Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara

Transkript

1 Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår ODE (1MA016): för ingenjörer som lär några extra metoder till att lösa differentialekvationer. Spår TOP (1MA183): för matematikera som lär några extra matematiskt viktiga metoder till att bevisa några av satserna i kursen. Om man är ambitiös kan man följa båda eftersom: ODEer är också viktiga i matematik. De matematiska metoder och bevis i spår TOP ger en djupare insikt i materialet. Men ni kan enbart bliva examinarad i den kurs ni är antagna på. Försök lösa uppgifter förr lektionerna. Det är också viktigt (sedan att detta är en stor kurs) att nu jobbar kontinuerligt under kursen. Där är en dugga den 10 mars. Där är frivilliga inlämningsuppgifter - som blir rättat som var de tentauppgifter. Se närmera beskrivning i kursplanen. Registrera er på studentportalen innan det är för sent. Flervariabelanalys: I envariabelanalys har ni lärt mycket om funktioner R R. I denna kurs ska ni lära om funktioner R n R m där mycket men inte allt från tidigare kan generaliseras. Där är speciell fokus på funktioner: (1) R R m (en kurva i R m oftast är m = 2 eller m = 3) och (2) R n R (en reell värdet funktion beroende på n reella variabler oftast n = 2 eller n = 3). (3) R 2 R 3 (så kallade ytar). Viktigt exempel som kommer att användas ofta på slide 1 (figur 1). Observera att olika saker från envariabelanalys generalisera till dessa special fall. Flera saker generaliserar faktiskt på flera olika sätt. Varför gör vi detta: flervariabelintegration kan användas till att beräkna area - både av områden i planet eller på en yta som sfären i exemplet ovan. flervariabelintegration kan användas till att beräkna volymen av olika objekt i 3 dimensioner. Volymberäkning är ett special fall av total massa beräkning av ett objekt om det har densitet 1g/cm 3 (eller vilka enheter man nu använder). Ett mera generella fall kunna vara att densiteten är en funktion av koordinaterna i de 3 dimensioner ρ(x, y, z) R, och det vill vi också beskriva i denna kurs. Även mera sofistikerat är beräkning av masscentrum, detta använder vektor-integration. Ämnet är generellt jätte viktigt för rörelse i klassiskt mekanik. Men också jätte viktigt för elektrodynamik. Ett magnetfält är ett exempel på ett vektorfält (mycket senare i kursen). 1

2 2 Karta över Jorden - viktigt exempel z π π v 2π u F Karta i (u, v) koordinater Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara F (u, v) = ( cos u cos v, sin u cos v, sin v) = (x, y, z). när en enhet i R 3 motsvarar sfärens radie. x y Figur 1. Slide 1 Termodynamik: temperaturen T (x, y, z, t) beror på 3 rum koordinater och en tids koordinat och är därför en funktion T : R 4 R. Extrempunkt ananlysa av denna funktion kan svara på frågor som: För ett fixerad tidpunkt t vart är temperaturen högst? vart och när är temperaturen högst? vart och när ändrar temperaturen sig snabbast? I meteorologi: vind på ett yta med koordinater (x, y) kan beskrivas (i en jätte simpel modell) som en riktning och styrka v(x, y) i varje punkt (x, y). Det vill säga en vektor i R 2. Så detta kan (lokalt) beskrivas som en funktion v : R 2 R 2. Euklidiska rummet R n Kom i håg: R 1-dimensionellt rum. En linje. R 2 2-dimensionellt rum. Ett plan, med 2 koordinataxlar oftast kallat x och y men också ofta kallat u och v som i exemplet på slide 1. R 3 3-dimensionellt rum. Rymden, med 3 koordinataxlar - ofta x, y och z och i bland (u, v, w) men också i bland (x 1, x 2, x 3 ). Men mera generellt: för ett fixerad n N definieras R n som det n-dimensionella rummet (om du inte tycker om generellt n tänka på exemplet n = 3 och (x 1, x 2, x 3 )): R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 R, x 2 R,..., x n R}. Detta rummet har n axlar, oftast kallat första axeln, andra axeln,..., i:te-axeln,... n:te-axeln. (svårt att visualisera - men i R 4 kan man tänka på fjärde axeln som tid eller t-axeln). Kallar också x i för den i:te koordinaten. Vi skrivar x R n och x = (x 1, x 2,..., x n ) för en sådan n-tupel av reella tal - dessa kallas också vektorer/punkter (i R n ). Vanligtvis gör man skillnad mellan punkter och vektorer i R n, och i fysik kan det vara rätt så bra att tänke på: Punkter som positioner.

3 3 Vektorer som relativa positioner eller hastigheter (beroende på enhet). Men ofta vill vi vara lite oprecisa med detta i denna kurs. För två av dessa vektorer x = (x 1, x 2,..., x n ) och y = (y 1, y 2,..., y n ) och ett reellt tal (skalär) λ R är: x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) och λ x = (λx 1, λx 2,..., λx n ). Vanligtvis definieras dessa inte för punkter, men som sagt vill vi inte alltid vara så precisa. Standardbasen i R n är vektorerna e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),, e n = (0, 0,..., 1). Vi kommer att använda att varje vektor x R n kan skrivas entydigt som en linjär kombination av dessa genom: x = (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. I R 3 betecknas dessa tre vektorer ofta i = e 1 j = e 2 k = e3. Och är vektorerna med längd (norm) 1 och parallella med axlarna x, y och z (respektive). Se figur i boken. Vi kan alltså skriva (x, y, z) = x i + y j + z k. Båda dessa notationer är ofta använda. Så det är bra om ni gör er bekant med båda. Varning 1. Observera att boken använder fet text för vektorer, men här använder jag pil-övernotation. Detta är bland annat för att det är jobbigt att rita fet text på en tavla. Skalär produkten (eller inre produkten) av vektorerna x, y R n är definierad som n x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = x i y i och är alltså ett reellt tal för varje par av vektorer x och y. Normen (eller längden) av en vektor är: x = x x x2 n = n x 2 i = x x i=1 i=1 (= x enligt några av er). Man kan beräkna avstånden mellan två vektorer (eller deras ändpunkten när de är ritat med samma startpunkt) genom: dist( x, y) = x y (= dist(a, B) i figuren under) A x y x = AB y B

4 4 Vi har följande satser (de första två bevisas i Linjär algebra 2): Sats 2 (Cauchy-schwarz olikhet). x y x y för alla x, y R n, och: likhet x och y är parallella. Geometriskt är vinkeln θ mellan x och y definierad genom ( ) x y θ = cos 1, x y som är väldefinierat pga av denna sats (men ger geometriskt mycket mening i 2 och 3 dimensioner). Observera att två vektorer är ortogonala (vinkelrätta mot varandra) om skalär produkten av dem är 0. Sats 3 (triangelolikheten). x + y x + y för alla x, y R n, och likhet x och y är parallella och pekar i samma riktning. x y x + y I ord (intuitivt) säger detta att den direkt vägen är kortera än en omväg via en annan godtycklig punkt. Sats 4. Låt x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. För varje j = 1, 2,..., n gäller x j x x 1 + x x n. Bevis: x j = x 2j x x x2 n = x. Så, x j x. Andra delan för n = 3 (generellt n liknande): (x, y, z) = x i + y j + z k olikhet x i + y j + z k olikhet x i + y j + z k = x + y + z. Mera generellt, x x 1 + x x n.

5 5 z y x Den sista ekvationen och bevisad säger att den samlade längden av de streckade linjerna (parallella med axlarna) är längre än vektorn. Den blå streckade linje är en mellanräkning i bevisad ovan, som är kortare än de två streckade linjerna i xy-planet. Topologi i R n Följande kan göras mycket mera generellt än i R n. Faktisk så ger begreppet avstånd mellan punkter i ett rum upphov till alla begreppen i denna sektion. Det ända begreppet avstånd måste uppfylla i följande för att fungera för ett mera generellt rum är triangelolikheten (men detta är inte en del av kursen). Definition 5. Låt δ > 0 vara ett positivt reellt tal. En δ-omgivning till en punkt a R n består av alla punkter som har avstånd kortera än δ till a. Denna mängd kallas också ett öppet klot (engelska: open ball) med radie δ och mittpunkt a och skrivas: B δ ( a) = { x R n dist( a, x) < δ} = = {(x 1, x 2,..., x n ) R n (x 1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) (x n a n ) 2 < δ 2 }. Ett klot med radie δ och mittpunkt a är mängden B r ( a) = { x R n dist( a, x) δ}. En sfär i R n med radie r och mittpunkt a R n är mängden Exempel 6. S r ( a) = { x R n dist( a, x) = r}. Ett öppet klot i 1 dimension är det samma som ett begränsat öppet interval. B δ (a) = {x R x a < δ} = (a δ, a + δ). Ett klot i 1 dimension är det samma som ett begränsat sluten interval. Ett klot i 2 dimensioner kallas också en disk eller en skiva (see figur i boken). En sfär (som ovan) i 2 dimensioner kallas också en cirkel. Ett klot i 3 dimensioner ser ut som en planet (därav namnet). Se figur 1. En sfär (som ovan) i 3 dimensioner är enbart ytan av planeten. Se figur 1. Man kan också prata om andra sfärer i R n. Till exempel är skärningen av ett plan och en sfär (som definierad ovan) ofta en sfär av mindre dimension (en cirkel) i R 3. Detta är inte en sfär av typen ovan eftersom det inte är alla punkter i R 3 med ett visst avstånd till en annan punkt. Det är dock sfären i planet x + y = 1 med ett visst avstånd till en viss punkt i planet.

6 6 Exempel 7. Skärningen av sfären med ekvationen x 2 + y 2 + z 2 = 1 och planet med ekvationen x + y = 1. Detta är illustrerat i figur 10.9.(b) i boken (den blå cirkel är skärningscirkeln). Vi beräknar nu mittpunkten C och radien av denna cirkel. Pga symmetri måste mittpunkten C av cirkeln uppfylla att OC (vektorn från origo till C) är ortogonal mot planet. Alla vektorer ortogonal mot planet är skalningar av normalvektorn n = (1, 1, 0). Då C måste lägga i planet måste vi alltså hitta t R så att (t, t, 0) lägger i planet: t + t = 1 t = 1 2. Så mittpunkten är C : ( 1 2, 1 2, 0). Då (1, 0, 0) ligger på cirkeln (är båda i planet och i sfären) måste 1 radien av denna cirkel vara: dist(c, (1, 0, 0)) = = 2 2. I andra fall är skärning av ett plan och 2-sfär en enda punkt (när planet och sfären tangerar) eller ingenting. Definition 8. Komplementet S c av en mängd S R n är mängden av alla de punkter i R n som inte är i S. Alltså: Exempel 9. och S c = { x R n x / S}. B r ( a) c = { x R n dist( x, a) < r} c = { x R n dist( x, a) r} B r ( a) c = { x R n dist( x, a) r} c = { x R n dist( x, a) > r} Definition 10. För en mängd S R n kallas en punkt a R n : en inre punkt till S om där finns δ > 0 så att B δ ( a) S. Vi kallar mängden av dessa int(s) ( int pga engelska ordet: interior). en yttre punkt till S om där finns δ > 0 så att B δ ( a) S c. Vi kallar mängden av dessa ext(s) ( ext pga: exterior). en randpunkt till S om den inte är en inre eller yttre punkt. Det vill säga att för alla δ > 0 har B δ ( a) gemensamma punkter med båda S och S c. Vi kallar mängden av dessa bdry(s) ( bdry pga: boundary). Observera att denna definition har något symmetri och därför att int(s) = ext(s c ). ext(s) = int(s c ). bdry(s) = bdry(s c ). Exempel 11. De inre punkter till ett klot är det öppna klotet med samma radie och mittpunkt. Randen är sfären med samma radie och mittpunkt. Se figur i boken för illustration i det 2 dimensionella fallet. Alltså int(b r ( a)) = B r ( a). bdry(b r ( a)) = S r ( a).

7 7 Exempel 12. Om S = {(x, y) R 2 x + y 2}. Då är S c = {(x, y) R 2 x + y < 2}. x + y = 2 S S c För denna mängd S är int(s) = {(x, y) R 2 x + y > 2} (allt över linjen). ext(s) = {(x, y) R 2 x + y < 2} (allt under linjen). bdry(s) = {(x, y) R 2 x + y = 2} (linjen).