Integraler av vektorfält Mats Persson

Transkript

1 Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på partikeln. Mellan punkterna r och r + dr så är arbetet dw = F dr. (1) i kan då beräkna arbetet längs hela kurvan genom att beräkna integralen W = F dr. (2) Denna integral är ett exempel på en linjeintegral (kurvintegral). Hur beräknar vi då en linjeintegral. Linjen längs vilken vi integrerar beskrivs av r(τ), där τ 1 τ τ 2, det vill säga vi har en parameterframställning för kurvan. Analogt med den vanliga formeln för variabelbyte i en integral kan vi då skriva F dr = τ2 τ 1 F dr dτ, () dτ och efter att ha beräknat skalärprodukten har vi en helt vanlig integral. Lägg här märke till att dr/dτ är en tangentvektor till kurvan. I princip finns det oändligt många parametriseringar till kurvan, och rent matematiskt spelar det ingen roll vilken man väljer, fast vissa parametriseringar ger snällare räkningar än andra! Ibland är kurvan sluten, det vill säga kurvans start- och slutpunkt sammanfaller. Man skriver då integralen som F dr. (4) Om F dr = (5) för varje sluten kurva, så säges fältet F vara konservativt. För ett konservativt fält F gäller att givet en fix startpunkt A och en fix slutpunkt B, så beror integralen F dr (6) inte på valet av kurvan mellan dessa punkter. Betrakta två kurvor 1 och 2 mellan A och B. Då kan vi skapa en sluten kurva genom att först följa kurvan 1 från A till B, och sedan kurvan 2 baklänges, det vill säga i negativ riktning, tillbaka till A. Integralen över måste då vara, fast den integralen kan vi också skriva som F dr = F dr 1 F dr =, 2 (7) ty integralen byter tecken om vi följer kurvan i fel riktning. Nu följer det att F dr = 1 F dr. 2 (8) 1

2 Det finns andra typer av linjeintegraler, till exempel φdr, (9) där φ är ett skalärt fält, och F dr. (1) Exempel: En elektron rör sig längs banan y = x2 H från (, ) till (L, L2 /H) under inverkan av en elektrostatisk kraft F = ee ŷ. Beräkna det arbete som kraften utför på elektronen. Lösning 1: Arbetet ges av integralen ee ŷ dr, (11) där är den kurva som elektronen följer. i kan nu använda koordinaten x för att parametrisera vår kurva och skriver kurvan som r(x) = (x, x 2 /H). Då gäller att ( dr dx = 1, 2x ). (12) H i kan nu beräkna arbetet ur ee ŷ dr = L ee ŷ dr dx dx = L 2x ee H dx = ee [ x 2 ] L H = ee L 2 H. (1) Lösning 2: Elektrostatiska krafter är konservativa, så vi kan ersätta kurvan med två räta linjer, en 1 som går från (, ) till (L, ) och är parallell med x-axeln, och en kurva 2 som går från (L, ) till (L, L 2 /H) och är parallell med y-axeln. Arbetet kan nu skrivas som ee ŷ dr = ee ŷ dr + 1 ee ŷ dr. 2 (14) Eftersom kraften överallt är ortogonal mot kurvan 1 följer att integralen längs med 1 måste vara noll, så det återstår bara att beräkna ee ŷ dr = ee ŷ ŷdr = ee dr. (15) Den sista integralen ger nu längden på kurvan 2, vilken är L 2 /H, så arbetet blir till slut 2 Ytintegraler ee L 2 H. (16) Exempel: En vätska med densiteten ρ och hastigheten u strömmar genom ett rör med tvärsnittsarean A. Flödet av vätska genom röret (det vill säga kg vätska som per sekund strömmar genom röret är då ρua. ad händer då om vätskans hastighet u beror på avståndet r från rörets symmetriaxel? I så fall får vi definiera en flödestäthet ρu(r) så att flödet genom ett ytelement da blir ρu(r)da. Om vi tar da som en ring med centrum i symmetriaxeln och med en tjocklek dr så är da = 2πrdr och det totala flödet genom röret blir där R är rörets radie. ρu (r) da = R ρu (r) 2πdr, (17) 2

3 För att nu ytterligare komplicera det hela och verkligen blanda in vektorerna så antar vi att vätskan strömmar genom en tvärsnittsarea da, vilken inte är vinkelrät mot vätskans strömningshastighet u. i antar att vinkeln mellan normalvektorn n till ytan da och vätskans hastighet u är θ. Då blir flödet genom ytan da ρuda cos θ. (18) Om vi nu väljer att definiera en vektor da för ett ytelement med storleken da och riktningen n, så ser vi att vi kan skriva flödet som ρu da (19) För resten av den här kursen kommer det ofta att vara lämpligt att på detta sätt beskriva arean av ett ytelement som en vektor. En komplikation är förstås att en yta i allmänhet har två motsatta normalvektorer, och man måste därför ange vilken riktning som är positiv. Ytterligare en komplikation är att det finns ytor för vilka man inte kan definiera normalvektorn på ett kontinuerligt sätt över hela ytan, till exempel Möbius-bandet. i skall inte befatta oss med sådana ytor här, utan begränsa oss till orienterbara ytor, ytor som har en insida och en utsida. i kan nu skriva vätskeflödet genom en godtycklig yta A som ρu da, (2) vilket är ett typiskt exempel på en ytintegral. A Allmänt skriver man ytintegraler över en yta (ofta använder man i de här sammanhangen för att beteckna en yta) som F d. (21) För att skilja dessa integraler från andra ytintegraler, som emellanåt förekommer, kallar man dem för normalytintegraler. Om ytan är sluten så skriver man F d. (22) För slutna ytor definierar man den positiva riktningen som den som ges av en vektor som pekar ut från den inneslutna volymen. Precis som man kan beräkna linjeintegralerna genom att parametrisera linjen längs vilken man integrerar kan man beräkna ytintegralerna genom att parametrisera ytan längs med vilken man integrerar. killnaden är att genom att ytan är två-dimensionell så behöver man två parametrar. Antag att ortsvektorerna för punkterna på ytan kan skrivas som r(v, w) där v och w är våra parametrar. i kan då bilda två tangentvektorer till ytan v och w. (2) Förutsatt att dessa tangentvektorer inte är parallella, annars måste vi finna en ny parametrisering, kan vi bilda en normalvektor till ytan v w. (24) Analogt med hur vi tidigare uttryckte linjeintegralen med hjälp av vår parameter kan vi nu skriva ytintegralen som F dr = F v dvdw. (25) w Exempel: Beräkna ytintegralen av fältet u = (x, z, y) över cylinderytan x 2 + y 2 = 1 mellan z = och z = 1. i kan då beskriva punkterna på ytan genom deras z-koordinat och vinkeln ϕ

4 som ortsvektorn bildar med ˆx-vektorn. Det vill säga r = (cos ϕ, sin ϕ, z), och tangentvektorerna blir = ( sin ϕ, cos ϕ, ) (26) ϕ och Normalvektorn blir i kan sedan beräkna integralen som = u d = 1 2π 1 2π = (,, 1). (27) z dr dϕ dr = (cos ϕ, sin ϕ, ). (28) dz (cos ϕ, z, sin ϕ) (cos ϕ, sin ϕ, ) dϕdz = ( cos 2ϕ + z sin ϕ 2 ) dϕdz = 1 1 2π [ 1 2 ϕ + 1 sin 2ϕ z cos ϕ 4 ( cos 2 ϕ + z sin ϕ ) dϕdz ] 2π dz = 1 πdz = π. (29) Det finns också andra former av ytintegraler, vilka emellanåt används: fd, () där f är en skalär, och vi i detta fall inte betraktar som en vektor. fd (1) killnaden mot det första fallet är att här behandlas som en vektor. v d (2) där v är en vektorvärd funktion. Gauss sats Man kan alltid beräkna integralerna enligt definitionerna ovan, men i vissa fall kan man tillämpa integralsatser, som förenklar beräkningarna. Ett viktigt exempel på en sådan sats är Gauss sats. ats: Antag att u är ett kontinuerligt deriverbart vektorfält definierat i en volym. är den slutna ytan som bildar randen till och n är den utåtriktade enhetsnormalen. Då gäller att ud = u nd. () Kvantiteten u = u x x + u y y + u z z kallar vi för divergensen av u. Om man tänker sig att u är hastigheten för en vätska, så kan man se divergensen av u i en punkt som ett mått på hur mycket vätska som strömmar ut från den punkten. Definitionen av divergensen ovan gäller bara i kartesiska koordinater, men med hjälp av ytintegralen kan vi konstruera en koordinatoberoende definition av divergensen i punkten P 1 divu = lim δ δ δ (4) u d, (5) 4

5 där δ är en liten volym omkring P och δ är dess yta. Lägg märke till att volymen i Gauss sats måste vara sammanhängande, men att det inte är nödvändigt att är sammanhängande. kan mycket väl bestå av ett ändligt antal var för sig glatta ytsegment, så länge som de bara tillsammans bildar en sluten yta. Exempel: Beräkna integralen F d, (6) där F = F /a(x, y, ) och är ytan 2a x 2 y 2 = z, och z 2a. i kan då börja med att beräkna F = 2F /a. Eftersom divergense har ett så enkelt uttryck är det lockande att använda Gauss sats, men ytan är en kon med spetsen i z = 2a och öppningen nedåt; den är alltså inte en sluten yta. i kan dock sluta den genom att lägga till en cirkelskiva, i xy-planet med radien 2a och normalvektorn ẑ. På den slutna ytan + kan vi sedan tillämpa Gauss sats olymen av konen är och alltså blir integralen i kan nu separat beräkna F d = + Fd = 2F a d. (7) d = 1 π (2a)2 2a = 8πa, (8) F d = 2F + a 8πa = 16πF a 2. (9) F d, (4) men här lägger vi märke till att F saknar en z-komponent, så F ẑ =, och integralen över blir också noll. lutligen har vi alltså F d = 16πF a 2. (41) 4 Konservativa fält och potentialer i har definierat ett konservativt fält som ett fält F sådant att F dr = (42) för varje sluten kurva. Till ett konservativt fält kan vi definiera en potential genom att skriva φ (r) = r r F dr. (4) i ser nu att förändringen av potentialen mellan punkterna r och r+dr är men denna förändring kan också skrivas som dφ = F dr, (44) dφ = φ dr. (45) Det följer därmed att det finns en potential φ så att det konservativa fältet F kan skrivas F = φ. (46) (Faktum är att φ är inte entydigt bestämd. Man kan skapa en ny potential genom att addera en konstant till en potential.) 5

6 Omvänt så gäller att ett vektorfält på formen F = φ har alltid rotationen och är därmed konservativt. Allmänt så kan vi beräkna kurvintegralen från r A till r B av det konservativa fältet F ur integralen genom rb τb F dr = φ dr r A dτ dτ = φ (r B) φ (r A ). (47) τ A 6