1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.

Transkript

1 Lektion 5

2 Innehål 1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.7)

3 Innehål 1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.7)

4 Gradient Låt f vara en funktion av två variabler. 1. Gradienten i punkt (a, b) är vektorn f (a, b) = (f x (a, b), f y (a, b)) = f x (a, b)i + f y (a, b)j. 2. Likadant, i punkter där partiella derivatorna existerar, kan vi definiera gradienten som en vektorfunktion. f (x, y) = (f x (x, y), f y (x, y)) = f x (x, y)i + f y (x, y)j. Ex. 1 sid 715.

5 Gradient Låt f vara en funktion av två variabler. 1. Gradienten i punkt (a, b) är vektorn f (a, b) = (f x (a, b), f y (a, b)) = f x (a, b)i + f y (a, b)j. 2. Likadant, i punkter där partiella derivatorna existerar, kan vi definiera gradienten som en vektorfunktion. f (x, y) = (f x (x, y), f y (x, y)) = f x (x, y)i + f y (x, y)j. Ex. 1 sid 715.

6 Example: f (x, y) = x2 2 y 2 ; f (x, y) = (x, 2y); f (1, 1) = (1, 2). f (1, 1) = = 1/2. Nivåkurvan x2 2 y 2 = 1/2 går igenom punkten (1, 1). Implicit derivering m.a.p. t i nivåkurvans ekvation visar att gradienten i punkten (1,-1) är vinkelrätt mot tangentan till nivåkurvan i punkten (1,-1). Vi har, nämligen att x(t)x (t) 2y(t)y (t) = 0 som betyder (x(t), 2y(t)) (x (t), y (t)) = 0, alltså det vi har sagt tidigare. Detta gäller alltid och vi formulerar allmänna resultatet nedan.

7 Sats 1 (Th.6 sid 615) Gradienten i en punkt är vinkelrätt mot tangentan till nivåkurva i respektive punkt. Bevis: f (a, b); f (a, b) = c. Kurvan f (x, y) = c är nivåkurvan till grafen av f som innehåler punkten (a, b). Om x = x(t), y = y(t) är en parametrisering av kurvan ger implicit derivering att f x (a, b)x (t) + f y (a, b)y (t) = 0 som betyder att sklärprodukten mellan gradienten och tangentvektorn är 0, dvs dessa vektorer är vinkelrätta mot varandra; exakt det vi ville bevisa.

8 Riktningsderivata Låt u = (u, v) vara en enhetsvektor. Riktningsderivatan av f (x, y) i punkten (a, b) är förändringstakten av f (i punkten (a, b)) i vektors u riktning. D u f (a, b) = lim h 0 f (a + hu, b + hv) f (a, b) h dvs D u f (a, b) = g (0), g(t) = f (a + tu, b + tv). Observera att D u f (a, b) = D u f (a, b). Partikulära fall: Partiella derivatorna map x, y.

9 Sats 7 sid. 716 Låt u = (u, v) vara en enhetsvektor. D u f (a, b) = u f (a, b) Bevis: Kedjeregeln: D u f (a, b) = uf x (a, b) + vf y (a, b) = (u, v) f (a, b).

10 Ex.2a)/sid. 716 f (x, y) = y 4 + 2xy 3 + x 2 y 2 och u = (1/ 5, 2/ 5). Beräkna D u f (0, 1). Lösning: f (0, 1) = (f x (0, 1), f y (0, 1)) = (2, 4) och enligt Sats 7 så är D u f (0, 1) = (1/ 5, 2/ 5) (2, 4) = 2/ 5+8/ 5 = 10/ 5 = 2 5.

11 Riktningsderivata Låt D u f (a, b) = u f (a, b) = f (a, b) cos θ där θ är vinkeln mellan u och f (a, b). I vilken rikting växer (avtar) funktionen snabbast? Var är ytan som brantast? Läs Ex. 3 och 4 sid 718!

12 Gradienten till funktioner av tre variabler Låt f vara en funktion av tre variabler. 1. Gradienten i punkt (a, b, c) är vektorn f (a, b, c) = (f x (a, b, c), f y (a, b, c), f z (a, b, c)) = f x (a, b, c)i + f y (a, b, c)j + f y (a, b, c)k. 2. Likadant, i punkter där partiella derivatorna existerar, kan vi definiera gradienten som en vektorfunktion. f (x, y, z) = (f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z)) = f x (x, y, z)i + f y (x, y, z)j + f z (a, b, c)k.

13 Gradienten till funktioner av tre variabler Låt f vara en funktion av tre variabler. 1. Gradienten i punkt (a, b, c) är vektorn f (a, b, c) = (f x (a, b, c), f y (a, b, c), f z (a, b, c)) = f x (a, b, c)i + f y (a, b, c)j + f y (a, b, c)k. 2. Likadant, i punkter där partiella derivatorna existerar, kan vi definiera gradienten som en vektorfunktion. f (x, y, z) = (f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z)) = f x (x, y, z)i + f y (x, y, z)j + f z (a, b, c)k.

14 Exemplet 6 sid. 721: a) f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ; f (x, y, z) = (2x, 2y, 2z); f (1, 1, 2) = (2, 2, 4). Nivåytan x 2 + y 2 + z 2 = 6 går igenom punkten (1, 1, 2) och är en sfär i rummet.

15 Sats 1 (Th.6 sid 615) ( revisited ) Gradienten i en punktär är vinkelrätt mot tangentplanet till nivåytan i respektive punkt. Bevis: f (a, b, c); f (a, b, c) = d. Ytan f (x, y, z) = d är nivåytan till grafen av f som innehåler punkten (a, b, c). Implicit derivering att f x x t(t, s) + f y y t(t, s) + f z z t = 0 f x x s(t, s) + f y y s(t, s) + f z z s = 0 som betyder att sklärprodukten mellan gradienten till f och tangentvektorerna som bestämmer tangentplanet till ytan i punkten (a,b,c) är 0. Dvs gradienten är vinkelrätt mot tangentplanet till ytan; alltså normalvektor till nivåytan.

16 Exemplet 6 sid. 721: b) Gradienten i punkten (1,-1,2) är normalvektor till ytan! Skriv tangentplanetsekvation.

17 Riktningsderivata Låt u = (u, v, w) vara en enhetsvektor. Riktningsderivatan av f (x, y, z) i punkten (a, b, c) är förändringstakten av f (i punkten (a, b, c)) i vektors u riktning. D u f (a, b, c) = lim h f (a + hu, b + hv, c + hw) f (a, b, c) h dvs D u f (a, b, c) = g (0), g(t) = f (a + tu, b + tv, c + tw). Observera att D u f (a, b, c) = D u f (a, b, c). Partikulära fall: Partiella derivatorna map x, y, z.

18 Sats 7 sid. 716 Låt u = (u, v, w) vara en enhetsvektor. Bevis: Kedjeregeln D u f (a, b, c) = u f (a, b, c)

19 Riktningsderivata Låt D u f (a, b, c) = u f (a, b, c) = f (a, b, c) cos θ där θ är vinkeln mellan u och f (a, b, c). I vilken rikting växer (avtar) funktionen snabbast?

20 Uppgift 7 sid. 723 Låt f (x, y, z) = x 2 y + y 2 z + z 2 x. Bestäm ekvationen till tangentplanet till ytan x 2 y + y 2 z + z 2 x = 1 i punkten (1, 1, 1). Obs! f (1, 1, 1) = 1 Vi har att och f (x, y, z) = (2xy + z 2, x 2 + 2yz, y 2 + 2xz) f (1, 1, 1) = ( 1, 1, 3) men denna vektor är normalvektor till tangentplanet till ytan. Alltså tangentplanetsekvation är 1(x 1) 1(y + 1) + 3(z 1) = 0.