Vektorgeometri för gymnasister
|
|
- Gunilla Nyström
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II
2 Innehåll Räta linjens ekvation repetition Planets ekvation på parameterform Planets ekvation på normalform Normalformen i ortonormerade system 21 januari (21)
3 Räta linjens ekvation repetition I ett givet koordinatsystem (O,e x,e y,e z ) för rummet gäller att varje rät linje kan framställas på parameterform x = x 0 + tα y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ. Detta är ekvationen för den räta linje som går genom punkten P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) och somharvektornv = (α, β, γ)soms.k.riktningsvektor. Analogt ges ekvationen på parameterform för en linje i planet som { x = x0 + tα y = y 0 + tβ. P 0 v 21 januari (21)
4 Vi återger resonemanget för hur man kan härleda ekvationen på parameterform för en rät linje i rummet: Låt ett koordinatsystem (O,e x,e y,e z ) för punkterna i rummet vara givet. För att entydigt kunna bestämma en linje L i rummet, behöver vi känna till en punkt P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) på L en riktningsvektor v = (α, β, γ) 0 för L. En punkt P = (x,y,z) ligger på L, om och endast om P 0 P = tv för något t. Ekvationen P 0 P = tv blir (x x 0,y y 0,z z 0 ) = (tα,tβ,tγ) på koordinatform. Vi jämför koordinat för koordinat och får räta linjens ekvation på parameterform: x = x 0 + tα y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ. P 0 P P 0P När vi härnäst ska härleda ekvationen för ett plan i rummet, kommer vi resonera på ett liknande vis. 21 januari (21) v L
5 Planets ekvation på parameterform För att kunna lokalisera ett plan i rummet, behöver vi känna till En punkt P 0 som ligger i planet Två vektorer v 1 och v 2 som båda är parallella med planet, men inte med varandra (vi säger att v 1 och v 2 spänner upp planet). Låt P vara en godtycklig punkt i rummet. Då ligger P i planet, om och endast om vektorn P 0 P kan skrivas som en linjärkombination av v 1 och v 2, d.v.s. det ska finnas reella tal t 1 och t 2 sådana att P 0 P = t 1 v 1 +t 2 v 2. v 2 P 0 v 1 P 0 P P 21 januari (21)
6 Vi inför ett koordinatsystem (O,e x,e y,e z ) för rummets punkter (inte nödvändigtvis ortonormerat). Antag vi i detta koordinatsystem har P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) och P = (x,y,z), samt att v 1 = (α 1, β 1, γ 1 ) och v 2 = (α 2, β 2, γ 2 ). Ekvationen P 0 P = t 1 v 1 +t 2 v 2 blir då på koordinatform (x x 0,y y 0,z z 0 ) = t 1 (α 1, β 1, γ 1 ) +t 2 (α 2, β 2, γ 2 ) = (t 1 α 1 +t 2 α 2,t 1 β 1 +t 2 β 2,t 1 γ 1 +t 2 γ 2 ). Jämför vi koordinat för koordinat så får vi planets ekvation på parameterform: x = x 0 + α 1 t 1 + α 2 t 2 y = y 0 + β 1 t 1 + β 2 t 2 z = z 0 + γ 1 t 1 + γ 2 t 2. Vi kallar t 1 och t 2 för parametrar. När t 1 och t 2 genomlöper alla reella tal, kommer P = (x,y,z) att genomlöpa alla punkter i planet, och inga andra. 21 januari (21)
7 Exempel Planet med ekvationen x = 1 + 3t 1 3t 2 y = 3 2t 1 + 2t 2 z = 2 + t 1 5t 2 innehåller punkten P 0 = ( 1,3,2) och spänns upp av vektorerna v 1 = (3, 2,1) och v 2 = ( 3,2, 5) (som vi noterar inte är parallella). Ligger någon av punkterna P = (5, 1, 0) eller Q = (1,2,1) i detta plan? Lösning. Om P ligger i planet, måste det finnas värden på t 1 och t 2 så att 5 = 1 + 3t 1 3t 2 3t 1 3t 2 = 6 { t1 = 3 1 = 3 2t 1 + 2t 2 2t 1 + 2t 2 = 4 t 0 = 2 + t 1 5t 2 t 1 5t 2 = 2 2 = 1. Punkten P ligger alltså i planet. Avgör på egen hand ifall samma sak gäller för Q. 21 januari (21)
8 Exempel Bestäm en ekvation på parameterform för det plan som innehåller de tre punkterna P = (1,0,3), Q = ( 1,2,3) och R = (6, 2,1). Lösning. Vi behöver två icke-parallella vektorer som spänner upp planet, samt en punkt som ligger i planet. Som vektorer kan vi välja PQ = ( 2,2,0) och PR = (5, 2, 2). Om vi som punkt i planet väljer P, så får vi ekvationen x = 1 2t 1 + 5t 2 y = 2t 1 2t 2 z = 3 2t 2. Precis som när vi plockar fram en rät linjes ekvation på parameterform, kan vi få olika ekvationer beroende på hur vi väljer punkter och vektorer. 21 januari (21)
9 Planets ekvation på normalform På förra föreläsningen konstaterade vi att räta linjer i planet kan framställas på normalform (förutom parameterform). Vi har då en ekvation av typen ax +by +c = 0, där minst ett av talen a och b är skilt från noll. Omdetkoordinatsystem (O,e x,e y )vianvänder oss av är ortonormerat, d.v.s. om (e x,e y ) är en ON-bas, så är n = (a,b) en normalvektor till en linje med ekvationenax +by +c = 0. Linjens riktningsvektor är alltså då ortogonal mot n. ax +by +c = 0 Vi ska nu se att även ett plan i rummet kan skrivas på s.k. n = (a,b) normalform, och att en motsvarande geometrisk tolkning som ovan kan göras, så fort vi använder ett ortonormerat system. 21 januari (21)
10 Betrakta det plan som innehåller punkten P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) och spänns upp av vektorerna v 1 = (α 1, β 1, γ 1 ) och v 2 = (α 2, β 2, γ 2 ). Låt P = (x,y,z) vara en godtycklig punkt i rummet. Då spänner de tre vektorerna v 1, v 2 och P 0 P = (x x 0,y y 0,z z 0 ) upp en parallellepiped i rummet, vars volym (sånär som på tecknet) är lika med determinanten av den matris, vars kolonnvektorer utgörs av v 1, v 2 och P 0 P. P P 0P v 2 P 0 v 1 Speciellt intressant blir det om denna determinant är noll. Detta sker om och endast om punkten P ligger i planet. 21 januari (21)
11 Detta betyder alltså P = (x,y,z) ligger i planet, om och endast om α 1 α 2 x x 0 β 1 β 2 y y 0 γ 1 γ 2 z z 0 = 0. Genom att beräkna determinanten med hjälp av Sarrus regel, så får vi efter litet räkningar att ekvationen ovan kan skrivas som Ax +By +Cz +D = 0, (1) där A, B, C och D är konstanter som beror av koordinaterna hos v 1, v 2 och P 0. Antag att A = B = C = 0. Då måste också D = 0 för att (1) överhuvudtaget ska vara uppfyllt för någon punkt P = (x,y,z). Men om A = B = C = D = 0, så blir (1) uppfyllt för alla punkter i rummet, vilket vi inte vill; vi är bara ute efter en ekvation för alla punkter i ett plan. Alltså måste minst ett av talen A, B och C vara skilt från noll, för att vi ska få ekvationen för ett plan. 21 januari (21)
12 Vi har därmed åtminstone delvis bevisat följande sats: Sats Oberoende av vilket koordinatsystem för rummet som används, så kan varje plan beskrivas med hjälp av en ekvation på formen Ax +By +Cz +D = 0, (2) där minst ett av de tre talen A, B och C är skilt från noll. Omvänt beskriver varje sådan ekvation ett plan i rummet. Vad vi inte har bevisat är en ekvation på formen (2) kan tolkas som ett plan: Vi vet att minst ett av talen A, B och C är skilt från noll; låt oss anta att C 0. Om vi då sätter x = t 1 och y = t 2, så blir Cz = D Ax By = D At 1 Bt 2 z = D C A C t 1 B C t 2, d.v.s. vi får x = t 1 y = t 2 z = D C A C t 1 B C t 2, vilken är ekvationen för ett plan på parameterform, närmare bestämt det plan som går genom punkten (0,0,D/C ) och spänns upp av vektorerna (1,0, A/C ) och (0,1, B/C ). Nu är satsen helt bevisad! 21 januari (21)
13 Definition (Normalform) Ekvationen för ett plan på formen Ax +By +Cz +D = 0, där minst ett av de tre talen A, B och C är nollskilt, kallas för planets ekvation på normalform. I stället för normalform säger man ibland affin form. 21 januari (21)
14 Exempel x = t 1 2t 2 Skriv en ekvation på normalform för planet y = 2 2t 1 + 3t 2 z = 1 + t 1 + 5t 2, d.v.s. det plan som innehåller punkten P 0 = (0,2, 1) och spänns upp av vektorerna v 1 = (1, 2,1) och v 2 = ( 2,3,5). Låt P = (x,y,z) vara en godtycklig punkt i rummet. Då spänner v 1, v 2 och P 0 P = (x,y 2,z +1) upp en parallellepiped, vars volym (sånär som på tecken) ges av determinanten 1 2 x 2 3 y z januari (21)
15 Volymen (determinanten) blir noll, om och endast om P ligger i planet. Vi får 1 2 x 2 3 y 2 = 0 13x 7y z +13 = 0, 1 5 z +1 där determinanten kan beräknas med hjälp av Sarrus regel. Planets ekvation på normalform blir alltså 13x 7y z +13 = 0 (eller om man så vill 13x +7y +z 13 = 0). 21 januari (21)
16 Alternativ lösning. Vi utgår från planets ekvation på parameterform och försöker lösa det som ett ekvationssystem med avseende på t 1 och t 2 : x = t 1 2t 2 t 1 2t 2 = x y = 2 2t 1 + 3t 2 2t 1 + 3t 2 = y 2 z = 1 + t 1 + 5t 2 t 1 + 5t 2 = z +1 2 t 1 2t 2 = x t 2 = 2x +y 2 7t 2 = x +z +1. I de två sista ekvationerna kan vi nu lösa ut t 2 och sätta dessa två uttryck för t 2 lika med varandra: 2 2x y = x +z (2 2x y) = x +z +1 13x +7y +z 13 = 0. Vi får samma ekvation 13x +7y +z 13 = 0 för planet som vi fick med determinantmetoden. 21 januari (21)
17 Exempel Skriv en ekvation på parameterform för planet 4x 3y +z +1 = 0. Lösning. Analogt med motsvarande problem för räta linjer i planet, döper vi om två av variablerna x, y och z till parametrar t 1 och t 2, och löser sedan ut den tredje variabeln. Sätter vi t.ex. x = t 1 och y = t 2 så blir z = 1 4x +3y = 1 4t 1 +3t 2 och vi får ekvationen x = t 1 y = t 2 z = 1 4t 1 + 3t 2. Detta är planet genom punkten P = (0,0, 1) som spänns upp av vektorerna v 1 = (1,0, 4) och v 2 = (0,1,3). 21 januari (21)
18 Normalformen i ortonormerade system Vi påminner än en gång om att vi i ett ortonormerat koordinatsystem i planet kan tolka vektorn n = (a,b) som en normalvektor till den räta linjen som på normalform har ekvationen ax +by +c = 0. Något liknande gäller även för ett plans ekvation på normalform: Sats I ett ortonormerad koordinatsystem gäller att ett plan, som på normalform har ekvationen Ax +By +Cz +D = 0, har vektorn n = (A,B,C ) som normalvektor, d.v.s. för varje vektor v som är parallell med planet gäller att n v = 0. n = (A,B,C) Ax +By +Cz +D = 0 21 januari (21)
19 Bevis. Låt P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) vara en punkt i planet. Då uppfyller P 0 :s koordinater planets ekvation, så Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D = 0. Om punkten P = (x,y,z) är en annan godtyckligt vald punkt i planet, så gäller av samma anledning Ax +By +Cz +D = 0. Utifrån detta kan vi skriva 0 = (Ax +By +Cz +D) (Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D) = A(x x 0 ) +B(y y 0 ) +C (z z 0 ). Sätt n = (A,B,C ). Högerledet ovan kan då tolkas som skalärprodukten mellan vektorerna n = (A, B, C ) och P 0 P = (x x 0,y y 0,z z 0 ), eftersom vi använder oss av ett ortonormerat system. I och med att denna skalärprodukt är noll, visar detta att vektorn n är ortogonal varje vektor v som är parallell med planet. 21 januari (21)
20 Vi kan nu redogöra för en tredje metod att omvandla ett plans ekvation från parameterform till normalform. Exempel x = t 1 2t 2 Vi tittar på samma ekvation på parameterform y = 2 2t 1 + 3t 2 z = 1 + t 1 + 5t 2 som tidigare, men med tillägget att koordinatsystemet nu är ortonormerat. Vi söker en ekvation på normalform Ax +By +Cz +D = 0. Eftersom koordinatsystemet är ortonormerat, kan vektorn n = (A,B,C ) tolkas som en normalvektor till planet. Då planet spänns upp av v 1 = (1, 2,1) och v 2 = ( 2,3,5), ska n vara ortogonal mot såväl v 1 som v 2. Vi kan därför som n välja vektorprodukten v 1 v 2 av v 1 och v 2 (se definitionen av vektorprodukt i kapitel 5). 21 januari (21)
21 Formeln för beräkning av vektorprodukt ger ( ) 2 1 v 1 v 2 = (1, 2,1) ( 2,3,5) = 3 5, , = ( 13, 7, 1) Alltså är n = (A,B,C ) = ( 13, 7, 1) vilket så här långt ger ekvationen 13x 7y z +D = 0 för planet. Det återstår att bestämma D. Men eftersom punkten P = (0,2, 1) ligger i planet, så måste koordinaterna för denna punkt uppfylla planets ekvation, vilket ger ( 1) +D = 0 D = 13, och vi får på nytt ekvationen 13x 7y z +13 = januari (21)
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merEftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:
MATA15 Algebra, delprov, 6 hp Lördagen den 8:e december 01 Skrivtid: 800 100 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Ligger punkterna P 1 = (0, 1, 1), P = (1,, 0), P = (, 1, 1) och P 4 = (, 6,
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merLinjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och
Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.. För
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merVektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.
Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs mer{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.
34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merSeptember 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och
Fö : September 3, 205 Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har i en riktning, och ii en nollskild längd betecknad P Q. Man använder riktade sträckor
Läs merÖvningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0
Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga
Läs merx+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2
Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merLinjär algebra och geometri 1
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2009 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear
Läs mer===================================================
AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs mer2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs merLinjär algebra och geometri I
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Jörgen Östensson Vårterminen 2010 Kurslitteratur Linjär algebra och geometri I för X, geo, frist, lärare H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra (Application
Läs merLinjär algebra och geometri I
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll
Läs merDatum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.
Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,
Läs merTENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merNovember 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
Läs merLinjär algebra och geometri 1
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs merVektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson
Vektorgeometri En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 01 Innehåll 1 Inledning Geometriska vektorer.1 Definition av vektorer........................
Läs merFöreläsningsanteckningar i linjär algebra
1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merBetygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så
Kurs: HF90 Matematik, Moment TEN (Linjär Algebra) ) Datum: 4 augusti 08 Skrivtid 08:00 :000 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävss 0 av maxx 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merStudiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra
Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merkan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.
vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merVektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson
Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs mer2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =
Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl
entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merLÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym
Läs merLite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs mer3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.
Läs merAB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys
AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs mer1. Beräkna determinanten
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merFöreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt
Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.
Kursen edöms med etyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta etyg För godkänt etyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merDetta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,
Läs merVektorer för naturvetare. Kjell Elfström
Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................
Läs mer8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
Läs mer