TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Tisdagen 31 maj Tentamen består av 3 sidor

Transkript

1 TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Tisdagen 31 maj 2011 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter, som var och en vid korrekt lösning ger 2 poäng (maxpoäng 24) Poäng Betyg A B C D E 9 Fx Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx). Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR. Om komplettering blir godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar, som lämnas i på papper. Ingen hänsyn kommer att tas till eventuella filer på tentamenskontot. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Problem 1. Bestäm a,b,c och d, då man vet att grafen till polynomet f(x) = a x 3 +b x 2 +c x+d går genom punkterna (1, 14),(3, 70),(5, 310) och (8, 1330) Problem 2. Lös ekvationen 1 λ λ Problem 3. Bestäm x så att de tre vektorerna blir parvis vinkelräta. = 0 v 1 = ( x, 2, x) v 2 = (x,0, x) v 3 = (x, x,x) Problem 4. Bestäm a och b så att de tre punkterna p 1 = (a,2,4), p 2 = (14,b,2), p 3 = (30,20, 2), kommer att hamna på en gemensam rät linje. Problem 5. Nedan följer ekvationen för 6 linjer i rummet. Bland dessa finns två par som ligger i samma plan. Vilka? Problem 6. Två plan är givna och L 1 (x,y,z) = (1+2t, 2+4t,0) L 2 (x,y,z) = (7 2t,8 3t, 4+2t)) L 3 (x,y,z) = ( 2+6t,4+t,5 7t) L 4 (x,y,z) = (1+3t,2,3 t) L 5 (x,y,z) = (2, 3+4t,3 3t) L 6 (x,y,z) = (6, 3+4t, 6 3t) x = 1+s 2t y = 1+3s+t z = 2 2s 3t 2x y+2z = 8 Bestäm a och b hos punkten p = (a,0,b) som ligger på planens skärningslinje. Problem 7. Visa att påståendet: Punkterna P 1 = (3,0,2), P 2 = (4,3,0) P 3 = (8,1, 1) är hörn i en rätvinklig triangel är sant. Vid vilken punkt ligger den räta vinkeln? Bestäm till sist triangelns area. Problem 8. Lös matrisekvationen AX = A t där A = Problem 9. Normalt är inte AB = BA när man multiplicerar två matriser. De kommutativa lagen gäller inte för matrismultiplikation. Men här kan man bestämma x så att AB = BA ( ) x 2 A = B = 2 1 ( 3 x x 2 ) Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Problem 10. Bestäm antalet lösningar hos systemet för olika värden på a { ax+ay = 4 4x+ay = a Problem 11. Inte mindre än 6 räta linjer i rummet är givna. L 1 (x,y,z) = ( 1 2t,3+t, 2(1+t)) L 2 (x,y,z) = (3 t,2,4 2t) L 3 (x,y,z) = (1,1 2t, 4 8t) L 4 (x,y,z) = (2(1+t),2 2t,2) L 5 (x,y,z) = (5 2t, 1+2t,2t) L 6 (x,y,z) = ( t,4+t,2(3+t)) Varje rät linje skär fyra andra linjer. De fyra skärningspunkterna P 1,P 2,P 3,P 4, bildar hörnen i en tetraeder. Bestäm dess volym genom formeln V = 1 ( P1 P 2 ) P 1 P 3 6 Problem 12. Att multiplicera matrisen A(3 3) med B = P 1 P 4 innebär, för AB, att kolonn 2 och 3 i A byter plats. För BA däremot, byter raderna 2 och 3 i A plats. Konstruera de två matriserna C och D, som gör att de fyra andra möjliga bytena mellan rader och kolonner utförs vid AC, CA, AD respektive DA. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Svar 1. f[x_]:=a*x^3+b*x^2+c*x+d Solve[{f[1]==14,f[3]==70,f[5]==310,f[8]==1330}] Svar: a = 3,b = 4,c = 5,d = 10 Svar 2. a = {{1 - x, 8}, {2, 1 - x}}; Solve[Det[a] == 0, x] Svar: λ 1 = 3,λ 2 = 5 Svar 3. v1 = {-x, -2, -x}; v2 = {x, 0, -x}; v3 = {x, -x, x}; Solve[{v1.v2 == 0, v1.v3 == 0, v2.v3 == 0}] Ger lösningen x 1 = 1 och x 2 = 0. För x 2 = 0 får vi två 0-vektorer mot vilken alla vektorer är vinkelräta. Svar 4. p1 = {a, 2, 4}; p2 = {14, b, 2}; p3 = {30, 20, -2}; linje[t_] := p1 + t(p1 - p2) Solve[{30, 20, -2} == linje[t]] Vi startar med att teckna linjen för punkterna p 1 och p 2 och bestämmer sedan genom ett ekvationssystem a,b och t för att p 3 ska ligga på linjen. Svar: a = 6,b = 8 Svar 5. Två linjer ligger i ett gemensamt plan, antingen då linjerna skär varandra eller då deras riktningsvektorer är parallella. l1[t_] := {1 + 2t, t, 0} l2[t_] := {7-2t, 8-3t, t} Solve[l1[t] == l2[s]] Ger lösningen t = 1,s = 2 vilket betyder att linjerna L 1 och L 2 har en gemensam punkt och ligger därför i ett gemensamt plan. l5[t_] := {2, t, 3-3t} l6[t_] := {6, t, -6-3t} v1 = {0, 4, -3}; v2 = {0, 4, -3}; Solve[v1 == t*v2] där v1 och v2 är riktningsvektorerna hosl 5 ochl 6. Eftersom de är lika är linjerna parallella och därför ligger de i ett gemensamt plan. Svar: L 1 i par med L 2 och L 5 i par med L 6 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Svar 6. e1 = x == 1 + s - 2t; e2 = y == 1 + 3s + t; e3 = z == -2-2s - 3t; e4 = 2x - y + 2z == 8; Solve[{e1, e2, e3, e4}, {x, y, z, s}] Vi hittar fyra ekvationer ur vilka vi finner x,y,z,s uttryckt i t. Med hjälp av denna lösning kan vi ställa upp skärningslinjens ekvation: linje[t_]:={-3/5(2+7t), -28/5(1+t), -1/5(-12-7t)} Återstår att lösa ekvationen: Solve[{a, 0, b} == linje[t]] som ger Svar: a = 3 och b = 1 Svar 7. p1 = {3, 0, 2}; p2 = {4, 3, 0}; p3 = {8, 1, -1}; v1 = p1 - p2; v2 = p1 - p3; v3 = p2 - p3; v1.v2 v1.v3 v2.v3 Av v 1 v 3 = 0 följer att den räta vinkeln ligger vid punkten P 1. Norm[v1]*Norm[v3]/2 ger arean. Svar: Svar 8. Matrisen X får följande utseende X = efter följande satser i Mathematica a={{2,3,1},{-1,-2,2},{2,-3,-1}}; x={{x1,x2,x3},{x4,x5,x6},{x7,x8,x9}}; Solve[a.x==Transpose[a]] Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Svar 9. a = {{x, 2}, {2, 1}}; b = {{3, x}, {x, 2}}; Solve[a.b == b.a, x] Svar: x 1 = 1 och x 2 = 2 Svar 10. Jag startar med att bestämma när det A = 0 m = {{a, a}, {4, a}}; Solve[Det[m] == 0] Detta inträffar då a = 0 respektive a = 4. När a 0 och a 4 finns entydig lösning. Jag undersöker nu hur många lösningar det finns då a = 0. tm = {{0, 0, 4}, {4, 0, 0}}; RowReduce[tm] och får ( Vilket betyder att lösning saknas då a = 0. Jag undersöker nu a = 4 tm = {{4, 4, 4}, {4, 4, 4}}; RowReduce[tm] och får ( Vilket betyder att det finns oändligt många lösningar Svar: a 0 och a 4 innebär entydig lösning. a = 0 innebär ingen lösning. a = 4 oändligt många lösningar. ) ) Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Svar 11. l1[t_] := {-1-2 t, 3 + t, -2 (1 + t)} l2[t_] := {3 - t, 2, 4-2 t} l3[t_] := {1, 1-2 t, -4-8 t} l4[t_] := {2 (1 + t), 2-2 t, 2} l5[t_] := {5-2 t, t, 2 t} l6[t_] := {-t, 4 + t, 2 (3 + t)} Vi startar med att definiera de 6 linjerna. Därefter ställer vi upp inte mindre än 15 ekvationer, Solve[l1[t] == l2[s]] Solve[l1[t] == l3[s]] Solve[l1[t] == l4[s]] Solve[l1[t] == l5[s]] Solve[l1[t] == l6[s]] Solve[l2[t] == l3[s]] Solve[l2[t] == l4[s]] Solve[l2[t] == l5[s]] Solve[l2[t] == l6[s]] Solve[l3[t] == l4[s]] Solve[l3[t] == l5[s]] Solve[l3[t] == l6[s]] Solve[l4[t] == l5[s]] Solve[l4[t] == l6[s]] Solve[l5[t] == l6[s]] Efter en del testande, sätter in aktuellt t i linjernas ekvationer, får vi fram de fyra punkterna P 1 = (1,2,0),P 2 = (3,1,2),P 3 = (2,2,2),P 4 = (1,3,4) och avslutar med Abs[1/6(Cross[p1 - p2, p1 - p3].(p1 - p4))] Svar: Volymen är 1 3 Svar 12. Det finns sex olika möjligheter att byta plats mellan rader och kolumner. För att utföra detta kan följande matriser användas B = C = D = b={{1,0,0},{0,0,1},{0,1,0}}; c={{0,0,1},{0,1,0},{1,0,0}}; d={{0,1,0},{1,0,0},{0,0,1}}; a={{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{a31,a,a33}}; TableForm[a.c] TableForm[a.d] TableForm[c.a] TableForm[d.a] Den fullständiga tabellen för hur bytena sker Produkt Resultat AB kolonn 2 och 3 AC kolonn 1 och 3 AD kolonn 1 och 2 BA rad 2 och 3 CA rad 1 och 3 DA rad 1 och 2 Håkan Strömberg 7 KTH Syd