MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Information finns på de respektive delskrivningarna. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! Del 1 och 2 är omexamination av kursmomenten ÖVN1 och ÖVN2. Om du redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan. Del 3 är omexamination TEN2 del A. Om du är godkänd på TEN2 eller på ÖVN3 sedan föregående läsår så ska du inte skriva denna del. Del 4 är TEN2 del B, den del som kan ge överbetyg. Den är frivillig, men kan bara skrivas av de som inte redan är godkända på TEN2.

2 MAA123 Tentamen Lösning Sida 2 (av 11) Del 1: ÖVN 1 Denna del är är omexamination av ÖVN1 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1. För godkänt fordras minst 5 poäng. 1 Vi har här två matriser: A= [ ] 4 B= 5 6 Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) AB Observera att 1 1-matriser är fullt tillåtna! AB= [ ] 4 5 =[ ] = [ 32 ] 6 Rättningsnorm: (Gäller även (b)-uppgiften:) Inget avdrag för räknefel så länge man kan se att siffrorna är ihopmonterade på rätt sätt. Men det ska vara rätt, och svarsmatrisen ska ha rätt storlek. (b) BA [ ] BA= = = (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x 3y+4z= 4 2x 6y+6z= 4 y 2z= 4 3x 6y+9z= 6 Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen x=..., y=..., z=... eller bestå av ordet olösligt. (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. (a) Gauss-Jordan ger

3 MAA123 Tentamen Lösning Sida 3 (av 11) så svaret är x= 4, y=0, z=2. Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel, men svaret som man ger måste stämma överens med den reducerade matris man kommit fram till. (b) Det beräknade svaret ska sättas in i samtliga 4 ekvationer. Insatt i 1:a ser testet ut som ( 4 x ) 3 0 y z = 4 0+8=4=HL OK! Rättningsnorm: Insättning i alla 4 ekvationerna krävs. Om svaret är felaktigt men man ändå får det att passera testet ges ingen poäng, då har man inte testat seriöst. Om testet visar att svaret är fel ger jag har visst räknat fel poäng, olösligt gör det inte. Om man räknat fel så att systemet föreföll olösligt så ger en bra förklaring av detta poäng. 3 En del linjära ekvationssystem är olösbara. En del har entydig lösning. En del har oändligt många lösningar. (a) Säg någon typ av linjära ekvationssystem som inte kan vara olöslig. Homogena ekvationssystem, sådana där alla högerled är noll. De har garanterat åtminstone den triviala lösningen sätt alla obekanta till noll. (Det finns andra acceptabla svar, som ekvationssystem med inverterbar koefficientmatris.) (b) Säg någon typ av linjära ekvationssystem som inte kan ha entydig lösning. Underbestämda ekvationssystem, med färre ekvationer än obekanta. Informationen räcker inte för att entydigt bestämma alla obekanta. (Också här finns alternativa godtagbara svar.) Rättningsnorm: Namn eller beskrivning i ord går lika bra på båda frågorna. Det räcker dock inte med ett exempel, man måste förklara vilken typ av system det handlar om. 4 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): A= Se till att det klart och tydligt framgår vad svaret är! Gauss-Jordan ger Matrisen går inte att invertera. Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel, men svaret måste stämma med beräkningen. (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon.

4 MAA123 Tentamen Lösning Sida 4 (av 11) De tre nollorna på rad i vänsterhalvan ihop med icke-noll till höger visar att ekvationssystemet är olösligt. Om man räknat fel så att man fick en invers ska man multiplicera ihop den beräknade inversen med ursprungsmatrisen. Rättningsnorm: Om man räknade fel på (a) (vilket ska märkas i testet) så ger Jag har visst räknat fel ger poäng, olösligt ger det inte. Om man räknat fel på (a) och ändå får enhetsmatrisen här ges 0 p, för då har man inte genomfört beräkningen utan bara skrivit upp det man vet att det borde bli.

5 MAA123 Tentamen Lösning Sida 5 (av 11) Del 2: ÖVN2 Denna del är omexamination av ÖVN2 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2. För godkänt fordras minst 5 poäng. 5 Vi har vektorerna u=( 6, 1, 4), v=( 4, 3, 1) och w=(2, 7, 2) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. Vi söker alltså skalärer a, b, sådadan att au+bv=w. Detta ger oss 6a 4b= 2 a( 6, 1, 4)+ b( 4, 3, 1)= (2, 7, 2) a 3b= 7 4a+ b= 2 Gauss-Jordan på detta överbestämda ekvationssystem ger Nedersta raden visar att ekvationssystemet är olösligt (0a+0b kan inte bli 4), så det går inte att skriva w som linjärkombination av u och w. Rättningsnorm: För full poäng måste det framgå vad man fick ekvationssystemet ifrån, tillräckligt mycket lösningsarbete för att det ska vara klart att systemet är olösligt och att svaret är det går inte. En lösning som är delvis korrekt men inte innehåller alla dessa delar får 1 p. 6 Vi har matrisen A= (a) Beräkna det A. 0. Matriser med två identiska rader har garanterat determinant noll. (Man kan givetvis räkna ut den också.) Rättningsnorm: Motivering eller korrekt uppställd uträkning krävs. Inget avdrag för räknefel, men teckenhanteringen måste vara korrekt. (b) Är A inverterbar? Motivera! Nej, eftersom determinanten är noll. Rättningsnorm: Svaret ska stämma överens med resultatet på (a). 7 En bas använder man för att kunna representera vektorer med koordinater. För att en grupp vektorer ska gå att använda som bas för ett rum krävs två saker: (i) De ska spänna upp upp rummet. (ii) De ska vara linjärt oberoende. (a) Varför måste vektorerna spänna upp rummet för att kunna användas som bas?

6 MAA123 Tentamen Lösning Sida 6 (av 11) Annars finns det vektorer i rummet som inte går att skriva som linjärkombination av basvektorerna. Dessa skulle då inte ha några koordinater, och hela poängen med baser är ju att man ska kunna beskriva objekten med koordinater. (b) Varför måste vektorerna vara linjärt oberoende för att kunna användas som bas? Annars finns det vektorer i rummet som går att skriva på flera olika sätt, så att det finns flera helt olika koordinater som står för precis samma vektor. Det är inte alls praktiskt; om koordinaterna är olika ska grejerna också vara olika! Rättningsnorm: Svaren kan formuleras på många olika sätt, allt som kan tolkas som något i den här stilen godtas. 8 Nedan har vi markerat fyra punkter och ritat representanter för två vektorer. Ange koordinaterna för följande punkter i det koordinatsystem som definieras av punkten P 0 och basen{u 1, u 2 }: (a) P 1 (b) P 2 (c) P 3 (2/3p) (2/3p) (2/3p) P 1 u 1 P 2 P 0 u 2 P 3 Poängsumman avrundas till heltal. Koordinaterna för en punkt är lika med koordinaterna för dess ortsvektor. Koordinaterna för en vektor är består av de koefficienter som fordras för att linjärkombinera fram vektorn ur de givna basvektorerna. (a) P 0 P 1 = 5u 1 + 0u 2, så P 1 : (5, 0) (b) P 0 P 2 = 1u 1 + 3u 2, så P 2 : (1, 3) (c) P 0 P 1 = 1u 1 + 5u 2, så P 3 : ( 1, 5) Rättningsnorm: Har man gjort ett konsekvent fel, t.ex. kastat om koordinaterna eller svarat med linjärkombinationer, ges 1 p totalt på uppgiften.

7 MAA123 Tentamen Lösning Sida 7 (av 11) Del 3: TEN2 del A Denna del är omexamination av TEN2 del A och ska inte skrivas av de som redan är godkända på TEN2 och inte heller av de som läste kursen förra läsåret och som är godkända på ÖVN3. För godkänt fordras minst 5 poäng. 9 Bestäm projektionen av vektorn u=(9, 3, 9) på vektorn v=( 5, 1, 4). (ONsystem). Projektionsformeln ger proj v u= u v v 9( 5) v= 2 ( 5) ( 5, 1, 4)= 84 ( 5, 1, 4)= (10, 2, 8) 42 Rättningsnorm: Inget avdrag för rena räknefel. Formeln måste vara rätt. Gör man sedan principfel i antingen skalärproduktsberäkningen eller normberäkningen (medan resten är rätt) ges 1 p. Beräknar man proj u v istället ges 1 p. Svaret behöver inte förenklas. 10 Planet Π innehåller punkterna P : ( 3, 1, 4) och Q : ( 5, 6, 4) och är parallellt med vektorn v=(1, 1, 1). AngeΠpå ekvationsform (utan några parametrar). Du kan förutsätta ON-system. Vektorn u= PQ=( 5, 6, 4) ( 3, 1, 4)=( 2, 5, 0) är också parallell med planet. n= u v= =(5, 2, 3) är då en normalvektor till planet. Planets ekvation blir (5, 2, 3) (x+3, y 1, x+4)=0 5x+2y 3z+25=0 Rättningsnorm: Kommit till normalvektorn alternativt satt upp ett korrekt parameterutryck för planet alternativt satt upp ett korrekt ekvationssystem för att bestämma koefficienterna i ax+by+cz+d=0: 1 p. Ekvationen i klartext: 2 p 11 Två av dessa uttryck är felaktiga (vilket innebär att de inte betyder någonting alls). Säg vilka två uttryck det är som är fel, och förklara vad det är som är felet. (i) (u v) w (ii) (u v) w (iii) u v (iv) u v (Alla bokstäver står för vektorer.) (i) är fel, parentesen ger en skalär till resultat, och man kan inte beräkna vektorprodukten av en skalär och en vektor; man behöver två vektorer. (ii) är korrrekt, parentesen ger en vektor, och skalärprodukt ska beräknas för två vektorer. (iii) är fel, för vektorprodukten ger en vektor till resultat och belopp beräknas för skalärer. (Dubbla streck, för vektornorm, hade varit korrekt.)

8 MAA123 Tentamen Lösning Sida 8 (av 11) (iv) är korrekt, skalärprodukten ger en skalär så beloppstecknet är helt rätt. Rättningsnorm: Rätt saker utpekade, med motiveringar varav minst en begriplig och korrekt, ger full poäng. Rätt saker utpekade men med felaktiga eller obegripliga motiveringar: 1 p. En sak korrekt utpekad, med begriplig och korrekt motivering: 1 p. Mindre än så rätt: 0p. 12 Vi har planenπ 1 : 3x y+2z=5 ochπ 2 : x+y z= 7. Om planen skär varandra, bestäm vinkeln mellan dem. Bestäm i annat fall avståndet. (ON-system) Planen skär varandra om de inte är är parallella; de är parallella om deras normalvektorer är parallella. Ur koordinaterna utläser man dessa till n 1 = (3, 1, 2), n 2 = (1, 1, 1). Dessa är inte parallella då de inte är multipler av varandra. Alltså är det vinkeln som söks. Vinkelnα mellan två plan är lika med vinkeln mellan deras normaler: cosα= n 1 n 2 n 1 n 2 Eftersom (3, 1, 2) (1, 1, 1)=3 1 2=0 behöver man inte räkna ut normerna; vinkeln är rät. Rättningsnorm: Fått fram vinkeln i klartext: 2 p. Korrekt påbörjat vinkelberäkning, men inte fått fram vinkeln: 1 p. Bara identifierat att det var vinkeln som söktes: 0 p. Korrekt beräknat avståndet mellan en punkt i ena planet och det andra planet: 1 p.

9 MAA123 Tentamen Lösning Sida 9 (av 11) Del 4: TEN2 del B Om du är godkänd på del 3 så kan den här delen ge dig överbetyg på kursen. Det är frivilligt att skriva den. Väljer du att inte göra det så får du slutbetyg poäng här ger betyg 4 och 9 12 poäng ger betyg 5 på TEN2. 13 Vi har en högerorienterad ortonormerad bas B 1 ={u 1, u 2 } och en alternativ bas B 2 ={v 1, v 2 }. I B 1 har v 1 koordinaterna (2, 1) och v 2 koordinaterna ( 1, 4). (a) Rita en bild som visar hur u 1, u 2, v 1 och v 2 förhåller sig till varandra. (b) w 1 har koordinaterna ( 1, 2) i B 2. Vilka koordinater har den i B 1? (c) w 2 har koordinaterna (8, 5) i B 1. Vilka koordinater har den i B 2? (a) Svaret på uppgiften är det i bilden som är svart: v 2 u 2 v 1 u 1 (b) En grafisk lösning är inritad i blått och grönt. Motsvarande beräkning blir w 1 = v 1 + 2v 2 = (2u 1 + u 2 )+2( u 1 + 4u 2 )= 4u 1 + 7u 2 Koordinaterna för w 1 i B 1 är ( 4, 7). (c) En grafisk lösning är inritad i orange och rött. Beräkningsmässigt kan vi utgå från att koordinaterna är (x, y) vilket ger beräkningen w 2 = 8u 1 5u 2 = xv 1 + yv 2 = x(2u 1 + u 2 )+y( u 1 + 4u 2 )=(2x y)u 1 + (x+4y)u 2

10 MAA123 Tentamen Lösning Sida 10 (av 11) vilket ger ekvationssystemet 2x y= 8 x+4y= 5 x= 3 y= 2 Koordinaterna för w 2 i B 2 är (3, 2) Rättningsnorm: (a) och (b) kan väl egentligen bara bli rätt eller fel. På (c) ger en konstruktiv början 1 p, för full poäng ska man ha kommit till svar. 14 Då man arbetar med tal så brukar man tala om de fyra räknesätten : addition, subtraktion, multiplikation och division. I den här kursen har vi arbetat med matriser, och där har vi (bland annat) infört räknesätten matrisaddition, matrissubtraktion och matrismultiplikation. Men vi har inte studerat matrisdivision, vilket beror på att man inte infört det räknesättet, för det blir för mycket konstigheter. Försök konstruera ett räknesätt matrisdivision och förklara vad det är för komplikationer som uppstår. (4p) Division är motsatsen till multiplikation: om a/b=c så är a=bc=cb. För matriser är första komplikationen om A/B=Cska innebära att A=BC eller att A=CB, dessa uttryck är ju inte lika. Nå, det kan man helt enkelt bestämma! Vi säger att A/B=C innebär att A= BC. Detta ställer krav på matrisernas dimensioner. A och B måste ha samma antal rader för att likhet ska kunna råda (och så får man justera storleken på kvoten C för att få rätt dimensioner i övrigt). Nå, även de andra räknesätten har restriktioner på dimensionerna, så det borde inte heller vara ett problem. Så vi säger att kvoten C av A och B är den matris som löser ekvationen A = BC, förutsatt att dimensionerna är sådana att ekvationen är rimlig. Men den här typen av ekvationer är ofta olösliga, och de kan också ha oändligt många lösningar. Att en beräkning ibland ger svaret det här går inte att göra kan man kanske stå ut med, det händer även med andra räknesätt (men det brukar vara en fördel om det bara inträffar i ett begränsat och klart urskiljbart antal fall), men beräkningar som ger en hel massa olika svar fungerar mycket dåligt. Man vill att A/B ska bli en och endast en sak, hur ska man annars få fram svaret i en beräkning? (Det finns säkert massor att tillägga; det här var det mest uppenbara på rak arm.) Rättningsnorm: Omöjligt att förutse hur svaren kommer att se ut; poäng i princip efter hur många intressanta saker man påpekat. 15 Vi har de tre planenπ 1 : kx+2y+3z=1,π 1 : 3x+kz= 21 ochπ 3 : x+y+z=k (där k är en parameter, med samma värde i alla tre uttrycken). Finns det något värde k för vilket de tre planen skär utmed linje? Om ja: bestäm detta värde på k och ett parameteruttryck för skärningslinjen. Om nej: förklara varför inte. (4p) Uppgiften är lånad ur Linjär algebra av Kristoferson och Larfeldt. Skärningen mellan ett antal plan är den/de punkter vars koordinater uppfyller samtliga plans ekvationer. Det vi är ute efter är alltså att nedanstående ekvationssystem ska ha

11 MAA123 Tentamen Lösning Sida 11 (av 11) parameterlösning: kx+2y+ 3z= 1 3x + kz= 21 x+ y+ z= k Ekvationssystemet har lika många ekvationer som obekanta, vilket vanligtvis innebär entydig lösning. Undantaget är om koefficientmatrisen inte är inverterbar, vilket den är om dess determinant är noll. Undersök: k k = = k 2 2k+3= (k+3)(k 1) Determinanten blir alltså noll för k = 3 och för k=1. För dessa värden på k måste ekvationssystemet antingen vara olösligt eller ha parameterlösning. Undersök: x+2y+ 3z= 1 k=1: 3x + z= 21 x+ y+ z= 1 Detta ekvationssystem är olösligt, märker man om man försöker med Gauss-Jordan. 3x+2y+3z= 1 x z= 7 k= 3 : 3x 3z= 21 y= 10 x+ y+ z= 3 På parameterform kan lösningen skrivas (x, y, z) = ( 7 + t, 10, t), vilket motsvarar skärningslinjen. Rättningsnorm: För full poäng måste man ha undersökt båda de relevanta fallen och ha kommit fram till ett svar. I övrigt poäng efter ungefär hur många procent av lösningen man har åstadkommit.

12 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN3 Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 14 poäng. 0 9 poäng: U poäng: G poäng: VG. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1 (a) Visa att x=0, y= 1, z=2, w= 3 är en lösning till nedanstående ekvationssystem: 2x 3y+4z+ w= 8 3x+ y 5w=14 Sätt in lösningsförslaget i de två ekvationerna, och konstatera att det ger de önskade högerleden. Alternativt: lös systemet, lösningen är (x, y, z, w)=( 50 /11, 4 /11, 0, 0)+ s( 4 /11, 12 /11, 1, 0)+t( 14 /11, 13 /11, 0, 1), och s=2, t= 3 ger den efterfrågade lösningen. Rättningsnorm: Lösningsförslaget måset provas i båda ekvationerna för poäng. (b) Är den lösning som visas i (a) den fullständiga lösningen på systemet? Motivera! (Fullständig lösning = lösningsmängden.) Nej. Systemet är underbestämt, och underbestämda system kan inte ha entydig lösning, de har ingen eller oändligt många. Eftersom vi sett att ingen inte gäller måste finnas fler än den här. Alternativt: Lös systemet, se (a). Man hittar många fler lösningar än den här. Rättningsnorm: Motivering måste finnas för poäng. Om man i (a) löser systemet korrekt men inte ser att den föreslagna lösningen är en av de man hittat ges 1 p totalt på uppgiften. 2 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer. Om vi använder basen B={u 1, u 2 }, vilka koordinater har då (a) v 1? (b) v 2? (c) v 3? (2/3p) (2/3p) (2/3p) (Summan avrundas till närmsta heltal.)

13 MAA123 Tentamen TEN3 Lösning Sida 2 (av 4) 4u 1 1u 2 v 1 v 2 2u 2 3u 2 v 3 3u 1 u 2 u 1 Linjärkombinationer inritade i rött. Koordinaterna är koefficienterna i linjärkombinationerna, med koefficienten för u 1 tagen först: (a) (4, 1) (b) (3, 2) (c) (0, 3) Rättningsnorm: Vid ett konsekvent fel, som att ge linjärkombinationerna istället för koordinaterna, eller ta koefficienten för u 2 först, ges 1 p på uppgiften som helhet. 3 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): Gaussjordan ger: / Invers saknas. Rättningsnorm: Inget avdrag för rena räknefel om metoden är korrekt, men svaret ska stämma överens med det man kom fram till. (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon. Nollraden i vänsterhalvan visar att invers saknas. Det går inte att med elementära radoperationer få en 1:a i position (3, 3) utan att få en massa skräp i de andra positionerna. Rättningsnorm: Det måste framgå att nollraden är problemet. Om man räknade fel i (a) så att man fick fram en invers så ska man här multiplicera ursprungsmatrisen med denna. Detta kommer (vid seriös räkning) inte att ge enhetsmatrisen. Jag har visst räknat fel ger då 1 p, olösligt ger 0 p. Om man inleder med att beräkna determinanten för A, och konstaterar att den är noll så matrisen saknar invers så ges 2 p för uppgiften som helhet.

14 MAA123 Tentamen TEN3 Lösning Sida 3 (av 4) 4 Hur många lösningar har nedanstående ekvationsystem? 3x 2y+5z=0 2x y+4z=0 4x 3z=0 (Du behöver inte ta fram lösningarna, men du måste motivera ditt svar.) Homogent system, så det är inte olösligt. Kvadratisk koefficientmatris; då har man entydig lösning om och endast om koefficientmatrisen är inverterbar. Undersök determinanten: = ( 2) ( 1) = 2 ( 2 ( 3) 4 4 ) ( 3 ( 3) 5 4 ) + 0= 15 0 Koefficientmatrisen är inverterbar, så systemet har entydig lösning. Man kan också börja lösa systemet, och bryta uträkningen så fort man ser att man inte får någon nollrad. Rättningsnorm: 1 p för beräkningen, 1 p för argumentationen. Avdrag för teckenfel i determinantberäkning men inte för andra typer av räknefel. 5 (a) Vad är en enhetsmatris (eng: identity matrix) för något? (Vi vill ha själva definitionen.) En enhetsmatris är en kvadratisk matris med ettor på diagonalen och nollor i övriga positioner. Brukar betecknas I. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? (b) Vad är det som är så speciellt med enhetsmatriser? (Det måste finnas någon orsak till att man valt att ge dem ett eget namn.) Samma egenskaper som talet ett: multiplicerar man med dem händer ingenting, IA = A, oavsett vad A är. Rättningsnorm: Också här är detta det enda vettiga svaret. ( För att kontrollera inverser är inte ett fungerande svar; inverserna är intressanta därför att enhetsmatrisen har denna egenskap.) 6 Vi har vektorerna u=(2, 1, 4), v=(3, 5, 2) och w=(3, 8, 14) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. Vi söker alltså två tal a och b sådana att au+bv=w. Det ger följande överbestämda ekvationssystem: 2a+3b= a+5b= a= b= 1 4a 2b=

15 MAA123 Tentamen TEN3 Lösning Sida 4 (av 4) så w=3u v. Rättningsnorm: 1 p för själva beräkningen. Inga avdrag för räknefel, men svaret måste stämma med det man kom fram till. 1 p för antingen förklaring av hur man fick ekvationssystemet eller för linjärkombination i klartext. 7 Vi har två lika stora matriser A och B. det A=8, det B= 2. Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt med given information: (a) det(ab 1 ) det(ab 1 )=det A det B 1 = det A 1 det B = 8 2 = 4 Rättningsnorm: Kan bara bli rätt eller fel. (b) det(3b) Går inte att räkna ut, för man måste veta hur många rader B har och det står inte i uppgiften. Rättningsnorm: 3 n ( 2), där n är antalet rader i B godtages.

16 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Del A ger maximalt 10 poäng. Del B ger maximalt 12 poäng. För betyg 3 fordras minst 6 poäng varav minst 5 från A-delen. För betyg 4 fordras minst 11 poäng varav minst 5 från A-delen och minst 3 från B-delen. För betyg 5 fordras minst 17 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. A-del 1 Vi har punkten P : ( 4, 1, 0), linjenl : (x, y, z)=(0, 5, 5)+t(2, 3, 2) och planet Π : x 3y+5z=1 (angivna i samma system). (a) Ligger P pål? Motivera. Se om man kan komma till P genom att gå utmedl: 4= 2t ( 4, 1, 0)= (0, 5, 5)+ t(2, 3, 2) 1= 5 3t 0= 5+2t t= 2 t= 2 t= 2,5 Eftersom t inte samtidigt kan vara både 2 och 2,5 är svaret nej, P ligger inte på linjen. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? (b) Ligger P iπ? Motivera. Sätt in P:s koordinater iπ:s ekvation: =7 1 Ekvationen uppfylls ej, så nej, P ligger inte i planet. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? Se till att det framgår om svaret är ja eller nej. 2 Vi har vektorerna u=( 2, 1) och v=(2, 6) (angivna i samma ON-bas). Dela upp v i en komposant parallell med u och en vinkelrät mot u.

17 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 2 (av 6) Den parallella delen får vi med projektionsformeln: v 1 = proj u v= v u u (2, 6) ( 2, 1) u= 2 ( 2, 1) 2 ( 2, 1)= 10 ( 2, 1)=(4, 2) 5 Den vinkelräta delen får vi genom att dra bort den parallella delen: v 2 = v v 1 = (2, 6) (4, 2)=( 2, 4) Uppgiften kan också lösas grafiskt: v v 2 v 1 Svar: v=(4, 2)+ ( 2, 4) u Rättningsnorm: 1p för vardera komposanten. (Poäng för v 2 på korrekt sätt beräknad ur v och v 1, även om v 1 är felräknad.) 3 Vi har de komplexa talen z=3 i och w= 4+i. Beräkna (a) z w (3 i)( 4+i)= 12+3i+4i i 2 = 11+7i Rättningsnorm: Inget avdrag för rena räknefel. i 2 = 1 måste dock vara korrekt. (b) z w 3 i 4+i = (3 i)( 4 i) ( 4+i)( 4 i) = 12 3i+4i+i2 = 13+i = i i Rättningsnorm: Inget avdrag för rena räknefel. Båda de sista varianterna av talet godtas. Svaren ska ges på rektangulär form. 4 Skalärprodukt och vektorprodukt är båda räknesätt som påminner om multiplikation, men där faktorerna är vektorer. Det både likheter och skillnader på de två räknesätten. (a) Säg något (räkneregel, princip, problemlösningsmetod) som fungerar precis likadant för skalärprodukt och vektorprodukt. T.ex. distributiva lagen, utbrytning av skalär, multiplikation med nollvektorn ger noll(vektor) som svar. (b) Säg något som inte fungerar likadant för skalärprodukt och vektorprodukt.

18 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 3 (av 6) T.ex. kommutativa lagen. Rättningsnorm: Svar som man inte förstår om de hör till (a) eller (b) ges 0p. Om mer än ett svar ges måste mer än 50% av de givna svaren vara korrekta för poäng. 5 Vi har linjerna l 1 : (x, y, z)=(1, 7, 6)+t(3, 2, 2) l 2 : (x, y, z)=( 2, 5, 5)+t(1, 4, 3) (angivna i samma ON-system). Bestäm avståndet mellan dem. Vi döper om parameterarna till t 1 och t 2 och identifierar de punkter Q 1 och Q 2 på linjerna som ligger närmast varandra. De måste uppfylla Q1 Q 2 r 1 = 0 Q1 Q 2 r 2 = 0 där r 1 och r 2 är linjernas riktningsvektorer. Med siffror insatta: Q1 Q 2 = ( 2+t 2, 5+4t 2, 5+3t 2 ) (1+3t 1, 7 2t 1, 6+2t 2 ) = ( 3 3t 1 + t 2, 2+2t 1 + 4t 2, 11 2t 1 + 3t 2 ) Q1 Q 2 r 1 = ( 3 3t 1 + t 2 ) 3+(2+2t 2 + 4t 2 ) ( 2)+ ( 11 2t 1 + 3t 2 ) 2 = 17t 1 + t 2 35=0 Q1 Q 2 r 2 = ( 3 3t 1 + t 2 ) 1+(2+2t 2 + 4t 2 ) 4+( 11 2t 1 + 3t 2 ) 3 = t t 2 28=0 Ihopsatt till ett linjärt ekvationssystem: 17t 1 + t 2 = 35 t t 2 = 28 t 1 = 2 t 2 = 1 Då är Q1 Q 2 = ( 3 3( 2)+1, 2+2( 2)+4 1, 11 2( 2)+3 1)=(4, 2, 4) och det sökta avståndet Q 1 Q 2 = ( 4) 2 = 36=6 l.e. (Alternativ lösningsmetod är att beräkna projektionen av vektorn mellan linjernas utgångspunkter på vektorprodukten av deras riktningsvektorer.) Rättningsnorm: Påbörjad lösning enligt fungerande metod: 1p. Kommit ända till svar: ytterligare 1p. Inget avdrag för räknefel, om principerna är rätt. (Som principfel räknas att utelämna parentesen runt 4 i normberäkningen, och få det hela till 4.) B-del 6 PlanetΠ 1 har ekvationen x+y+1=0. Skärningslinjen mellanπ 1 och planetπ 2 ärl : (x, y, z)=( 2, 1, 3)+t(1, 1, 1). Vinkeln mellanπ 1 ochπ 2 är 60. Bestäm den parameterfria ekvationsformen förπ 2. (ON-system.) (4p)

19 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 4 (av 6) För att ta fram ett plan behöver vi dess normalriktning och en punkt i planet. En punkt har vi, skärningslinjens utgångspunkt måste tillhöraπ 2. Vi kallar den sökta normalvektorn n 2. Vi har också linjens riktningsvektor r=(1, 1, 1) ochπ 1 :s normalvektor n 1 = (1, 1, 0). Skärningslinjen ligger iπ 2 och måste därför vara vinkelrät mot n 2. Vi vet alltså n 2 r=0 n 1 n 2 n 1 n 2 = cos 60 = 1 2 En vektor i 3D har 3 koordinater, och 2 ekvationer är inte tillräckligt för att bestämma den entydigt. Men vi skulle kunna bestämma t.ex. att vi söker en normalvektor som också är en enhetsvektor. Ger n 2 =1, vilket är lätt att räkna med. n 1 = = 2. Om vi sätter n 2 = (a, b, c) har vi a b c= 0 a+b= 2/2 a 2 + b 2 + c 2 = 1 Om vi struntar i sista ekvationen så bildar de två första ett linjärt ekvationssystem, och Gauss-jordan ger a= 2/4+ s/2 b= 2/4 s/2 c= s Detta insatt i den sista ekvationen ger ( s 2 2 )2 + ( 4 s 2 )2 + s 2 = 1 s 2 = 1 2 s=± 1 2 Tittar man på problemet geometriskt inser man att det rimligen måste finnas två olika svar (är 60 -vinkeln till vänster eller till höger om skärningslinjen?), så det här ser vettigt ut. Insatt får vi de två svarsalternativen n 2 = ( 2 2, 0, 2 2 ) n 2= (0, 2 2 2, 2 ) För att förenkla beräkningarna kan vi nu slopa det där med enhetsvektor och skala om normalvektorerna till (1, 0, 1) respektive (0, 1, 1). Givet den ingående punkten P 0 : ( 2, 1, 3) blir de två förslagen påπ 2 (1, 0, 1) (x+2, y 1, z 3)=0 eller uträknat x+z 1=0 respektive (0, 1, 1) (x+2, y 1, z 3)=0 eller y z+2=0. Rättningsnorm: Poäng ungefär efter hur stor andel av lösningen man har åstadkommit. Full poäng även om man inte hittat båda svaren, men observationen att det finns två svar ger 1p även om man inte kommit längre än så. 7 Beräkna determinanten för nedanstående matris: A= (Det går bra att svara med ett aritmetiskt uttryck, som (1 + 2) ( ).) (4p)

20 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 5 (av 6) Att lägga en rad eller en kolumn till en annan påverkar inte determinantens värde. Vi kan till att börja med använda 1:a kolumnen för att snygga upp 1:a raden: = = Vi kan använda den nya 1:a kolumnen för att snygga upp den nya 1:a raden: = = Vi kan nu förenkla räkningarna lite genom att förenkla 1:a raden med hjälp av sista, och ta in minustecknet: = = Nu har vi = 0 ( 2) = 2( )+19( )=6766 (2) (Uträkningen kan genomföras på massor av andra sätt.) Anm. Siffrorna i matrisen är 2 med 24 decimaler. Rättningsnorm: En korrekt genomförd åtgärd som leder mot svaret: 1p. Två olika korrekta åtgärder: 2p. (Att som i lösningsförslaget snygga upp kolumn 2 5 med hjälp av kolumn 1 räknas som en åtgärd, inte som fyra.) Tre eller fler olika korrekta åtgärder, utan att nå svaret: 3p. Kommit till svar: 4p. Inga avdrag för rena räknefel, men teckenhantering vid utvecklingar måste vara korrekta. (1) 8 Det är alltså bara kvadratiska matriser som kan ha invers, och du ska nu få förklara varför. Dels ingår i definitionen av invers att AB ska bli lika med BA, och detta är bara möjligt om matriserna är kvadratiska. (Tar man en icke-kvadratisk matris A med storlek m n och multiplicerar med en n m-matris B blir AB av storlek m m och BA av storlek n n, och matriser av olika storlek kan inte vara lika.) Men dessutom ingår att båda produkterna ska bli enhetsmatrisen. Det går ofta att till en matris A hitta en matris B sådan att den mindre av AB och BA blir en enhetsmatris. Men det är omöjligt att få den större av dem att bli det. (a) Visa att om A är en 3 1-matris och B en 1 3-matris så kan AB inte bli enhetsmatrisen. (b) Visa samma sak då A är en 3 2-matris och B en 2 3-matris.

21 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 6 (av 6) (a) Om vi sätter A= [ a b c ]T och B= [ d e f ] får vi ad ae a f AB= bd be b f cd ce c f Om detta ska vara enhetsmatrisen måste element (1, 2), dvs. ae, vara noll. Om ae=0 måste (enligt nollfaktorlagen) a=0 eller e=0. Om a=0 blir hela rad 1 fylld med nollor, och den ska ju ha en etta i första positionen. Och om e=0 blir istället hela kolumn 2 fylld med nollor, och det fungerar inte heller. Så sätter man nollor där det ska vara nollor kan man inte samtidigt få ettor där man vill ha ettor. Så det går inte att få fram enhetsmatrisen. Vilket Skulle Visas. Rättningsnorm: 1p för användbar ansats, 1p för resonemang. (b) Nu får vi sätta a A= c e b c f B= g h i j k l vilket ger att ag+b j ah+bk ai+bl AB= cg+d j cg+dk ci+dl eg+ j f eh+ f k ei+ f l Om man tittar på första kolumen så innehåller den ett antal gemensamma faktorer. Man skulle kunna skriva den som a b g c + j d e f Man kan se den som en linjärkombination av de två vektorerna (a, c, e) och (b, d, f ), skrivna på höjden. På samma sätt kan även de andra två kolumnerna ses som linjärkombinationer av samma två vektorer. Det vi vill linjärkombinera fram är kolumnerna i enhetsmatrisen: (1, 0, 0), (0, 1, 0) och (0, 0, 1). De tre vektorerna är linjärt oberoende, de pekar åt olika håll i rummet. Med hjälp av två vektorer går det bara att linjärkombinera fram ett plan, man kan inte komma ut i 3D. Så det går inte att få fram alla tre önskade kolumnerna. Rättningsnorm: Ingen poäng för ansatsen den här gången den poängen lär man redan fått på (a). 1p för någon användbar observation, 2p om man har ett fullständigt resonemang.

22 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN3 Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 14 poäng. 0 9 poäng: U poäng: G poäng: VG. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1 Vi har nedanstående matriser: A= B= (a) Beräkna AB AB= Rättningsnorm: Inget avdrag för räknefel om man kan se att principen är korrekt. (b) Beräkna det A det B det A det B=det(AB)= = 1 ( 2) 3= Det är också tillåtet att beräkna det A = 1, det B = 6 och multiplicera ihop svaren. Rättningsnorm: Inga avdrag för räknefel, däremot vid teckenfel i utveckling av determinant. (Om man kör den längre uträkningen och hanterar tecknen rätt i den ena delberäkningen ges inget avdrag för enstaka teckenfel i den andra.) 2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: 2x 7y+5z= 4 x 5y+2z= 0 x y 4z= 7 Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen x=..., y=..., z=... eller bestå av ordet olöslig.

23 MAA123 Tentamen TEN3 Lösning Sida 2 (av 5) Gauss-Jordan ger Olöslig! Rättningsnorm: Inget avdrag för räknefel, men svaret man ger ska vara konsistent med den matris man har kommit till. (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. Enligt nedersta raden ska 0x + 0y + 0z = 1. Några sådana tal finns inte! Rättningsnorm: Har man räknat fel så att man fått ett svar så ska detta sättas in i alla tre ekvationerna. Detta kommer att visa att svaret är fel. Kommentaren Jag har visst räknat fel ger då poäng, olösligt gör det inte. 3 (a) Om man säger att vektorn v har koordinaterna (a, b, c) i basen B={u 1, u 2, u 3 }, exakt vad menar man med det? Att v=au 1 + bu 2 + cu 3. Rättningsnorm: Jag tror inte att det finns andra vettiga svar på denna fråga. (b) Om man säger att punkten P har koordinaterna (a, b, c) i det koordinatsystem som definieras av basen B={u 1, u 2, u 3 } och punkten O, exakt vad menar man med det? Att vektorn som kan representeras med den riktade sträckan från O till P har koordinaterna (a, b, c) i den betydelse de hade i (a)-uppgiften. Rättningsnorm: Här kan formuleringen variera en del. Ortvektorn för v har de koordinaterna godtas. 4 Matrisen X uppfyller X = Vad är X? För att måtten ska stämma måste X vara 2 2. Sätt X= a b c d Insatt i ekvationer har vi då a b c d = a+2b 3a+5b 2a 3b c+2d 3c+ 5d 2c 3d =

24 MAA123 Tentamen TEN3 Lösning Sida 3 (av 5) vilket ger ekvationssystemet a+2b = 0 3a+5b = 11 2a 3b = 7 c+2d= 3 3c+5d= 9 2c 3d= 6 Kan lösas med Gauss-Jordan som två system med samma koefficientmatris men olika högerled: Svaret är X= Rättningsnorm: 1p för konstruktiv början, 1p till om man kommer till svar. Inga avdrag för rena räknefel. (Den troligast följden av ett sådant är att ekvationssystemet förefaller inkonsistent. En förklaring till varför lösning inte finns ger då poäng.) Var god vänd!

25 MAA123 Tentamen TEN3 Lösning Sida 4 (av 5) 5 Nedanstående bild innehåller representanter för vektorerna u och v. Rita av den på ditt skrivpapper. u v Illustrera hur man tar fram en representant för (a) u+v (b) v u OBS! Lösningen ska vara grafisk. Det ska alltså inte finnas med någon beräkning, utan det ska framgå hur man med enbart penna och linjal tar fram en bild av svaret. Se också till att det framgår vad som är svaret! (b) v u v u (a) v u (b) Det finns två rimliga lösningar på (b): v+( u) och grafisk lösning av ekvationen v u= x u+x=v. Rättningsnorm: Det måste alltså framgå hur man får fram svaret och vad svaret är. Vid konsekvent fel (rätt svar men inget hur eller utelämnade pilspetsar eller liknande) ges 1p på uppgiften. 6 Här har vi en lista på ett antal räkneregler. En del av dem är korrekta, andra är felaktiga. (En regel är korrekt om den alltid gäller.) Ange för varje regel om den är rätt eller fel. (a) (A+B) 1 = A 1 + B 1 (±0, 4p) (b) (A+B) T = A T + B T (±0, 4p) (c) (AB) T = B T A T (±0, 4p) (d) (AB) 1 = B 1 A 1 (±0, 4p) (e) (A 1 ) T = (A T ) 1 (±0, 4p) A och B är matriser, och deras storlekar är sådana att operationerna är möjliga att genomföra. Motivering behövs ej. Obs! Ett felaktigt svar ger minuspoäng. Totalpoängen för uppgiften blir dock aldrig lägre än noll, och avrundas till heltal.

26 MAA123 Tentamen TEN3 Lösning Sida 5 (av 5) Den första regeln är felaktig, de följande fyra är korrekta. Rättningsnorm: Svar som man inte kan förstå vilken deluppgift de hör till och svar som man inte kan tolka ges 0p. 7 Vi har vektorerna u=(5, 0, 3), v=(7, 2, 9) och w=( 2, 0, 4) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera! De är oberoende om och endast om det enda sättet att linjärkombinera fram nollvektorn ur dem är att multiplicera allihop med noll. au+bv+cw=0 ger det homogena ekvationssystemet 5a+7b 2c=0 2b = 0 3a 9b+4c=0 Det har entydig lösning (som då är den trivial lösningen sätt allt till noll ) om och endast om koefficientmatrisen är inverterbar (annars har det oändligt många lösningar). Inverterbarhet kan kontrolleras med determinant: = =2( 5 4 ( 2) 3 ) = 52 0 Koefficientmatrisen är inverterbar, ekvationssystemet har entydig lösning, vektorerna är linjärt oberoende. (Man kan också lösa ekvationssystemet, och bryta arbetet så fort man ser att det bara har en lösning.) Rättningsnorm: För 2p måste resonemanget klart framgå. (Att t.ex. bara räkna determinant utan kommentarer ger 1p. Om man skrivit någonting som kan tolkas som en referens till sats 5.4 i boken är det OK).

27 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN3 Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 14 poäng. 0 9 poäng: U poäng: G poäng: VG. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1 Vektorn u har koordinaterna ( 12, 3, 4) i en ON-bas. Vektorn v har normen 3 och är riktad åt motsatt håll mot u. Vilka koordinater har v? Normera u och multiplicera med den önskade normen. Lägg på minus för att vända pilen: v= 3 1 u u= 3 1 ( 12) ( 4) ( 12, 3, 4)= (12, 3, 4) Rättningsnorm: Rätt formel: 1p, rätt svar: 1p. Poängavdrag vid felhantering av minustecken i normberäkningen, eller omformulering av Pythagoras sats till summan av kateterna är hypotenusan. 2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x+ 5y+2z= 5 2x 10y 3z= 6 x 5y 4z= 13 Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen x=..., y=..., z =... eller bestå av ordet olösligt. Gauss-Jordan: ; x= 3 5y z= x= 3 5t, y=t, z=4. Rättningsnorm: Inget avdrag för enstaka räknefel, men svaret ska framgå i klartext och vara konsistent med beräkningen. (b) Visa att det du fått fram verkligen är en lösning. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det.

28 MAA123 Tentamen TEN3 Lösning Sida 2 (av 5) Sätt in lösningsförslaget i samtliga ekvationer: VL 1 = ( 3 5t)+5t+2 4= 3 5t+ 5t+8=5=HL 1 VL 2 = 2( 3 5t) 10t 3 4=6+ 10t 10t 12= 6=HL 2 VL 3 = ( 3 5t) 5t 4 4=3+ 5t 5t 16= 13=HL 3 Rättningsnorm: Svaret ska testas i samtliga ekvationer, med parameter. Om ett räknefel gjort att man fått ett svar som inte passar in så ger jag har visst räknat fel poäng. Om räknefel gjorde att systemet såg olösbart ut så ges poäng för korrekt förklaring av detta. 3 Vi har här två matriser: A= B= Är B invers till A? Motivera! Multiplicera matriserna med varandra och se om det blir enhetsmatrisen, eller invertera A och se om det blir B, eller invertera B och se om det blir A. Det blir det, så svaret är Ja. Rättningsnorm: Valt fungerande metod: 1p. Svar i klartext, konsistent med resultatet av beräkningen: 1p. Inget avdrag för enstaka räknefel (som förmodligen leder till svaret nej.) 4 (a) Om man säger att ett ekvationssystem är underbestämt, exakt vad menar man med det? (Vi söker själva definitionen.) Att man har färre ekvationer än obekanta. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? (b) Om man säger att ett ekvationssystem är konsistent, exakt vad menar man med det? (Vi söker själva definitionen.) Att det är lösbart/ att det inte innehåller motsägande information. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? 5 Vi har vektorerna u=(5, 3, 1), v=(7, 2, 0) och w=( 3, 8, 2) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera! Vektorerna är linjärt oberoende om och endast om enda lösningen till au + bv + cw = 0 är a = b = c = 0. Detta ger det homogena ekvationssystemet 5a+7b 3c= a 0 3a+2b+8c= b = 0 a 2c= c 0

29 MAA123 Tentamen TEN3 Lösning Sida 3 (av 5) Ekvationssystemet har entydig lösning om och endast om determinanten för koefficientmatrisen är skild från noll. Undersök: = ( 2) = =0 Så det är inte entydig lösning, och då är vektorerna inte oberoende. Rättningsnorm: Fungerande metod: 1p. Kommit till svar ( ja eller nej ) konsistent med resultatet: 1p. Poängavdrag för teckenfel i determinantberäkning men inte för andra räknefel. (Eftersom detta är en direkt tillämpning av sats 5.4 i boken behövs ingen utförlig motivering.) 6 Vi har matriserna A= 3 0 B= 1 0 C= Matrisen X uppfyller AXB=C Vad är X? Metod 1: Sätt X= x y z w vilket ger AXB= 3x 2z vilket ger 3x= 0 12y= 24 2z= 6 8w= 8 12y 8w = = C x= 0 y= 2 z= 3 w= 1 Metod 2: A och B är lätta att invertera; A 1 1/3 0 = 0 B 1 = /2 0 1/4 Utnyttja inverserna: AXB=C A 1 AXBB 1 = A 1 CB 1 IXI=A 1 CB 1 AX=A 1 CB 1 1/3 0 = / = 0 1 / Rättningsnorm: Valt en fungerande metod, och kommit så långt med den att det går att se hur den var tänkt att genomföras: 1p. Kommit vidare till rätt svar: 1p. Bara 1p på uppgiften om man i metod 2 satt in inverserna på fel ställen.

30 MAA123 Tentamen TEN3 Lösning Sida 4 (av 5) 7 Denna uppgift ska lösas på sista bladet av skrivningen. Pappret ska rivas av och lämnas in med de övriga lösningspappren.

31 Kod: Code Kurskod: Course code Bladnr: Page nr Uppgift nr: Task nr Kursnamn: Course title 7 Detta blad ska rivas av och lämnas in tillsammans med de andra lösningspappren. Ett koordinatsystem definieras med hjälp av basen{u 1, u 2 } och punkten O (origo), illustrerade nedan. Markera i bilden de punkter som har de angivna koordinaterna i koordinatsystemet ifråga: (a) P 1 : (2, 1) (b) P 2 : ( 1, 3) (c) P 3 : ( 1, 0) (2/3p) (2/3p) (2/3p) Se till att det framgår vilken markerad punkt som är vilken! x P 1 1 y u 1 O 1 P 3 u 2 P 2 Vektormässigt har vi koordinaterna för OP1, OP2 och OP3 i basen{u 1, u 2 }. Dessa ortsvektorer är inritade i rött, punkterna sitter i pilspetsen. Exempelvis är OP1 = 2u 1 + 1u 2. Vill vi se det mer koordinatsystemmässigt så ger O axelkorsningen, medan vektorerna pekar ut axelriktingarna och anger gradering. Axlarna är inritade i blått. Den axel som pekas ut av u 1 är första koordinataxeln, som standardmässigt brukar betecknas x. P 1 ligger då 2 steg utmed x-axeln, 1 steg utmed y-axeln. Rättningsnorm: Vid ett konsekvent fel (som går att förstå), som att ha tagit u 2 först, ges 1p totalt på uppgiften.

32 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Del A ger maximalt 10 poäng. Del B ger maximalt 12 poäng. För betyg 3 fordras minst 6 poäng varav minst 5 från A-delen. För betyg 4 fordras minst 11 poäng varav minst 5 från A-delen och minst 3 från B-delen. För betyg 5 fordras minst 17 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. A-del 1 Vi har planetπ : 2x+3y 4z=12. Ta fram ett parameteruttryck förπ. Du kan förutsätta ON-system. För parameterform behöver vi en punkt i planet, och två vektorer parallella med det. Variant 1: Om vi har tre punkter i planet kan vi ta fram vektorerna ur dem. Vi behöver alltså tre olika lösningar till planets ekvation. P 1 : (x, y, z)=(6, 0, 0), P 2 : (x, y, z)=(0, 4, 0) och P 3 : (x, y, z)=(0, 0, 3) uppfyller ekvationen (och är lätta att hitta). Som riktningsvektorer kan vi ta P 1 P 2 = ( 6, 4, 0) och P 1 P 3 = ( 6, 0, 3), vilket (med P 1 som utgångspunkt) ger parameteruttrycket Π : (x, y, z)=(6, 0, 0)+ s( 6, 4, 0)+ t( 6, 0, 3) Variant 2: Riktningsvektorerna ska vara vinkelräta mot planets normal, som (om vi förutsätter ON-system) är n = (2, 3, 4). Vinkelräta vektorer har skalärprodukt noll, och vi kan med huvudräkning försöka hitta några saker som ger det resultatet. u=(3, 2, 0) och v=(0, 4, 3) fungerar, ger (även här med P 1 som utgångspunkt): Π : (x, y, z)=(6, 0, 0)+ s(3, 2, 0)+ t(0, 4, 3) Det finns givetvis oändligt många lika korrekta svar! Variant 3: Hantera det som ett vanligt ekvationssystemproblem. (Att systemet bara består av en enda ekvation förändrar inte principen.) x=6 2x+3y 4z=12 x=6 3 2 y+2z 3 2 s+2t y= s z= t vilket kan skrivas om till (x, y, z)=(6, 0, 0)+ s( 3 2, 1, 0)+ t(2, 0, 1). Rättningsnorm: Helt korrekt svar: 2p. Gjort någonting konstruktivt (t.ex. letat punkter eller vektorer vinkelräta mot normalen) men inte kommit till svar: 1p. Inga avdrag för rena räknefel, om man förstår hur det var tänkt.

33 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 2 (av 7) 2 En triangel har hörn i punkterna P : ( 2, 5, 1), Q : ( 1, 1, 2) och R : (1, 9, 2). Bestäm triangelns area. (ON-system) Vi har: Area= basen höjden 2 = sida 1 sida 2 sin(vinkel) 2 Även vektorprodukt tas fram ur storlek storlek sin(vinkel), och går lätt att få fram. u= PQ=( 1, 1, 2) ( 2, 5, 1)= (1, 4, 1) v= PR=(1, 9, 2) ( 2, 5, 1)=(3, 4, 1) u v=(1, 4, 1) (3, 4, 1)= =( 8, 2, 16) u v = ( 8, 2, 16) = 2( 4, 1, 8) = 2 ( 4) = 2 81=2 9 Triangelns area erhålls då resultatet halveras: Svar: 9 a.e. Rättningsnorm: Kommit igång med beräkningen: 1p. Kommit ända till svar: 2p. Bara 1p vid räknefel i vektorprodukten (eftersom svaret är lätt att kolla), inga avdrag för andra typer av räknefel. 3 (a) Skriv talet z = 6 6i på polär form. Inspektion i komplext talplan ger att arg z= 5π 4 (eller 3π 4, om man föredrar det principala argumentet). Pythagoras sats ger z = ( 6) 2 + ( 6) 2 = 2 36=6 2. Svar: z=6 2(cos 5π 4 + i sin 5π 4 ) Rättningsnorm: Måste vara helt rätt för poäng. (b) Skriv talet w = 5(cos π + i sin π) på rektangulär form. w=5( 1+ i 0)= 5+0i= 5 Rättningsnorm: Måste vara helt rätt för poäng. Både 5+0i och 5 godtas. 4 (a) Rita en bild som visar vad som menas med ortogonala projektionen av vektorn v på vektorn w, proj w v. Se till att det klart framgår vilken vektor som är vilken! v w proj w v Rättningsnorm: Det ska gå att förstå vilken vektor som är vilken, och bilden ska föreställa projektionen på w och inte på v. (b) Med vilken formel kan man beräkna proj w u? (Motivering behövs ej.)

34 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 3 (av 7) proj w v= v w v w w= w 2 w w w Rättningsnorm: Båda formlerna går lika bra, men ska vara helt rätt i övrigt. Har man ritat proj v w på (a) får formel för detta poäng här. 5 Vi har linjenl : (x, y, z)=( 8, 13, 4)+t(3, 2, 2) och planetπ : 2x+6y+ 3z= 8. Om linjen skär planet, bestäm vinkeln mellan dem. Bestäm i annat fall avståndet. (ON-system) Skalärprodukten av riktningvektorn och normalvektor behövs i vinkelbestämning, och talar också om ifall de är parallella: r n=(3, 2, 2) (2, 6, 3)=3 2+( 2) 6+2 3=6 12+6=0 Linjen och planet är parallella, så det är avståndet som söks. Alla punkter pålligger på samma avstånd frånπ, så vi kan se hur långt bort utgångspunkten P 0 ligger. Ta någon punkt Q som uppfyller planets ekvation, t.ex Q = ( 4, 0, 0). Längden av QP0 :s projektion på n ger den sökta sträckan. QP 0 = ( 8, 13, 4) ( 4, 0, 0)= ( 4, 13, 4) proj n QP0 = QP 0 n n = ( 4, 13, 4) (2, 6, 3) (2, 6, 3 = = 98 7 = 14 =14 l.e. (Man kan också gå i normalvektorns riktning från P 0 tills man nårπ.) Rättningsnorm: Identifierat vilket problem som ska lösas, men inget mer: 0p. Påbörjat en fungerande lösning: 1p. Avslutat en fungerande lösning: 2p. Var god vänd!

35 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 4 (av 7) B-del 6 Lös nedanstående ekvationssystem för alla reella talλ: λx+2λy 4z=λ 2 2x 3y+(2λ+6)z= 3 x 2y+ λz= 0 (Eftersom det inte är möjligt att ta fram sifferlösningar för alla oändligt många värden somλkan ha är det inget fel om man får formler innehållandeλ som svar.) (4p) Lika många ekvationer som obekanta, så det är troligen entydig lösning (som då beror påλ). Men det kanske finns några värden påλsom gör att det händer något annat. Vi får räkna, och noga tänka efter. Det verkar enklare att byta översta och understa ekvationen med varandra: x 2y+ λz= 0 2x 3y+(2λ+6)z= 3 λx+2λy 4z=λ 2 Eliminera x i kolumn 1: x 2y+ z= 0 y+ 6z= 3 (λ 2 4)z=λ 2 (1) Ledande 1:a i rad 2 med 0:a under färdigserverad. Men nu då? För att få ledande 1:a i rad 3 behöver vi dividera medλ 2 4. Om detta tal är noll går detta inte att göra. Så vi måste specialbehandla de fallen.λ 2 4=0 gerλ=±2. Undersök dessa alternativ: Sätt inλ= 2: (1) : Detta är olösligt. x 2y+ z= 0 y+6z= 3 0z= 4 Sätt inλ=2: x 2y+ z=0 (1) : y+6z=3 0z=0 Nedersta raden försvann, att 0z ska bli 0 uppfylls ju automatiskt. Eliminera y ur översta ekvationen: x=6 10t x + 10z=6 x=6 10z y= 3 6t y+ 6z=3 y= 3 6z z= t Omλ ±2 kan vi dividera medλ 2 4, och får x 2y+ z=0 (1) : y+6z=3 z= λ 2 λ 2 4 = 1 λ+2