2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt. TEN4 Datum: 7 augusti 05 Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Inga Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN6 eller alternativt (det äldre) TEN4. Provet består av fem stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 4 poäng. För godkänd-betygen 3, 4, och 5 krävs erhållna poängsummor om minst 9, 3 respektive 7 poäng. Om den erhållna poängen benämns S b, och den vid tentamen TEN5/TEN3 erhållna S a, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S a, S b 9 och S a + S b 4 3 S a, S b 9 och 4 S a + S b 53 4 S a + S b 54 5 Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i.. Bestäm avståndet mellan planen π : x 3y 4z + 5 = 0 och π : (x, y, z) = (r s, 3r s, r + s). Ekvationerna för planen är givna i ett HON-system.. Lös ekvationen z i = z + och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. 3. Bestäm en ekvation för den linje λ som innehåller skärningspunkten mellan linjerna { λ : (x, y, z) = ( 3 + t, 5 + 4t, 3t), λ : (x, y, z) = ( + t, 9 t, t), och som är vinkelrät mot var och en av dem. (HON-system) 4. Bestäm de matriser X som löser ekvationen X = Vektorerna e, e, e 3 utgör en bas. Bestäm de värden på β som innebär att de två vektorerna 3e + (β + )e + (β )e 3 och βe + e + ( β)e 3 är parallella. Ange även i respektive fall av parallellitet explicit den relation som råder mellan vektorerna.

2

3

4

5 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson Tentamen TEN6 / TEN TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 04/5 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 5. Avstånd (, ) l.e p: Korrekt, på ett eller annat sätt, konstaterat (visat) att de 6 två planen är parallella, och utifrån detta korrekt insett att avståndet dem emellan är detsamma som avståndet mellan det ena planet och en godtycklig punkt i det andra p: Korrekt bestämt en vektor u som kan representeras av den riktade sträckan P P där P är en punkt i planet och P är en punkt i planet, samt korrekt bestämt ett uttryck för den ortogonala projektionen av u på en normalvektor n till planen (allt i syfte att kunna bestämma avståndet mellan planen) p: Korrekt beräknat den ortogonala projektionen av u på n p: Korrekt beräknat det sökta avståndet som längden av den ortogonala projektionen av u på n. z i, dvs en cirkel med medelpunkten i och radien 3. : ( x, y, z) (,3, 5) t (0,,8) t R p: Korrekt ansatt z som x iy, där x, y R, och sedan korrekt tolkat ekvationen som ekvivalent med ekvationen x ( y ) ( x ) y p: Korrekt omskrivit ekvationen till en mer tolkningsbar form, dvs till ( x ) ( y ) z i p: Korrekt deltolkat ekvationen som en cirkel med radien p: Korrekt deltolkat ekvationen som att cirkeln har medelpunkten i, samt korrekt i det komplexa talplanet skissat cirkeln p: Korrekt bestämt koordinaterna för skärningspunkten mellan och p: Korrekt från ekvationerna för de två linjerna tolkat vad som är vektorer parallella med linjerna, samt korrekt utifrån valda vektorer bestämt en vektor v som är vinkelrät mot både och p: Korrekt formulerat en ekvation för linjen ()

6 4. 0 Scenario p: Korrekt visat att matrisen A i den givna ekvationen AX B är inverterbar, och korrekt utifrån detta dragit slutsatsen att matrisroten X är entydig p: Korrekt bestämt inversen till matrisen A p: Korrekt bestämt uttrycket för matrisroten X till A B p: Korrekt beräknat matrisroten A B Scenario p: Korrekt noterat att varje matrisrot X till ekvationen är av typ 3, korrekt ansatt elementen i en sådan matrisrot, och korrekt initierat ett lösningsförfarande med en utökad koefficientmatris på formen ( A B) (här skrivet som en blockmatris) 3p: Korrekt löst ekvationen genom att genomföra de Gausseliminationer som kan sammanfattas enligt ( A B) ~ ~ ( I A B), och sedan korrekt tolkat den högra delen av blockmatrisen som den enda rot X som ekvationen har 5. Vektorerna är parallella om ( 3) ( ) Om 3 så är u v och om så är u 3v, där u och v är den första respektive den andra av de två givna vektorerna p: Korrekt formulerat en testekvation u kv för huruvida de två givna vektorerna är parallella, och sedan korrekt utifrån att vektorerna e, e, e3 utgör en bas och därmed är linjärt oberoende dragit slutsatsen att alla de tre koefficienterna i en sortering m.a.p. e, e, e3 måste vara lika med noll p: Korrekt från det uppkomna ekvationssystemet dragit slutsatsen att om och endast om 3 eller så är den första vektorn parallell med den andra p: Korrekt i de två fallen sammanfattat relationerna mellan vektorerna ()