MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Information finns på de respektive delskrivningarna. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! Del 1 och 2 är omexamination av kursmomenten ÖVN1 och ÖVN2. Om du redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan. Del 3 är omexamination TEN2 del A. Om du är godkänd på TEN2 eller på ÖVN3 sedan föregående läsår så ska du inte skriva denna del. Del 4 är TEN2 del B, den del som kan ge överbetyg. Den är frivillig, men kan bara skrivas av de som inte redan är godkända på TEN2.

2 MAA123 Tentamen Sida 2 (av 5) Del 1: ÖVN 1 Denna del är är omexamination av ÖVN1 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1. För godkänt fordras minst 5 poäng. 1 Vi har här två matriser: A= [ ] 4 B= 5 6 Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) AB (b) BA 2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x 3y+4z= 4 2x 6y+6z= 4 y 2z= 4 3x 6y+9z= 6 Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen x=..., y=..., z=... eller bestå av ordet olösligt. (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 3 En del linjära ekvationssystem är olösbara. En del har entydig lösning. En del har oändligt många lösningar. (a) Säg någon typ av linjära ekvationssystem som inte kan vara olöslig. (b) Säg någon typ av linjära ekvationssystem som inte kan ha entydig lösning. 4 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): A= Se till att det klart och tydligt framgår vad svaret är! (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon.

3 MAA123 Tentamen Sida 3 (av 5) Del 2: ÖVN2 Denna del är omexamination av ÖVN2 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2. För godkänt fordras minst 5 poäng. 5 Vi har vektorerna u=( 6, 1, 4), v=( 4, 3, 1) och w=(2, 7, 2) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. 6 Vi har matrisen A= (a) Beräkna det A. (b) Är A inverterbar? Motivera! 7 En bas använder man för att kunna representera vektorer med koordinater. För att en grupp vektorer ska gå att använda som bas för ett rum krävs två saker: (i) De ska spänna upp upp rummet. (ii) De ska vara linjärt oberoende. (a) Varför måste vektorerna spänna upp rummet för att kunna användas som bas? (b) Varför måste vektorerna vara linjärt oberoende för att kunna användas som bas? 8 Nedan har vi markerat fyra punkter och ritat representanter för två vektorer. Ange koordinaterna för följande punkter i det koordinatsystem som definieras av punkten P 0 och basen{u 1, u 2 }: (a) P 1 (b) P 2 (c) P 3 (2/3p) (2/3p) (2/3p) P 1 u 1 P 2 P 0 u 2 P 3 Poängsumman avrundas till heltal.

4 MAA123 Tentamen Sida 4 (av 5) Del 3: TEN2 del A Denna del är omexamination av TEN2 del A och ska inte skrivas av de som redan är godkända på TEN2 och inte heller av de som läste kursen förra läsåret och som är godkända på ÖVN3. För godkänt fordras minst 5 poäng. 9 Bestäm projektionen av vektorn u=(9, 3, 9) på vektorn v=( 5, 1, 4). (ONsystem). 10 Planet Π innehåller punkterna P : ( 3, 1, 4) och Q : ( 5, 6, 4) och är parallellt med vektorn v=(1, 1, 1). AngeΠpå ekvationsform (utan några parametrar). Du kan förutsätta ON-system. 11 Två av dessa uttryck är felaktiga (vilket innebär att de inte betyder någonting alls). Säg vilka två uttryck det är som är fel, och förklara vad det är som är felet. (i) (u v) w (ii) (u v) w (iii) u v (iv) u v (Alla bokstäver står för vektorer.) 12 Vi har planenπ 1 : 3x y+2z=5 ochπ 2 : x+y z= 7. Om planen skär varandra, bestäm vinkeln mellan dem. Bestäm i annat fall avståndet. (ON-system)

5 MAA123 Tentamen Sida 5 (av 5) Del 4: TEN2 del B Om du är godkänd på del 3 så kan den här delen ge dig överbetyg på kursen. Det är frivilligt att skriva den. Väljer du att inte göra det så får du slutbetyg poäng här ger betyg 4 och 9 12 poäng ger betyg 5 på TEN2. 13 Vi har en högerorienterad ortonormerad bas B 1 ={u 1, u 2 } och en alternativ bas B 2 ={v 1, v 2 }. I B 1 har v 1 koordinaterna (2, 1) och v 2 koordinaterna ( 1, 4). (a) Rita en bild som visar hur u 1, u 2, v 1 och v 2 förhåller sig till varandra. (b) w 1 har koordinaterna ( 1, 2) i B 2. Vilka koordinater har den i B 1? (c) w 2 har koordinaterna (8, 5) i B 1. Vilka koordinater har den i B 2? 14 Då man arbetar med tal så brukar man tala om de fyra räknesätten : addition, subtraktion, multiplikation och division. I den här kursen har vi arbetat med matriser, och där har vi (bland annat) infört räknesätten matrisaddition, matrissubtraktion och matrismultiplikation. Men vi har inte studerat matrisdivision, vilket beror på att man inte infört det räknesättet, för det blir för mycket konstigheter. Försök konstruera ett räknesätt matrisdivision och förklara vad det är för komplikationer som uppstår. (4p) 15 Vi har de tre planenπ 1 : kx+2y+3z=1,π 1 : 3x+kz= 21 ochπ 3 : x+y+z=k (där k är en parameter, med samma värde i alla tre uttrycken). Finns det något värde k för vilket de tre planen skär utmed linje? Om ja: bestäm detta värde på k och ett parameteruttryck för skärningslinjen. Om nej: förklara varför inte. (4p)

6 v 1 v 2 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 14 poäng. 0 9 poäng: U poäng: G poäng: VG. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1 (a) Visa att x=0, y= 1, z=2, w= 3 är en lösning till nedanstående ekvationssystem: 2x 3y+4z+ w= 8 3x+ y 5w=14 (b) Är den lösning som visas i (a) den fullständiga lösningen på systemet? Motivera! (Fullständig lösning = lösningsmängden.) 2 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer. Om vi använder basen B={u 1, u 2 }, vilka koordinater har då (a) v 1? (b) v 2? (c) v 3? (2/3p) (2/3p) (2/3p) (Summan avrundas till närmsta heltal.) v 3 u 1 u 2 Var god vänd!

7 MAA123 Tentamen TEN Sida 2 (av 2) 3 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon. 4 Hur många lösningar har nedanstående ekvationsystem? 3x 2y+5z=0 2x y+4z=0 4x 3z=0 (Du behöver inte ta fram lösningarna, men du måste motivera ditt svar.) 5 (a) Vad är en enhetsmatris (eng: identity matrix) för något? (Vi vill ha själva definitionen.) (b) Vad är det som är så speciellt med enhetsmatriser? (Det måste finnas någon orsak till att man valt att ge dem ett eget namn.) 6 Vi har vektorerna u=(2, 1, 4), v=(3, 5, 2) och w=(3, 8, 14) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. 7 Vi har två lika stora matriser A och B. det A=8, det B= 2. Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt med given information: (a) det(ab 1 ) (b) det(3b)

8 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Del A ger maximalt 10 poäng. Del B ger maximalt 12 poäng. För betyg 3 fordras minst 6 poäng varav minst 5 från A-delen. För betyg 4 fordras minst 11 poäng varav minst 5 från A-delen och minst 3 från B-delen. För betyg 5 fordras minst 17 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. A-del 1 Vi har punkten P : ( 4, 1, 0), linjenl : (x, y, z)=(0, 5, 5)+t(2, 3, 2) och planet Π : x 3y+5z=1 (angivna i samma system). (a) Ligger P pål? Motivera. (b) Ligger P iπ? Motivera. Se till att det framgår om svaret är ja eller nej. 2 Vi har vektorerna u=( 2, 1) och v=(2, 6) (angivna i samma ON-bas). Dela upp v i en komposant parallell med u och en vinkelrät mot u. 3 Vi har de komplexa talen z=3 i och w= 4+i. Beräkna (a) z w z (b) w Svaren ska ges på rektangulär form. 4 Skalärprodukt och vektorprodukt är båda räknesätt som påminner om multiplikation, men där faktorerna är vektorer. Det både likheter och skillnader på de två räknesätten. (a) Säg något (räkneregel, princip, problemlösningsmetod) som fungerar precis likadant för skalärprodukt och vektorprodukt. (b) Säg något som inte fungerar likadant för skalärprodukt och vektorprodukt. Var god vänd!

9 MAA123 Tentamen TEN Sida 2 (av 2) 5 Vi har linjerna l 1 : (x, y, z)=(1, 7, 6)+t(3, 2, 2) l 2 : (x, y, z)=( 2, 5, 5)+t(1, 4, 3) (angivna i samma ON-system). Bestäm avståndet mellan dem. B-del 6 PlanetΠ 1 har ekvationen x+y+1=0. Skärningslinjen mellanπ 1 och planetπ 2 ärl : (x, y, z)=( 2, 1, 3)+t(1, 1, 1). Vinkeln mellanπ 1 ochπ 2 är 60. Bestäm den parameterfria ekvationsformen förπ 2. (ON-system.) (4p) 7 Beräkna determinanten för nedanstående matris: A= (Det går bra att svara med ett aritmetiskt uttryck, som (1 + 2) ( ).) (4p) 8 Det är alltså bara kvadratiska matriser som kan ha invers, och du ska nu få förklara varför. Dels ingår i definitionen av invers att AB ska bli lika med BA, och detta är bara möjligt om matriserna är kvadratiska. (Tar man en icke-kvadratisk matris A med storlek m n och multiplicerar med en n m-matris B blir AB av storlek m m och BA av storlek n n, och matriser av olika storlek kan inte vara lika.) Men dessutom ingår att båda produkterna ska bli enhetsmatrisen. Det går ofta att till en matris A hitta en matris B sådan att den mindre av AB och BA blir en enhetsmatris. Men det är omöjligt att få den större av dem att bli det. (a) Visa att om A är en 3 1-matris och B en 1 3-matris så kan AB inte bli enhetsmatrisen. (b) Visa samma sak då A är en 3 2-matris och B en 2 3-matris.

10 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 14 poäng. 0 9 poäng: U poäng: G poäng: VG. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1 Vi har nedanstående matriser: A= B= (a) Beräkna AB. (b) Beräkna det A det B. 2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: 2x 7y+5z= 4 x 5y+2z= 0 x y 4z= 7 Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen x=..., y=..., z=... eller bestå av ordet olöslig. (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 3 (a) Om man säger att vektorn v har koordinaterna (a, b, c) i basen B={u 1, u 2, u 3 }, exakt vad menar man med det? (b) Om man säger att punkten P har koordinaterna (a, b, c) i det koordinatsystem som definieras av basen B={u 1, u 2, u 3 } och punkten O, exakt vad menar man med det? 4 Matrisen X uppfyller X = Vad är X? Var god vänd!

11 MAA123 Tentamen TEN Sida 2 (av 2) 5 Nedanstående bild innehåller representanter för vektorerna u och v. Rita av den på ditt skrivpapper. u v Illustrera hur man tar fram en representant för (a) u+v (b) v u OBS! Lösningen ska vara grafisk. Det ska alltså inte finnas med någon beräkning, utan det ska framgå hur man med enbart penna och linjal tar fram en bild av svaret. Se också till att det framgår vad som är svaret! 6 Här har vi en lista på ett antal räkneregler. En del av dem är korrekta, andra är felaktiga. (En regel är korrekt om den alltid gäller.) Ange för varje regel om den är rätt eller fel. (a) (A+B) 1 = A 1 + B 1 (±0, 4p) (b) (A+B) T = A T + B T (±0, 4p) (c) (AB) T = B T A T (±0, 4p) (d) (AB) 1 = B 1 A 1 (±0, 4p) (e) (A 1 ) T = (A T ) 1 (±0, 4p) A och B är matriser, och deras storlekar är sådana att operationerna är möjliga att genomföra. Motivering behövs ej. Obs! Ett felaktigt svar ger minuspoäng. Totalpoängen för uppgiften blir dock aldrig lägre än noll, och avrundas till heltal. 7 Vi har vektorerna u=(5, 0, 3), v=(7, 2, 9) och w=( 2, 0, 4) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera!

12 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 14 poäng. 0 9 poäng: U poäng: G poäng: VG. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1 Vektorn u har koordinaterna ( 12, 3, 4) i en ON-bas. Vektorn v har normen 3 och är riktad åt motsatt håll mot u. Vilka koordinater har v? 2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x+ 5y+2z= 5 2x 10y 3z= 6 x 5y 4z= 13 Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen x=..., y=..., z =... eller bestå av ordet olösligt. (b) Visa att det du fått fram verkligen är en lösning. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 3 Vi har här två matriser: A= B= Är B invers till A? Motivera! 4 (a) Om man säger att ett ekvationssystem är underbestämt, exakt vad menar man med det? (Vi söker själva definitionen.) (b) Om man säger att ett ekvationssystem är konsistent, exakt vad menar man med det? (Vi söker själva definitionen.) Var god vänd!

13 MAA123 Tentamen TEN Sida 2 (av 3) 5 Vi har vektorerna u=(5, 3, 1), v=(7, 2, 0) och w=( 3, 8, 2) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera! 6 Vi har matriserna A= 3 0 B= 1 0 C= Matrisen X uppfyller AXB=C Vad är X? 7 Denna uppgift ska lösas på sista bladet av skrivningen. Pappret ska rivas av och lämnas in med de övriga lösningspappren.

14 Kod: Code Kurskod: Course code Bladnr: Page nr Uppgift nr: Task nr Kursnamn: Course title 7 Detta blad ska rivas av och lämnas in tillsammans med de andra lösningspappren. Ett koordinatsystem definieras med hjälp av basen{u 1, u 2 } och punkten O (origo), illustrerade nedan. Markera i bilden de punkter som har de angivna koordinaterna i koordinatsystemet ifråga: (a) P 1 : (2, 1) (b) P 2 : ( 1, 3) (c) P 3 : ( 1, 0) (2/3p) (2/3p) (2/3p) Se till att det framgår vilken markerad punkt som är vilken! u 1 O u 2

15 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Del A ger maximalt 10 poäng. Del B ger maximalt 12 poäng. För betyg 3 fordras minst 6 poäng varav minst 5 från A-delen. För betyg 4 fordras minst 11 poäng varav minst 5 från A-delen och minst 3 från B-delen. För betyg 5 fordras minst 17 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. A-del 1 Vi har planetπ : 2x+3y 4z=12. Ta fram ett parameteruttryck förπ. Du kan förutsätta ON-system. 2 En triangel har hörn i punkterna P : ( 2, 5, 1), Q : ( 1, 1, 2) och R : (1, 9, 2). Bestäm triangelns area. (ON-system) 3 (a) Skriv talet z = 6 6i på polär form. (b) Skriv talet w = 5(cos π + i sin π) på rektangulär form. 4 (a) Rita en bild som visar vad som menas med ortogonala projektionen av vektorn v på vektorn w, proj w v. Se till att det klart framgår vilken vektor som är vilken! (b) Med vilken formel kan man beräkna proj w u? (Motivering behövs ej.) 5 Vi har linjenl : (x, y, z)=( 8, 13, 4)+t(3, 2, 2) och planetπ : 2x+6y+ 3z= 8. Om linjen skär planet, bestäm vinkeln mellan dem. Bestäm i annat fall avståndet. (ON-system) Var god vänd!

16 MAA123 Tentamen TEN Sida 2 (av 2) B-del 6 Lös nedanstående ekvationssystem för alla reella talλ: λx+2λy 4z=λ 2 2x 3y+(2λ+6)z= 3 x 2y+ λz= 0 (Eftersom det inte är möjligt att ta fram sifferlösningar för alla oändligt många värden somλkan ha är det inget fel om man får formler innehållandeλ som svar.) (4p) 7 En regelbunden oktaeder är en kropp som begränsas av 8 liksidiga trianglar, se bild. P 5 P 4 P 3 P 1 P 2 P 6 På den avbildade oktaedern är koordinaterna för hörnet P 1 : ( 11, 11, 8) och för hörnet P 3 : ( 13, 7, 4). Hörnen P 1, P 2, P 3 och P 4 ligger alla i planetπ : 2x + 2y z + 36 = 0. Bestäm koordinaterna för de resterande hörnen. (ON-system.) (4p) 8 I en del tillämpningar räknar man med vektorer i betydligt högre dimension än 3. Räkningarna kan utföras på vektorernas koordinater på precis samma sätt som när man räknar i 2D eller 3D, det är bara lite fler koordinater inblandade. Begrepp som linjärt oberoende och linjärkombination definieras på samma sätt. En av dessa tillämpningar är studiet av matriser. Där kan man se matrisens rader som koordinatuppsättningar, och kallar dessa för dess radvektorer. Läser man på andra ledden kan man se kolumnerna som koordinatuppsättningar, och kallar dessa för dess kolumnvektorer. En m n-matris A har m stycken radvektorer, som ligger i det n-dimensionella rummet, och n stycken kolumnvektorer, som ligger i det m- dimensionella rummet. Då man löser linjära ekvationssystem med Gauss-Jordans metod så eftersträvar man att få en systemmatris på radkanonisk form. Då man uppnått detta innehåller matrisen ett antal ledande ettor. (a) Förklara varför de radvektorer som innehåller de ledande ettorna garanterat är linjärt oberoende. (b) Förklara varför de kolumnvektorer som innehåller de ledande ettorna garanterat är linjärt oberoende, medan eventuella övriga kolumner går att skriva som linjärkombination av de med ettorna.

17 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 14 poäng. 0 9 poäng: U poäng: G poäng: VG. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1 Vi har här två matriser: A= B= Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) A+B (b) AB 2 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer. v 1 w u 2 v 2 (a) Ange koordinaterna för w i basen B 1 ={u 1, u 2 }. (b) Ange koordinaterna för w i basen B 2 ={v 1, v 2 }. u 1 Var god vänd!

18 MAA123 Tentamen TEN Sida 2 (av 2) 3 Lös nedanstående tre ekvationssystem på ett effektivt sätt: x 2y= 8 a 2b= 14 u 2v= 2 x y= 5 a b= 9 u v= 1 2z+3y= 13 2a+3b= 21 2u+3v= 3 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningarna är! (För full poäng måste lösningsmetoden vara väl vald.) 4 Skriv upp fem räkneregler för matriser. (Ett exempel på en räkneregel är A+B= B+A. Just denna regel får du ingen poäng för.) Använd stora bokstäver för matriser och små bokstäver för skalärer, och matriserna får förutsättas ha sådan storlek att uttrycken är meningsfulla. Poängberäkning: 0,4 poäng för varje korrekt regel, 0,4 poäng för varje felaktig regel. Summan avrundas till närmsta heltal. Om mer än fem regler ges poängsätts de fem första. 5 Vi har vektorerna v 1 = ( 2, 1, 1), v 2 = (6, 4, 1), v 3 = (4, 2, 10) och v 4 = (2, 3, 4) (angivna i samma bas). Skriv v 4 som linjärkombination av v 1, v 2 och v 3, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. 6 (a) Beräkna determinanten för nedanstående matris: (b) Är matrisen inverterbar? Motivera! 7 I den här kursen arbetar vi med vektorer och skalärer. (a) Vad är en vektor för något? (Skriv ett svar som du tror att du själv skulle ha förstått innan du läste den här kursen) (b) Vad är en skalär för något? (Samma instruktion)

19 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 14 poäng. 0 9 poäng: U poäng: G poäng: VG. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1 Vi har matrisen A= (a) Beräkna det A. (b) Är A inverterbar? Motivera! 2 Vi har vektorerna u=(2, 1, 3), v=( 4, 3, 5) och w=(0, 2, 1) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. 3 Vi har här två matriser: 1 2 A= B= Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) AB (b) BA Var god vänd!

20 MAA123 Tentamen TEN Sida 2 (av 2) 4 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x 2y 6z 6w= 10 2x y 3z 6w= 5 Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen x=..., y=..., z=..., w=... eller bestå av ordet olösligt. (b) Visa att det du fått fram verkligen är en lösning. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 5 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer: v 3 v 1 u 2 v 2 u 1 Ange koordinaterna för följande vektorer i basen{u 1, u 2 }: (a) v 1 (b) v 2 (c) v 3 (2/3p) (2/3p) (2/3p) Motivering behövs ej. Poängen avrundas till närmsta heltal. 6 Räkning med matriser påminner mycket om räkning med tal. Man adderar, multiplicerar och så vidare. Men det är inte allt som är precis likadant. (a) Säg något (räkneregel, resonemang, problemlösningsmetod) som fungerar precis lika för tal och matriser. (b) Säg något som inte fungerar precis lika för tal och matriser. 7 u = (3, 4, 0) och v = (0, 12, 5) i samma ON-bas. Bestäm u + v.

21 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Del A ger maximalt 10 poäng. Del B ger maximalt 12 poäng. För betyg 3 fordras minst 6 poäng varav minst 5 från A-delen. För betyg 4 fordras minst 11 poäng varav minst 5 från A-delen och minst 3 från B-delen. För betyg 5 fordras minst 17 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. A-del 1. Vi har planetπ : (x, y, z) = ( 6, 2, 4)+ s( 2, 3, 1)+t(2, 7, 1) och vektorn v=( 5, 2, 4) i samma ON-system. Är v vinkelrät motπ? Motivera! 2. En parallellogram har hörn i punkterna P 1 : ( 4, 5), P 3 : (1, 4), P 2 : (2, 1) och P 4 : ( 3, 2) i ett ON-system. Bestäm parallellogrammens area. 3. Lös ekvationen z 3 = 8 fullständigt. (Ingen poäng om du inte hittar alla svar.) 4. Skriv upp tre räkneregler för skalärprodukt och/eller vektorprodukt. (En räkneregel är något som alltid gäller. a+b=b+a är ett exempel på en räkneregel för addition av tal.) 2/3 poäng för korrekt regel, 2/3 poäng för felaktig regel. Summan avrundas till närmsta ickenegativa heltal. 5. Vi har linjerna l 1 : (x, y, z)=( 10, 4, 5)+t(4, 5, 3) l 2 : (x, y, z)=(15, 7, 5)+t( 8, 1, 6) i ett ON-system. Bestäm avståndet mellan linjerna. Var god vänd!

22 MAA123 Tentamen TEN Sida 2 (av 2) B-del 6. Vi har punkterna P 1 : ( 1, 2,λ), P 2 : (λ+1, 1, 1), P 3 := ( 7,λ 4, λ 4) och P 4 : ( 3, 2, λ 2) (angivna i samma koordinatsystem). För vilket/vilka värden påλligger punkterna i samma plan? Bestäm också ett uttryck för planet. (4p) 7. Vi har den högerorienterade ON-basen B 1 ={e 1, e 2 }. u 1 = ( 2, 3), u 2 = (2, 2) i denna bas. (a) Rita en bild av hur vektorerna e 1, e 2, u 1 och u 2 förhåller sig till varandra. (b) Vektorn v har koordinaterna ( 1, 2) i basen B 2 ={u 1, u 2 }. Vad har v för koordinater i basen B 1? (c) Vektorn w har koordinaterna (3, 1) i basen B 1. Vad har w för koordinater i basen B 2? 8. En matris A kallas idempotent om A 2 = A. (Med A 2 menas matrisen multiplicerad med sig själv.) Enhetsmatrisen I är idempotent, eftersom II = I. (a) Hitta tre andra 2 2-matriser än enhetsmatrisen som är idempotenta. (b) Visa att den enda matris som är både idempotent och inverterbar är enhetsmatrisen. (Du kan om du vill nöja dig med att visa det för 2 2-matriser.)

23 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 14 poäng. 0 9 poäng: U poäng: G poäng: VG. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1. Nedanstående bild innehåller representanter för vektorerna u och v. Rita av den på ditt skrivpapper. u v Illustrera hur man tar fram en representant för (a) v+u (b) v u OBS! Lösningen ska vara grafisk. Det ska alltså inte finnas med någon beräkning, utan det ska framgå hur man med enbart penna och linjal tar fram en bild av svaret. Se också till att det framgår vad som är svaret! 2. Matriserna A och B är kvadratiska och lika stora. det A = 5, det B = 6. Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt med given information: (a) det(a+b) (b) det(ab) 3. (a) Är x = 10, y = 13, z = 10 en lösning till nedanstående ekvationssystem? 3x y+4z= 10 2x+5y+ z= 12 3x+ y 4z= 8 Motivera! (b) Skriv upp ett annat ekvationssystem som är en lösning x = 10, y = 13, z=10 till. Var god vänd!

24 MAA123 Tentamen TEN Sida 2 (av 2) 4. Vi har matriserna A= 4 2 B= Beräkna (A 1 B) (a) Om man säger att ett ekvationssystem är homogent, exakt vad menar man med det? (Vi söker själva definitionen.) (b) Om man säger att ett ekvationssystem har tom lösningsmängd (engelska: empty solutions set), exakt vad menar man med det? (Vi söker definitionen.) 6. Vi har matriserna A= B= [ ] Matrisen X uppfyller B=XA Vad är X? 7. Vi har vektorerna u=( 2, 1, 3), v=(1, 5, 3) och w=( 3, 1, 7) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera!