AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats"

Transkript

1 AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) D, (1) dvs av vektorfunktionen r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k [(u, v) D], (2) där variabelna u, v kallas parametrar. Området D ligger i uv-planet och kallas parameterområde. Då u, v genomlöper området D [(u, v) D], så genomlöper punkten P = P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) en viss punktmängd i xyz-rummet (en yta). Ekvationerna (7) kallas ytans ekvationer på parameter form. (8) kallas ytans ekvation på vektorform. (8) kan skrivas kort r = r(u, v) [(u, v) D], (3) där r(u, v) är ortsvektorn för den punkt på, som motsvarar parametervärdena r(u, v) = OP (u, v). eller En yta med ekvationen kan parameterframställas av z = f(x, y), x = g(y, z) y = h(x, z) x = u, y = v, z = f(x, y), etc., och vektorekvationen är då r = [u, v, f(u, v)] [(u, v) D], (4) Parameterområdet är projektionen av på xy- (yz-, xz-) planet Man kan också definiera en yta med en ekvation g(x, y, z) =, t ex, eller x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z, z = + a 2 x 2 y 2

2 ger halvklotytan av radien a och origo O. EXEMPEL 1 En cylinderyta på parameterform Ekvationen x 2 + y 2 = a 2, z, (5) ger en cylinderyta av radien a och origo O. Den här parameterform r(u, v) s komponenter är r(u, v) = [a cos u, a sin u, v] = a cos ui + a sin uj + vk, u, v i rektangel : u 2π, v. x = a cos u, y = a sin u, z = v. (6) Observera att varje punkt x, y, z definierad med (6) satisfierar cylinderns ekvation (5) och att omvänt varje punkt x, y, z på cylindern [x, y, z satisfierar (5)] kan skrivas på formen (6) eftersom x 2 + y 2 = a 2 cos 2 u + a 2 sin 2 u = a 2 (cos 2 u + sin 2 u) = a 2. Ekvationen x 2 + y 2 = a 2, 1 z 1 ger en cylinderyta av radien a, höjden 2 och origo O. Den här parameterform r(u, v) = [a cos u, a sin u, v] = a cos ui + a sin uj + vk, r(u, v) s komponenter är u, v i rektangel : u 2π, 1 v 1. x = a cos u, y = a sin u, z = v. EXEMPEL 2 En klotyta på parameterform Klotytan x 2 + y 2 + z 2 = a 2 på parameterform ges av vektorfunktionen r(u, v) s komponenter är Vi använder sfäriska koordinaterna r(u, v) = a cos v cos ui + a cos v sin uj + a sin vk, u, v i rektangel : u 2π, π/2 v π/2. x = a cos v cos u, y = a cos v sin u, z = a sin v. x = r cos v cos u, y = r cos v sin u, z = r sin v, där r är avståndet till origo och u och v är två vinklar. Man också använder sfäriska koordinater på formen x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, r, θ π, π φ π.

3 EXEMPEL 3 En konyta på parameterform Konytan z = + x 2 + y 2, z H på parameterform ges av vektorfunktionen r(u, v) = u cos vi + u sin vj + uk, u, v in rectangle : v 2π, u H. r(u, v) s komponenter är Observera att x 2 + y 2 = z 2. x = u cos v, y = u sin v, z = u. angent till en yta Låt C vara en kurva på ytan u = u(t), v = v(t) och r(u(t), v(t)) är ortsvektorn för punkten P som ligger på C. Enligt kedjeregeln får vi en tangentvektor till kurvan C r (t) = d r dt = r u u + r v v. Då är partiella derivatorna (vektorfunktioner) r u och r v i punkten P tangentvektorer till ytan i punkten P. Antag att de här vektorfunktionerna är linjärt oberoende. Då spänner r u och r v upp ett plan α, som kallas tangentplanet till ytan i punkten P. Enligt definitionen av vektorprodukt, ger vektorprodukten N = r u r v. en normalvektor till ytan i punkten P (eftersom vektorprodukten är vinkelrät mot planet α). Motsvarande enhetsnormalvektorn n = 1 N N = 1 r u r v r u r v. då Om ytan ges av en ekvation n = g(x, y, z) =, 1 grad g. grad g EXEMPEL 4 Enhetsnormalvektor till klotytan g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 a 2 = : n = 1 grad g grad g = 1 [ x a grad g = a, y a, z ] = x a a i + y a j + z a k. EXEMPEL 5 Enhetsnormalvektor till konytan

4 g(x, y, z) = z + x 2 + y 2 = : n = 1 grad g grad g = 1 [ 2 x x2 + y, 2 x x2 + y i + y 2 x2 + y j k. 2 y x2 + y 2, 1 ] = Ytintegraler Betrakta en yta med parameterekvationerna r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, u, v och normalvektorn motsvarande enhetsnormalvektorn N = r u r v ; n = 1 N N. Om F(r) är en vektorfunktion, definierad på, så sätter vi F nda = F(r(u, v)) N(u, v)dudv, (7) kallas normalytintegralen av vektorfunktionen (vektorfält) F(r) över ytan. Lägg marke till att nda = n N dudv = N dudv, och vi antar att parameterna u, v tillhör ett område i u, v-planet. kriv motsvarande uttryck komponentvis: F = [F 1, F 2, F 3 ) = F 1 i + F 2 j + F 3 k, och n = [cos α, cos β, cos γ] = cos αi + cos βj + cos γk, N = [N 1, N 2, N 3 ) = N 1 i + N 2 j + N 3 k, F nda = (F 1 cos α + F 2 cos β + F 3 cos γ)da = (F 1 N 1 + F 2 N 2 + F 3 N 3 )dudv. Flöde genom en yta Ytintegralen (7) kan uppfattas som F s flöde genom ytan. EXEMPEL 1 Beräkna vätskeflödet genom paraboliska cylindern : y = x 2, x 2, z 3

5 om hastighetsvektorn i en vätskeströmning är v = F = [3z 2, 6, 6xz]. Lösning. Ytan på parameterform ges av vektorfunktionen r(u, v) = [u, u 2, v] = ui + u 2 j + vk, u 2, v 3 (man kan sätta x = u, z = v, y = x 2 = u 2. Partiella derivatorna (vektorfunktioner) r u och r v, r u = [1, 2u, ], r v = [,, 1], är tangentvektorer till ytan i en punkt P som spänner upp tangentplanet till i punkten P. Vektorprodukten N = r u r v. är en normalvektor till ytan i punkten P (vektorprodukten är vinkelrät mot tangentplanet). Vi har N = r u r v = 1 2u = 2ui j = [2u, 1, ]. 1 Motsvarande enhetsnormalvektorn På ytan, Då n = 1 N N = 1 (2ui j) u 2 F(r(u, v)) = F() = [3v 2, 6, 6uv] = 3(v 2 i + 2j + 2uvk). F(r(u, v)) N(u, v) = 3[v 2, 2, 2uv] [2u, 1, ] = 3(2uv 2 2) = 6(uv 2 1). Parameterna u, v genomlöper rektangeln : u 2, v 3. Nu, kan vi skriva och beräkna vätskeflödet F nda = F(r(u, v)) N(u, v)dudv = (uv 2 1)dudv = 6( v 2 dv udu 3 2 dudv) = 6( ) = 72. EXEMPEL 2 En ytintegral Beräkna ytintegral av vektorfunktionen F = [x 2,, 3y 2 ] över planet : x + y + z = 1, x, y, z 1. Lösning. ätt x = u och y = v, då z = 1 u v, och ges av r(u, v) = [u, v, 1 u v], v 1, u 1 v. Vi har r u = [1,, 1], r v = [, 1, 1];

6 normalvektorn är N = r u r v = Motsvarande enhetsnormalvektorn På ytan, n = 1 N N = = i + j + k = [1, 1, 1]. 1 3 (i + j + k). F(r(u, v)) = F() = [u 2,, 3v 2 ] = u 2 i + 3v 2 k. F(r(u, v)) N(u, v) = [u 2,, 3v 2 ] [1, 1, 1] = u 2 + 3v 2. Parameterna u, v genomlöper triangeln : v 1, u 1 v. Nu, kan vi skriva och beräkna ytintegralen: F nda = F(r(u, v)) N(u, v)dudv = (u 2 + 3v 2 )dudv = = (1/3) 1 1 v 1 (u 2 + 3v 2 )dudv = (1 v) 3 dv v 1 1 v dv u 2 du + 3 v 2 dv du = v 2 (1 v)dv = (1/3) 1 (1/3) (1/4) + 3(1/3 1/4) = 1/3. t 3 dt (v 2 v 3 )dv = Gauss divergenssats Om v(x, y, z) är en deriverbar vektorfunktion, då kallas (skalära) funktionen v(x, y, z) = v 1 (x, y, z)i + v 2 (x, y, z)j + v 3 (x, y, z)k, div v = v 1 x + v 2 y + v 3 z divergensen av v. Låt vara ett område i rummet, begränsad av en yta med enhetsnormalvektorn n som är riktad utåt från området. Antag att normalvektorn n varierar kontinuerlig längs, med möjligt undantag för en punktmängd med arean (kanter och hörn, dvs, punkter och linjer) Om F(x, y, z) är ett vektorfält (en vektorfunktion) av klassen C 1 (dvs, F(x, y, z) = [F 1, F 2, F 3 ] är deriverbar och partiella derivatorna F 1 x, F 2 y, etc. är kontinuerlig i ett område i rummet sådant att ), så gäller Gauss divergenssats div FdV = F nda. Komponentvis, ( F 1 x + F 2 y + F ) 3 dxdydz = (F 1 cos α + F 2 cos β + F 3 cos γ)da. z

7 or EXEMPEL 1 ( F 1 x + F 2 y + F ) 3 dxdydz = z (F 1 dydz + F 2 dzdx + F 3 dxdy). Beräkna ytintegralen I = (x 3 dydz + x 2 ydzdx + x 2 zdxdy), (8) där ytan består av cylindern x 2 + y 2 = a 2 ( z b) och cirkelna z = och z = b (x 2 + y 2 a 2 ) ( består av tre delar av jämna ytor). Lösning. I (8), är F(x, y, z) = [F 1, F 2, F 3 ] en deriverbar vektorfunktion och dess komponenter är F 1 = x 3, F 2 = x 2 y, F 3 = x 2 z. Då är divergensen av F = [F 1, F 2, F 3 ] Polara koordinater införes div F = F 1 x + F 2 y + F 3 z = 3x2 + x 2 + x 2 = 5x 2. x = r cos θ, y = r sin θ (cylindrical coordinates r, θ, z) dxdydz = rdrdθdz, Enligt Gauss divergenssats, reduceras ytintegralen till en trippelintegral över området begränsad av en cylindrisk yta, (x 3 dydz + x 2 ydzdx + x 2 zdxdy) = div FdV = 5x 2 dxdydz = 5b a b a 2π 5 r 2 cos 2 θrdrdθdz = z= r= θ= 2π r 3 cos 2 θdrdθ = 5b a4 2π cos 2 θdθ = 4 5b a4 8 2π (1 + 2 cos θ)dθ = 5 4 πba4. EXEMPEL 2 Verifiera Gauss divergenssats Betrakta ytintegralen I = F nda, F = 7xi zk över klotytan : x 2 + y 2 + z 2 = 4. Beräkna integralen direkt och med hjälp av Gauss divergenssats. Lösning. F(x, y, z) = [F 1, F 2, F 3 ] är en deriverbar vektorfunktion och dess komponenter är F = [F 1,, F 3 ], F 1 = 7x, F 3 = z.

8 Divergensen av F är Enligt Gauss divergenssats, I =, ball div F = F 1 x + F 2 y + F 3 z = = 6. div FdV = 6, ball dxdydz = π23 = 64π. (9) Ytintegralen över kan beräknas direkt. Klotytan : x 2 + y 2 + z 2 = 4 av radien 2 på parameterform ges av vektorfunktionen Bestäm partiella derivator : r(u, v) = 2 cos v cos ui + 2 cos v sin uj + 2 sin vk, u, v in rectangle : u 2π, π/2 v π/2. r u = [ 2 sin u cos v, 2 cos v cos u, ], r v = [ 2 sin v cos u, 2 sin v sin u, 2 cos v], och normalvektorn N = r u r v = 2 sin u cos v 2 cos v cos u = [4 cos 2 v cos u, 4 cos 2 v sin u, 4 cos v sin v]. 2 sin v cos u 2 sin v sin u 2 cos v På ytan, och Då x = 2 cos v cos u, z = 2 sin v, F(r(u, v)) = F() = [7x,, z] = [14 cos v cos u,, 2 sin v]. F(r(u, v)) N(u, v) = (14 cos v cos u)4 cos 2 v cos u + ( 2 sin v)(4 cos v sin v) = 56 cos 3 v cos 2 u 8 cos v sin 2 u. Parameterna u, v genomlöper rektangeln : u 2π, π/2 v π/2. Nu, kan vi skriva och beräkna ytintegralen 8 F nda = F(r(u, v)) N(u, v)dudv = 2π π/2 8 (7 cos 3 v cos 2 u cos v sin 2 v)dudv = π/2 { 7 2π (1 + cos 2u)du 2 8π { π/2 56π 7 π/2 π/2 π/2 π/2 π/2 } π/2 cos 3 vdv 2π cos v sin 2 vdv = π/2 π/2 cos 3 vdv 16π cos vdv sin 2 vdv = π/2 } (1 sin 2 v)d sin v 2 π/2 π/2 dv sin 2 vd sin v =

9 som sammanfaller med värdet (9). { 1 1 } 8π 7 (1 t 2 )dt 2 t 2 dt = 1 1 8π[7 (2 2/3) 4/3] = 8π 4/3 6 = 64π. EXEMPEL 2 illämpningar av Gauss divergenssats Enligt medelvärdessats för trippelintegraler, f(x, y, z)dv = f(x, y, z )V ( ) där (x, y, z ) är en punkt i och V ( ) är s. Enligt Gauss divergenssats, div F(x, y, z ) = 1 V ( ) div FdV = 1 V ( ) ( ) F nda. Välj en fix punkt P : (x 1, y 1, z 1 ) i och krympa till P så att maximum avståndet d( ) mellan punkter i och P går mot. Då får man en annan definition av divergens div F(x 1, y 1, z 1 ) = lim d( ) 1 V ( ) ( ) F nda. Det betyder att divergensen är oberoende av ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. EXEMPEL 4 Differentialoperatorn av andra ordningen = 2 = 2 x y z 2 kallas Laplaceoperator (Laplacian). En två gånger deriverbar funktion f som satisfierar Laplaces ekvation i ett område, dvs f = 2 f x f y f z 2 =, kallas en harmonisk funktion i. Man kan transformera en dubbelintegral av Laplacian w till en kurvintegral av dess normalderivatan w n : 2 wdxdy = C w n ds. [Normalderivatan grad w n av en funktion w är riktningsderivatan av w i riktningen n, där n är normalvektorn till kurvan C]. Visa att man kan också transformera en trippelintegral av Laplacian f till en ytintegral av dess normalderivatan ätt F = grad f;

10 då Vi har också Enligt Gauss divergenssats, får vi div F = div grad f = 2 f x f y f z 2 = 2 f. F n = grad f n 2 fdxdydz = f n da. Vi har visat att om f(x, y, z) är en harmonisk funktion i ( 2 f = i ), då är ytintegralen av dess normalderivatan över en godtycklig (orienterbar) yta i noll: f da =. n

11 POBLEM Bestäm en normalvektor och enhetsnormalvektorn till xy-planet r(u, v) = [u, v] = ui + vj samt parameterkurvorna u = const och v = const. Lösning. Vektorprodukten a b av tå vektorer a = [a 1, a 2, a 3 ] och b = [b 1, b 2, b 3 ] är en vektor v = a b som är vinkelrät mot a och b, och a, b, v bildar bildar ett positivt orienterat högersystem: v = [v 1, v 2, v 3 ] = a b = a 1 a 2 a 3 = v 1 i + v 2 j + v 3 k, b 1 b 2 b 3 där v 1 = Parameterekvationerna a 2 a 3 b 2 b 3, v 2 = a 3 a 1 b 3 b 1, v 3 = r(u, v) = [u, v, ] = ui + vj; definierar xy-planet. Bestäm partiella derivator r u = [1,, ] = i, r v = [, 1, ] = j. Vektorprodukten r u r v ger en normalvektor N till xy-planet N = r u r v = 1 = k. 1 Motsvarande enhetsnormalvektorn n = 1 N N = 1 1 k = k. Parameterkurvorna u = const och v = const är räta linjer. POBLEM Bestäm en normalvektor till konytan a 1 a 2 b 1 b 2 r(u, v) = u cos vi + u sin vj + cuk = [u cos v, u sin v, cu] samt parameterkurvorna u = const och v = const. Lösning. Motsvarande konytan ges av funktionen z = c x 2 + y 2. Vi har N = r u r v = r u = [cos v, sin v, c], r v = [ u sin v, u cos v, ], cos v sin v c u sin v u cos v = cu cos vi cu sin vj + uk = u[c cos v, c sin v, 1]..

12 är en normalvektor till konytan. Parameterkurvorna u = const är cirklar x 2 + y 2 = u 2, z = cu, och v = const är räta linjer y = x tan v. POBLEM Bestäm parameterekvationerna för planet 3x + 4y + 6z = 24. Lösning. Vi har z = 4 (1/2)x (2/3)y. Då ger x = 8u och y = 6v parameterekvationer r(u, v) = [8u, 6v, 4(1 u v)] = 8ui + 6vj + 4(1 u v)k. En annan parameterform fås genom x = u och y = v r(u, v) = [u, v, 4 (1/2)u (2/3)v] = ui + vj + (4 (1/2)u (2/3)v)k. Planet 3x + 4y + 6z = 24 ges av parameterekvationerna r(u, v) = [8u, 6v, 4(1 u v)] Då och en normalvektor N r u = [8,, 4], N = r u r v = r v = [, 6, 4], = Motsvarande enhetsnormalvektorn POBLEM i + 32j + 48k = 8(3i + 4j + 6k) = 8[3, 4, 6]. n = 1 N N = 1 61 (3i + 4j + 6k). Bestäm parameterekvationerna för ellipsoiden x 2 + y 2 + (1/4)z 2 = 1. Lösning. ätt x = cos v cos u, y = cos v sin u, z = 2 sin v. Då får vi ellipsoiden x 2 + y 2 + (1/4)z 2 = 1 och dess parameterekvationerna Vidare, r(u, v) = cos v cos ui + cos v sin uj + 2 sin vk, r u = cos v sin ui + cos v cos uj, r v = sin v sin ui sin v cos uj + 2 cos vk. Normalvektorn N N = r u r v = cos v sin u cos v cos u = 2 cos 2 v cos ui+2 cos 2 v sin uj+sin v cos vk. sin v sin u sin v cos u 2 cos v

13 POBLEM Bestäm enhetsnormalvektor till ellipsoiden 4x 2 + y 2 + 9z 2 = 36. Lösning. Vi har ellipsoidens ekvation g(x, y, z) = 4x 2 +y 2 +9z 2 36 =. Beräkna partiella derivator g x = 8x, g y = 2y, g z = 18z. Vidare, Enhetsnormalvektorn ges av grad g = 2[4x, y, 9z], grad g = 2 16x 2 + y z 2. n = 1 grad g grad g = x 2 + y z 2 grad g = 1 16x2 + y z [4x, y, 9z] = 1 (4xi + yj + 9zk). 2 16x2 + y z2 POBLEM Bestäm enhetsnormalvektor till planet 4x 4y + 7z = 3. Lösning. Planets ekvation skrivas z = 1/7( 3 4x + 4y). Insättning av x = u, y = v i ytans vektorparameterekvationer r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k (1) ger parameterekvationer till planet Vi har Normalvektorn N r(u, v) = [u, v, 1/7( 3 4u + 4v)] = ui + vj + 1/7( 3 4u + 4v)k. Motsvarande enhetsnormalvektorn r u = [1,, 4/7], r v = [, 1, 4/7]. N = r u r v = 1 4/7 1 4/7 = (4/7)i (4/7)j + k = (1/7)(4i 4j + 7k) = (1/7)[4, 4, 7]. n = 1 N N = 1 (4i 4j + 7k). (11) 9 Man kan också skriva planets ekvation som g(x, y, z) = 4x 4y + 7z + 3 =. Bestäm partiella derivator g x = 4, g y = 4, g z = 7.

14 Då och enhetsnormalvektorn ges av grad g = [4, 4, 7], grad g = = 9, n = som sammanfaller med värdet (11). POBLEM grad g grad g = 1 (4i 4j + 7k) 9 Beräkna ytintegralen då F = [3x 2, y 2, ] och är triangeln som ligger i planet r(u, v) = [u, v, 2u + 3v], u 2, 1 v 1. Lösning. Vi har normalvektorn N = r u r v = Motsvarande enhetsnormalvektorn På ytan Då r u = [1,, 2], r v = [, 1, 3]; = 2i 3j + k = [ 2, 3, 1]. n = 1 N N = 1 14 ( 2i 3j + k). F(r(u, v)) = F() = [3u 2, v 2, ] = 3u 2 i + v 2 j). F(r(u, v)) N(u, v) = [3u 2, v 2, ] [ 2, 3, 1] = 6u 2 3v 2 = 3(2u 2 + v 2 ). Parameterna u, v genomlöper rektangeln : u 2, 1 v 1. Nu, kan vi skriva och beräkna ytintegralen F nda = F(r(u, v)) N(u, v)dudv = 3 (2u 2 + v 2 )dudv = = 6 dv u 2 du 3 v 2 dv du == 12 u 2 du 6 v 2 dv = POBLEM [2 (8/3) + 2/3] = 32 4 = 36. Beräkna ytintegralen då F = [x z, y x, z y] och är konytan r(u, v) = u cos vi + u sin vj + uk, u, v i rektangeln : v 2π, u 3.

15 Lösning. Vi har konytans parameterekvationer och kan beräkna partielle derivator r u = [cos v, sin v, 1], r v = [ u sin v, u cos v, ]. Normalvektorn N till konytan är N = r u r v = cos v sin v 1 = u cos vi u sin vj + uk = u[cos v, sin v, 1]. u sin v u cos v På konytan F(r(u, v)) = F() = [u cos v u, u sin v u cos v, u u sin v] = Då u[(cos v 1)i + (sin v cos v)j + (1 sin v)k]. F(r(u, v)) N(u, v) = u[cos v 1, sin v cos v, 1 sin v] ( u)[cos v, sin v, 1] = u 2 [cos v(cos v 1) + sin v(sin v cos v) + sin v 1] = u 2 (1 cos v sin v cos v + sin v 1) = u 2 (sin v cos v sin v cos v). Parameterna u, v genomlöper rektangeln : u 3, v 2π. Nu, kan vi skriva och beräkna ytintegralen F nda = F(r(u, v)) N(u, v)dudv = = 2π ( 1/3)( sin vdv POBLEM π 2π u 2 (sin v cos v sin v cos v)dudv = 3 (sin v cos v sin v cos v)dv cos vdv 2π u 2 du = sin v cos vdv) = ( 1/3)( + + ) =. Beräkna ytintegralen över lådans ytan : x 1, y 3, z 2 då F = [x 2,, z 2 ] Lösning. Vi har vektorfunktionen Divergensen av F = [F 1, F 2, F 3 ] är F 1 = x 2, F 2 =, F 3 = z 2. div F = F 1 x + F 2 y + F 3 z = 2x + 2z. Enligt Gauss divergenssats, är ytintegralen lika med trippelintegralen över lådan F nda = div FdV =

16 2 2 (x + z)dxdydz = dz 3 3 dz z= dy xdx y= 3 3 zdz 1 dy 3 dy x= (x + z)dxdydz = dx =. POBLEM Beräkna ytintegralen dåf = [cos y, sin x, cos z] och är en yta som består av cylinderns yta x 2 + y 2 = 4 ( z 2) och två cirklar som ligger i planen z = 2 och z = 2 (x 2 + y 2 4) Lösning. Vi har Divergensen av F = [F 1, F 2, F 3 ] är Använd polara koordinater Då får vi F 1 = cos y, F 2 = sin x, F 3 = cos z. div F = F 1 x + F 2 y + F 3 z = sin z. x = r cos θ, y = r sin θ (cylindrical coordinates r, θ, z) dxdydz = rdrdθdz, Enligt Gauss divergenssats, är ytintegralen lika med trippelintegralen över området i rummet begränsad av cylinderns yta av radien 2 och höjden 4, F nda = div FdV = 2 2 2π sin zdxdydz = sin zdz rdrdθ =. z= 2 r= θ= POBLEM Verifiera fundamentala egenskapen av lösningar till Laplaces ekvation dåf(x, y, z) = 2z 2 x 2 y 2 och är lådans yta : x 1, y 2, z 4. Lösning. ätt Då F = grad f = [ 2x, 2y, 4z]. div F = div grad f = 2 f x f y f z 2 = 2 f = =, som betyder att f(x, y, z) = 2z 2 x 2 y 2 är en harmonisk funktion. Nu beräkna ytintegraler över 6 sidor av s yta. Börja med sidan parallel med x, y-planet som ligger i planet z = 4, sedan betrakta sidan som ligger i planet z =, etc.: f n da = f f dxdy dxdy+ z z=4 z z=

17 f dydz x x=1 f dxdz y y=2 f dydz+ x x= f dxdz = y y= ( 2) 8 + ( 4) 4 =. POBLEM Beräkna ytintegralen I = F nda, F = [x, z, y] över högre klotytan : x 2 + y 2 + z 2 = 4, z. Använd Gausss divergensesats. Lösning. Vi har Divergensen av F är Enligt Gausss divergensesats, I =,one half of ball F = [x, z, y], F 1 = x, F 2 = z, F 3 = y. div F = F 1 x + F 2 y + F 3 z = = 1, div FdV = dxdydz = π23 = 16π 3.

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se 7 oktober 2009 1 Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht09

Läs mer

Matematisk fysik I. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. Tel Karlstads Universitet

Matematisk fysik I. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov.   Tel Karlstads Universitet Matematisk fysik I Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-700856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2003 Innehåll Grundläggande begrepp av vektoranalys

Läs mer

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

Tentan , lösningar

Tentan , lösningar UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är

Läs mer

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

Kursanvisningar. Lektion 1 1 Repetition av vektoranalysens grunder. Skalära fält och vektorfält. KREYSZIG 9: Kapitel Kompendiet: Kapitel 1

Kursanvisningar. Lektion 1 1 Repetition av vektoranalysens grunder. Skalära fält och vektorfält. KREYSZIG 9: Kapitel Kompendiet: Kapitel 1 Kursanvisningar Teorikrav: 1. Att kunna samtliga ingående definitioner och satser, samt kunna bevisa följande satser (KREYSZIG 9): Kapitel 9.7: Sats 1 (s. 405) Kapitel 10.2: Sats 1 (s. 426) Sats 3 ( s.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Allmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan

Allmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan Forelasning 3/9 Kroklinjiga koordinater rakning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Allmant behover vi tre parametrar u u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan da skriva ortsvektorn

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.

Läs mer

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och

Läs mer

Flervariabelövningar. Fredrik Bengzon 3 mars 2004

Flervariabelövningar. Fredrik Bengzon 3 mars 2004 Flervariabelövningar Fredrik Bengzon 3 mars 24 Innehåll 1 Partiella derivator och kedjeregeln 3 2 Gradient och riktningsderivata 4 3 Kurvor och ytor 5 4 Taylors formel 8 5 ivergens och rotation 9 6 Kurvintegralen

Läs mer

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

20 Integralkalkyl i R 3

20 Integralkalkyl i R 3 Nr,9maj-,Amelia Integralkalkl i R 3 VI kommer härnäst att studera integraler av tredimensionella vektorfält: F(,, ) = (P (,, ), Q(,, ), R(,, )). Vi generaliserar kurvintegraler och Greens formel från R

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2010 Kurslitteratur Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Robert A. Adams, alculus: a complete course, 6th ed., Addison Wesley,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan

Läs mer

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Tentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 5--9 kl. 8.3.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Mattias Lennartsson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen MVE85 Flervariabelanalys 26-8-26 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Malik, telefon: anknytning 5325 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad,

Läs mer

2.5 Partiella derivator av högre ordning.

2.5 Partiella derivator av högre ordning. 2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Världshistoriens bästa sammanfattning. Andreas Rejbrand

Världshistoriens bästa sammanfattning. Andreas Rejbrand Världshistoriens bästa sammanfattning av vektoranalysen Andreas Rejbrand Vad handlar vektoranalysen om? Fält o Skalärfält o Vektorfält (inklusive potentialfält) Differentialoperatorer på fält o Gradient

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning

Läs mer

21 Flödesintegraler och Gauss sats

21 Flödesintegraler och Gauss sats Nr 2, maj -5, Amelia 2 2 Flödesintegraler och Gauss sats 2. DivergensochGausssats 2.. Flöden genom slutna ytor I detta avsnitt beräknar vi flödesintgraler på slutna ytor. Låt oss tänka oss en vind, som

Läs mer

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

23 Konservativa fält i R 3 och rotation Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast

Läs mer

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2 ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y

Läs mer

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem

Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem [Arfken,BETA,Lahtinen] A. 1. Kurvilineära koordinatsystem Antag att i ett Cartesiskt (x, y, z) koordinatsystem med basvektorerna bx, by, bz existerar

Läs mer

Lite sfärisk geometri och trigonometri

Lite sfärisk geometri och trigonometri Lite sfärisk geometri och trigonometri Torbjörn Tambour 8 april 2015 Geometri och trigonometri på sfären är ett område som inte nämns alls i de vanliga matematikkurserna, men som ändå är värt att stifta

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Flervariabelanalys E2

Flervariabelanalys E2 Flervariabelanalys E2 Johan Jonasson Oktober 2012 1 Kurvor på parameterform Här betraktas vektorvärda funktioner r : R R 2 eller r : R R 3. Vi beskriver det sistnämnda fallet, eftersom det förstnämnda

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På

Läs mer

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version Studiehandledning till MMA128 ifferential- och integralkalkyl III läsåret 2012/13 Version 2013-06-07 ursinformation för MMA128 Mål Avsikten med kursen MMA128 ifferential- och integralkalkyl III är att

Läs mer

Partiella differentialekvationer (TATA27)

Partiella differentialekvationer (TATA27) Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i flervariabelanalys

Föreläsningsanteckningar i flervariabelanalys Egmont Porten Mittuniversitet Föreläsningsanteckningar i flervariabelanals 1 Differentialkalkl 1.1 Punkter i R 2, R 3 R 2 : (, ) = P 2 ( 2, 2 ) Enligt Ptagoras lag är (2 1 ) 2 + ( 1 = 2 ) 2 1 ( 1, 1 )

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Dag 1 Avsnitt 6.1 Definition av trappfunktion och integral av en trappfunktion. Räkneregler (de är mer eller mindre uppenbara). Definition av Riemannintegralen

Läs mer

1 Vektorer och tensorer

1 Vektorer och tensorer Föreläsning 1. 1 Vektorer och tensorer Vi kommer att använda två olika beteckningar för vektorer. Enligt det första systemet använder vi fet stil för en vektor i typsatt text och ett vektorstreck då vi

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08 Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Studiehandledning. till 5B4004 ANALYS II. Distanskurs 10 poäng

Studiehandledning. till 5B4004 ANALYS II. Distanskurs 10 poäng Studiehandledning till 5B4004 ANALYS II Distanskurs 10 poäng Kurslitteratur: Persson/Böiers: Analys i flera variabler./ Studentlitteratur. Övningar till Analys i flera variabler/ Lunds Tekniska Högskola

Läs mer

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2

Vi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2 Lektion 6, Flervariabelanals den februari 6.. Beräkna div F och rot F av F e + e. Divergensen och rotationen ges av div F F,,,, + + + +, rot F F,,,, e e e z, +,,,. rot F F,, e e e z z, z, z z z, + z, z

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08 Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08 Omfattning 6., 6.3-6.5 Innehåll: Gradient, divergens, rotation, Greens sats/formel, divergenssatsen i två och tre dimensioner, tokes sats tma043 V6, Ht08 bild Mål: För

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09. Carl-Henrik Fant

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09. Carl-Henrik Fant Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht09 Kapitel 6. -

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - eckans tal Tobias Wenger och Christian Forssén, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 Uppgift 6.6 (Cederwalls kompendium) Beräkna normalytintegralen av a F 2 [

Läs mer

2. Beräkna. (z-koordinaten för masscentrum för en homogen kropp som upptar området K) ½ u = xy 3. Använd variabelbytet v = y x.

2. Beräkna. (z-koordinaten för masscentrum för en homogen kropp som upptar området K) ½ u = xy 3. Använd variabelbytet v = y x. HH / Georgi Tchilikov FLERVARIABELANALYS för Lp2 noveber 23, kl.9-13 Hjälpedel: Bifogat Forelblad Envariabelanalys. Redovisa och otivera lösningarna så att även en kurskarat kan följa ed och övertygas.

Läs mer