) 1 X = 4 ) T 3 X 3 1 ) T A.3 Determinanter ) ) ) ) Matriserna A, B, C, D är givna enligt A=, B=, C=, D= Beräkna determinanten för matrisen 3A 1 B T A 5 B 1 ) 3. ) Vilka värden har determinanten för de matriser X som satisfierar ekvationen 4XC T X = X T? 3) Matrisen X är av typ 5 5 och satisfierar ekvationen X T = XHX, där determinaten för matrisen H är lika med 1/. Vilka värden har determinanten för de matriser som satisfierar ekvationen? 4) Beräkna determinanten för matrisen 8C T ) 9 D 4 C 1 ) 7 D 1 ) 6. 5) Vilka värden har determinanten för de matriser X som satisfierar ekvationen 5XB = X T X? 6) Determinanten för matrisen P av typ 6 6 är lika med. Vilka värden har determinanten för de matriser X som satisfierar ekvationen P T XX T = 8X T? 3

4 4 A.4 Geometriska vektorer Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel, och låt E vara mittpunkten på sträckan CD, och F mittpunkten på sträckan BD. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e 1, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna AE och DF är representanter för basvektorerna e 1 respektive e. Bestäm med avseende på denna bas koordinaterna för den vektor som representeras av den riktade sträckan CA. ) Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel, och låt E vara mittpunkten på sträckan AB och F mittpunkten på sträckan AD. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e 1, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna CE och BF är representanter för basvektorerna e 1 respektive e. Bestäm med avseende på denna bas koordinaterna för den vektor som representeras av den riktade sträckan F D. 3) Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel, och låt E vara mittpunkten på sträckan AB och F mittpunkten på sträckan BC. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e 1, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna F D och EA är representanter för basvektorerna e 1 respektive e. Bestäm med avseende på denna bas koordinaterna för den vektor som representeras av den riktade sträckan AD. 4) Låt punkterna A, B, C och D vara i moturs led angivna hörn i en rektangel, och låt E vara mittpunkten på sträckan CD och F mittpunkten på sträckan DA. I det plan som bestäms av rektangeln är basen e 1, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna F C och EA är representanter för basvektorerna e 1 respektive e. Bestäm med avseende på denna bas koordinaterna för den vektor som representeras av den riktade sträckan BD. A.5 Linjer och plan Bestäm på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller punkterna P : 1,, 3), Q : 3, 4, och R : 5,, 4). ) Undersök om linjerna λ 1 : x, y, z) = 3, 0, ) + t, 3, 5) och λ : x, y, z) = 1, 7, 9) + t3,, skär varandra. Bestäm om så är fallet koordinaterna för skärningspunkten, och på parameterform en ekvation för det plan som innehåller bägge linjerna. 3) Bestäm på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller punkten P :, 3, och linjen λ : x/ = y + 3)/ = 1 z)/4. 4) Undersök om linjen λ : x, y, z) =, 1, ) + t 1,, 5) och planet π : x y 3z = 0 skär varandra, och bestäm om så är fallet koordinaterna för skärningspunkten. Skriv även på parameterform en ekvation för planet π. 5) Bestäm på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller punkten P :, 1, ) och linjen λ : x, y, z) = 4 + t, 1 t, 3 + 5t). 6) Skär linjerna λ 1 : x, y, z) = 1 + t, 5 + t, t) och λ : x 9)/ = y + 5)/3 = z 3)/ ) varandra? Bestäm om så är fallet koordinaterna för skärningspunkten, och på parameterform en ekvation för det plan som innehåller bägge linjerna. 7) Bestäm på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller punkterna P :, 1, 4), Q : 3,, ) och R : 1, 4,. 8) Undersök om linjen λ : x, y, z) = + t, 3 t, 1 + 3t) och planet π : x, y, z) = +4r+7s, 1 r+s, 1+ r + 4s) skär varandra, och bestäm om så är fallet koordinaterna för skärningspunkten. Skriv även på parameterfri form en ekvation för planet π. A.6 Skalärprodukt Vektorn u har i ON-basen e 1, e, e 3 koordinaterna 3, 4,. Dela upp vektorn i två ortogonala komposanter, bägge skilda från nollvektorn, på så vis att den ena komposanten är parallell med vektorn e 1 e e 3. ) Vektorerna a och b har längderna respektive 3, och satisfierar relationen a b = 9/4. Bestäm längden av vektorn a + b. 3) Vektorerna e 1, e, e 3 bildar en ON-bas. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn e 1 e + e 3 på vektorn e + e 3. 4) Bestäm i ON-basen e 1,e,e 3 den vektor u vars längd är lika med 4, och vars vinklar med basvektorerna är lika med 5π/6, π/ respektive π/3. 5) Vektorn v har i ON-basen e 1, e, e 3 koordinaterna 5, 4, ). Dela upp vektorn i två ortogonala kom-

5 A.7. VEKTORPRODUKT 5 posanter, bägge skilda från nollvektorn, på så vis att den ena komposanten är parallell med vektorn e 1 e + e 3. 6) Skalärprodukten a + b) b är lika med /9, och vektorerna a och a + 3b har längderna 3 respektive 5. Bestäm längden av vektorn a b. 7) Vektorerna e 1, e, e 3 bildar en ON-bas. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn e 1 + 6e e 3 på vektorn 4e 1 e + e 3. 8) Bestäm i ON-basen e 1,e,e 3 den vektor v vars längd är lika med 3, och vars vinklar med basvektorerna är lika med π/3, π/4 respektive π/3. A.7 Vektorprodukt Vektorerna u och v har koordinaterna 1, 1, ) respektive, 4, 3) med avseende på en högerorienterad ON-bas HON-bas) e 1, e, e 3. Bestäm en annan HON-bas ê 1, ê, ê 3 sådan att ê 1 pekar i samma riktning som u, och ê i samma riktning som v. ) Beräkna arean av det begränsade triangelområde som definieras av att vardera en representant för vektorerna 3e 1 e + e 3 och e 1 + e + 3e 3 sammanfaller med två av triangelns sidor. HONbas) 3) Antag att vektorerna u, v, w uppfyller relationerna u v = 3 och u v = w. Förenkla uttrycket u+3v) [u v) 3u v)]+[u 3v) u+ v)] 3u v) så mycket som möjligt är. 4) Ange alla värden på parametern a så att vektorekvationen e 1 3e + 4e 3 ) xe 1 + ye + ze 3 ) = ae 1 e + e 3 blir lösbar. HON-bas) 5) Vektorerna u och v har koordinaterna 5, 3, respektive,, 4) med avseende på en högerorienterad ON-bas HON-bas) e 1, e, e 3. Bestäm en annan HON-bas ê 1, ê, ê 3 sådan att ê 1 pekar i samma riktning som u, och ê i samma riktning som v. 6) Vardera en representant för vektorerna 3e 1 + 4e + 3e 3 och ae 1 + e 3e 3 sammanfaller med två av sidorna i en triangel. Bestäm alla värden på a så att den inneslutna triangelytan har arean 1/ a.e. HON-bas) 7) Antag att vektorerna u, v, w uppfyller relationerna u v = och u v = 3w. Förenkla uttrycket [4u v) 3u + v)] u + 7v) + u + 5v) [u 3v) u + 4v)] så mycket som möjligt är. 8) Beräkna volymen av den parallellepiped som definieras av att vardera en representant för vektorerna e 1 5e + e 3, 3e 1 + e e 3 och 4e 1 + e + e 3 sammanfaller med tre av parallellepipedens ickeparallella) sidor. HON-bas) A.8 Komplexa tal Skissa området Re z 3, z 4 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga imaginärdel. ) Skissa området 3 Im z 0, Re z 0, z 6 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga realdel. 3) Skissa området π/6 arg z π/3, Re z 4 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har största möjliga imaginärdel. 4) Skissa området Im z 4, z 8 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga realdel. 5) Skissa området Im z 4, z 8 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har största möjliga realdel. 6) Skissa området π/4 arg z π/3, Im z och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har största möjliga realdel. 7) Skissa området π/ arg z π/3, Re z 3 3 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga absolutbelopp. 8) Skissa området 0 Re z 4, Im z 0, z 8 och bestäm sedan på både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har minsta möjliga imaginärdel.

6 Övningsuppgifter Momenten B.1 B.8 B.1 Linjära ekvationssystem Bestäm för varje reellt värde på parametern a de taltriplar x, y, z) som satisfierar ekvationssystemet. x y + az = 1 x y + z = 1 ax + y z = 1 ) x + y z = 1 ax + y + az = 3 x + ay + z = a 3) ax + y = 1 x + y + az = ax + ay + z = 4) x + ay + z = a ax + y + z = 1 x + y + az = a B. Matriser Visa att matrisen är inverterbar och bestäm inversen ) ) ) B.3 Determinanter Beräkna determinanten ) ) ) ) ) B.4 Geometriska vektorer Antag att vektorerna e 1, e, e 3 utgör en bas. Kan vektorn 3e 1 9e 4e 3 skrivas som en linjärkombination av vektorerna e 1 e +3e 3 och e 1 + e + e 3? ) För vilka värden på α och β är vektorerna e 1 + αe + 4e 3 och βe 1 e e 3 parallella? 3) Är vektorerna e 1 + 4e e 3, 6e 1 4e + 5e 3 och 4e 1 e e 3 linjärt oberoende? 4) För vilka värden på κ och λ är vektorerna κe 1 + e 5e 3 och 3e 1 + 4e + λe 3 parallella? 5) Är vektorerna 7e 1 + 4e e 3, 5e 1 + e e 3 och 4e 1 7e 4e 3 linjärt beroende? 6) Kan vektorn 4e 1 e 3e 3 skrivas som en linjärkombination av vektorerna e 1 +e 3e 3 och 3e 1 + e 9e 3? 6

7 B.5. LINJER OCH PLAN 7 B.5 Linjer och plan Antag att vektorerna e 1, e, e 3 utgör en bas. Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som är parallellt med linjerna λ 1 : x, y, z) = 1 + t, 1 3t, 5t) och λ : x, y, z) = t, 3 + t, 1 + t), och som innehåller punkten P : 3,,. ) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller såväl punkten P : 1, 1, 5) som linjen λ : x = y 5 = z 3. 3) Ett plan π innehåller punkten P :, 1, 3) och är parallellt med såväl vektorn 3e 1 +e e 3 som vektorn e 1 + e 4e 3. Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för planet π. 4) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller både punkten P :, 5, 3) och skärningslinjen mellan planen π 1 : x+y z 3 = 0 och π : x+y z+4 = 0. 5) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som är parallellt med linjerna λ 1 : x, y, z) = 4 + t, + 3t, 3 t) och λ : x, y, z) = 3 4t, 1 + 5t, + 7t), och som innehåller punkten P : 1, 7, ). 6) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller både punkten P : 3, 8, 5) och linjen λ : x 1 = y + = 4 3 z 5. 7) Ett plan π innehåller punkten P : 4,, 5) och är parallellt med såväl vektorn e 1 + 6e 5e 3 som vektorn e 1 + 3e e 3. Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för planet π. 8) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för det plan π som innehåller såväl punkten P : 4, 3, 5) som skärningslinjen mellan planen π 1 : x+y+5z+4 = 0 och π : x y+3z+ = 0. B.6 Skalärprodukt Bestäm koordinaterna för spegelbilden i planet π : x y + z 5 = 0 av punkten P :, 1,. ONsystem) ) En matematisk partikel startar i origo i ett koordinatsystem och rör sig till att börja med i riktningen 6,, 3). I punkten P ändrar partikeln rörelseriktning genom att vika av i en rät vinkel med den ursprungliga riktningen. Partikeln stannar till slut i punkten Q : 11, 1, 10). Bestäm koordinaterna för punkten P. ON-system) 3) Bestäm härled) avståndet mellan punkten P :, 1, 3) och linjen λ : x, y, z) = +t, +3t, 1 t). ON-system) 4) En fotbollsplan med måtten 60 meter gånger 100 meter ska placeras så att två av dess hörn i ett visst koordinatsystem hamnar i punkterna A : 13, ) och B : 49, 70). Vilka är koordinaterna för de övriga hörnen? ON-system) 5) En ljusstråle med riktningsvektor e 1 + e + e 3 reflekteras i planet π : 3x + 4y + z = 0. Bestäm en riktningsvektor för den reflekterade strålen. ONsystem) 6) En fotbollsplan med måtten 50 meter gånger 75 meter ska placeras så att två av dess hörn i ett visst koordinatsystem hamnar i punkterna A : 17, 8) och B : 8, 5). Vilka är koordinaterna för de övriga hörnen? ON-system) 7) En ljusstråle med riktningsvektor e 1 + 3e 3e 3 reflekteras i planet π : 3x y + z + 6 = 0 i punkten P : 1, 1, ). Bestäm ekvationen för den reflekterade strålen. ON-system) 8) Bestäm koordinaterna för spegelbilden i planet π : x, y, z) = r, 3 + 4s, 3 7r + 7s) av punkten P :,, 3). ON-system) 9) En matematisk partikel startar i origo i ett koordinatsystem och rör sig till att börja med i riktningen 1, 3, 7). I punkten P ändrar partikeln rörelseriktning genom att vika av i en rät vinkel med den ursprungliga riktningen. Partikeln stannar till slut i punkten Q : 8,, 5). Bestäm koordinaterna för punkten P. ON-system) 10) Bestäm härled) avståndet mellan punkten P : 3,, ) och linjen λ : x + /3 = y 5 = z/. ON-system)

8 8 B.7 Vektorprodukt Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för den linje λ 1 som går genom punkten P : 1,, 4), som är parallell med planet π : x + y z = 0, och som är vinkelrät mot linjen λ : x, y, z) = 1 + 3t, 3t, + t). HON-system) ) Vektorerna u och v har koordinaterna 1, 3, respektive,, med avseende på en högerorienterad ON-bas HON-bas) e 1, e, e 3. Bestäm en annan HON-bas ê 1, ê, ê 3 sådan att ê 1 pekar i samma riktning som u v, och ê 3 pekar i samma riktning som v. 3) Linjerna λ 1 : x, y, z) = + t, 1 t, 3 + t) och λ : x = y 7)/5 = 3 z)/ skär varandra i punkten P. Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för den linje λ 3 som går genom punkten P och som är vinkelrät mot såväl λ 1 som λ. HON-system) 4) Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för den linje λ 1 som går genom punkten P : 1, 4,, som är parallell med planet π : x, y, z) = r, s, 4 3r s), och som är vinkelrät mot linjen λ : x 3)/ = y + = 1 z)/. HONsystem) 5) Vektorerna u och v har koordinaterna 3, 1, ) respektive, 3, med avseende på en högerorienterad ON-bas HON-bas) e 1, e, e 3. Bestäm en annan HON-bas ê 1, ê, ê 3 sådan att ê 1 pekar i samma riktning som u, och ê 3 pekar i samma riktning som v u. 6) Linjerna λ 1 : x, y, z) = 4 + t, t, 3 + 3t) och λ : x, y, z) = t, 5 + 3t, + t) skär varandra i punkten P. Bestäm, på både parameterform och parameterfri form, ekvationer för den linje λ 3 som går genom punkten P och som är vinkelrät mot såväl λ 1 som λ. HON-system) B.8 Komplexa tal Lös ekvationen och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. z i = Imz + i) i 1 ) 3i) 5) arg = π 9) z + 3 = z + 4i ) z = i)z 4 10) z 3i = i 6) z 3i = z + 6 3) z 1 = z + i 7) 4 + 4i)9 + 9 ) 3i) 1 arg = 0 z i = z 1 i z 4) z + 1i = 5 8) z i = 0 1) z i = 0

9 Svar dock ej figurer) till alla övningsuppgifter A.1 Linjära ekvationssystem Ekvationssystemen S 1, S och S 3 satisfieras av taltriplarna x, y, z) enligt... S 1 : x, y, z) = t, t, t), t R S : Inga x, y, z) S 3 : x, y, z) = 5, 3, ) S 1 : x, y, z) = 1, 3, ) S : x, y, z) = t, 4 t, 3t), t R S 3 : Inga x, y, z) A. Matriser Matrisen X är lika med... ) ) ) ) ) ) ) 1 3 5) ) ) ) A.3 Determinanter Determinanten har värdet/värdena = ) 0 och ) 0 och ) = ) 0 och 15 6) 0 och 17 A.4 Geometriska vektorer Koordinaterna är lika med , 3 ) ) 5, 1 5 ) 3), 4) 4), ) A.5 Linjer och plan π : x, y, z) = 1,, 3) + r, 1, + s 6, 0,, r, s R π : x + 8y + 6z 35 = 0 ) λ 1 λ : x, y, z) = 5, 3, 7) plan : x, y, z) = 5, 3, 7) + r, 3, 5) + s3,,, r, s R 3) π : x, y, z) = 0, 3, + r1, 1, ) + s1, 0,, r, s R π : x 3y z 8 = 0 5) π : x, y, z) = 4, 1, 3) + r1,, 5) + s,,, r, s R π : 4x 3y z 7 = 0 6) λ 1 λ : x, y, z) = 7, 1, plan : x, y, z) = 7, 1, + r,, + s 1, 3, ), r, s R 7) π : x, y, z) =, 1, 4) + r 1, 1, ) + s1, 3, 5), r, s R π : x 7y 4z + 5 = 0 4) λ π : x, y, z) = 9 5, 7 5, π : x, y, z) = + r + 3s, r, s), r, s R 8) λ π : x, y, z) = 40 19, 61 19, ) π : x + 3y 5z = 0 9

10 10 A.6 Skalärprodukt ) 7 { u = 8 3 e e e 3 u = 1 3 e e 5 3 e 3 3) 3 5 e e 3 4) 3 e 1 + e 3 { v = 5 6 5) e e 5 6 e 3 v = 35 6 e e 7 6 e 3 6) ) e e 1 e 3 8) 3 e e + 3 e 3 A.7 Vektorprodukt ) 13 a.e. 3) 0 ê 1 = 1 6 e 1 + e e 3 ) ê = 1 9 e 1 + 4e + 3e 3 ) ê 3 = e 1 7e + e 3 ) 4) a = 5 ê 1 = e 1 3e e 3 ) 5) ê = 1 6 e 1 + e + e 3 ) ê 3 = e 1 11e + 8e 3 ) 6) a = 6 5 ) a = 0) 7) 0 8) 53 v.e. A.8 Komplexa tal 4e i5π/6 = 3 i 3) 8e iπ/3 = i 5) 8e iπ/6 = 4 3 4i 7) 6 3e iπ/3 = 3 3+9i ) 6e iπ/4 = 3 3 i 4) 8e i5π/6 = i 6) 4e iπ/4 = + i 8) 8e iπ/4 = i B.1 Linjära ekvationssystem Ekvationssystemet satisfieras av x, y, z) enligt... ) x, y, z) a=1 existerar ej ) x, y, z) a,1 = 0, a+1 a 1, a 1 x, y, z) a= = 3t, 3 5t, t), t R x, y, z) a= 1 a=1 existerar ej ) 1 x, y, z) a 1,1 = a 1, a 3 a 1, 1 a+1 3) 4) x, y, z) a= 1 existerar ej ) 1 x, y, z) a 1,1 = a+1, 1 a+1, a+1 x, y, z) a=1 = 1 t, t,, t R x, y, z) a= existerar ej ) x, y, z) a,1 = a+1 a+, 1 a+, a+ a+ x, y, z) a=1 = r, s, 1 r s), r, s R B. Matriser Den inversa matrisen är lika med ) 3 3) ) B.3 Determinanter Determinanten är lika med... 6 ) 17 3) 56 4) 97 5) 3 6) 354

11 B.4. GEOMETRISKA VEKTORER 11 B.4 Geometriska vektorer Vektorerna e 1, e, e 3 utgör en bas. Vektorerna u, v, w svarar mot de i uppgiftsformuleringarna givna vektorerna och då i den ordning de räknas upp. De senare utgör även matrisen U:s kolonnvektorer, dvs de vektorer vars koordinater utgör matriselementen i U:s kolonner. JA, u = v 5w ) α = 4, β = 1 3) JA, de är linjärt oberoende ty detu) = 4 0 4) κ = 3, λ = 10 5) JA, de är linjärt beroende ty detu) = 0 6) JA, u = 5v + w B.5 Linjer och plan Ekvationer på parameterform och parameterfri form för planet π är... π : x, y, z) = 3,, + r1, 3, 5) + s,,, r, s R π : 13x 9y 8z 65 = 0 ) π : x, y, z) = 0,, 0) + r, 5, 3) + s1, 3, 5), r, s R π : 16x + 7y + z 14 = 0 3) π : x, y, z) =, 1, 3) + r3, 1, + s1,, 4), r, s R π : x 11y 5z 8 = 0 4) π : x, y, z) =, 5, 3) + r4, 4, 9) + s1, 0,, r, s R π : 4x 13y 4z 61 = 0 5) π : x, y, z) = 1, 7, ) + r, 3, + s 4, 5, 7), r, s R π : 13x 5y + 11z + 6 = 0 6) π : x, y, z) = 3, 8, 5) + r4, 3, 5) + s, 10, 3), r, s R π : 59x y + 34z 171 = 0 7) π : x, y, z) = 4,, 5) + r1, 6, 5) + s, 3,, r, s R π : 9x + 11y + 15z 61 = 0 8) π : x, y, z) = 4, 3, 5) + r 8, 1, 3) + s6, 3, 5), r, s R π : x 9y + 15z + 4 = 0 B.6 Skalärprodukt P : 16 9, 5 9, 5 9 ) ) P : 1, 4, 6) 3) l.e. = 3 11 l.e.. l.e. { C1 : 19, 10) 4) D 1 : 93, 38) eller { C : 31, 130) D : 67, 8) 5) e 1 e + e 3 6) { C1 : 1, 8) D 1 : 57, ) eller { C : 68, ) D : 3, 38) 7) x, y, z) = 1 + 3t, t, 15t), t 0. 8) P : , 40 69, ) 9) P : 1 59, 63 59, ) l.e. = 59 ) l.e.. l.e. B.7 Vektorprodukt λ 1 : x, y, z) = 1,, 4) + t, 5, 9) λ 1 : x 1 = y = z ) ê 1 = e 1 + e + 8e 3 ) ê = e 1 + 7e 4e 3 ) ê 3 = 1 3 e 1 + e + e 3 ) 3) λ 3 : x, y, z) = 4, 3, 7) + t, 0, λ 3 : x 4 = z 7, y 3 = 0 4) λ 1 : x, y, z) = 1, 4, + t 3, 8, λ 1 : x = y 4 = z 1 8

12 1 5) ê 1 = e 1 e + e 3 ) ê = e 1 31e 8e 3 ) ê 3 = e 1 e + 7e 3 ) 6) λ 3 : x, y, z) =, 1, 0) + t, 1, λ 3 : x + = y 1 = z 1 B.8 Komplexa tal Imz) = 1 Rez)) ) z k = 6 e i π 6 +k π ), k = 0,..., 3 3) Imz) = 1 Rez) 3 4 4) z = 3 i) z = 3 + i) 5) argz) = 11π 6 + n π 6) z 4i = 5 7) z + 1 i = 8) z k = e i π 3 +k π ), k = 0,..., 3 9) Imz) = 3 4 Rez) ) z k = e i π 6 +k π 5 ), k = 0,..., 4 1 argz) = π 6 + n π 1) z = 1 i) z = 1 + i)

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra Datum: 7

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen 10.08.25 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen 2011.08.11 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.06.07 08.30 10.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H Vektorer Detta material bygger på valda och delvis omarbetade delar av kompendiet Vektoralgebra av Hasse Carlsson. Dessutom har ett helt nyskrivet avsnitt om strömtriangeln lagts in. Inledning Du är säkert

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 05-0-5

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

4.2. Vektorprodukt i koordinater

4.2. Vektorprodukt i koordinater 4 Vektorprodukt i koordinater 5 4 Vektorprodukt i koordinater Nästa sats visar hur vi kan räkna med vektorprodukt i en ON-bas Satsen följer av Definition 4 samt räknelagrna i Sats 44 Sats 45 Låt e = {e,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Linjer och plan (lösningar)

Linjer och plan (lösningar) Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer