Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Transkript

1 Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215

2 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning av tokes sats 3 Övningar var Lösningsskisser

3 Gauss sats divergenssatsen Låt vara en sluten (styckvis glatt) yta med utåtriktad normal ˆn, som begränsar ett område V, samt A ett kontinuerligt differentierbart vektorfält i V (mer precist i en öppen omgivning som innehåller V och ) ^n(x) V V A dv = jämför integration in R: b a df(x) dx A d = dx = f (b) f (a) A ˆnd

4 Exempel Beräkna normalytintegralen F d av vektorfältet F givet av (sfäriska koordinater r, θ, φ) F (r) = ˆr 1 r 2 över ytan som definieras av (Prolat sfäroid, halvaxlar 1,1,2) = {r : x 2 + y 2 + z2 4 = 1, z > } 1. y {.5..5 ^n 2. { {1. {.5 x..5 1.

5 Lösning I Ytan är komplicerad att parameterframställa, så vi undersöker om vi kan välja annan yta för integration Vi konstaterar: Vektorfältet är singulärt i origo (måste undvikas) Beräkna F i sfäriska koordinater, r > F = 1 ( r 2 ) 1 r 2 F r + r r sin θ = 1 r 2 r (1) = θ (sin θf θ) + 1 F φ r sin θ φ

6 Lösning II Vi sluter ytan med en halvsfär i övre halvrymden (Halvsfär i övre halvrymden) = {r : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z > } 1. y..5 {.5 ^n 2. { V 1..5 ^n. {1. {.5. x.5 1. luten yta: 1 bestående av och med normalriktningar givna enligt figur F = i volymen V, som har 1 som begränsningsyta

7 Lösning III Tillämpa Gauss sats på volymen V som har 1 som begränsningsyta F d = F d = ( F ) d = + 1 V F d = F d

8 Lösning IV Vi beräknar enkelt normalytintegralen på (ytmått d = ˆrr 2 sin θdθdφ, r = 1) F d = = 2π π/2 ( 2π π/2 ) F ˆrr 2 sin θdφ dθ sin θdθ = 2π cos θ π/2 = 2π Till slut F d = 2π

9 tokes sats Låt vara en (styckvis glatt) yta med randkurva L, och låt omloppsriktningen på L vara relaterad till ytan :s ytnormal ˆn med högerregeln, samt A ett kontinueligt differentierbart vektorfält på (mer precist i en öppen omgivning som innehåller och L) ^n(r) A dl = L ( A) d L Gäller för alla ytor som har L som randkurva Obs! Ytan måste ha två sidor, jämför Möbius-band

10 Exempel Beräkna tangentlinjeintegralen L F dl av vektorfältet F givet av (sfäriska koordinater r, θ, φ) r F (r) = ˆr a 2 sinh r/a + sin φ/2 ˆφ r sin θ över kurvan L som definieras av skärningen mellan ytorna (omloppsriktning moturs, sett projicerad i x-y-planet) { (x 1) 2 + y 2 = 4 cirkulär cylinder (radie 2, axel parallell med ẑ) r 2 c = x 2 + y 2 = 1/z {2 1. y { { 2 x 2 {2 y {1. 1 x L 2 3

11 Lösning I Kurvan L är komplicerad att parameterframställa, så vi undersöker om vi kan välja annan integrationsväg Vi konstaterar Vektorfältet är singulärt längs z-axeln (måste undvikas) Beräkna F i sfäriska koordinater, r c > ( 1 F =ˆr r sin θ θ (sin θf φ) F ) θ φ + ˆθ 1 ( 1 F r r sin θ φ (rf ) φ) + r ˆφ 1 ( (rfθ ) F ) r r r θ ( ) 1 sin φ/2 =ˆr r sin θ θ r + ˆθ 1 ( ( ) 1 r r sin θ φ a 2 ( )) sin φ/2 sinh r/a r sin θ ˆφ 1 ( ) r r θ a 2 = sinh r/a

12 Lösning II Vi förenklar integrationsvägen till en cirkel i x-y-planet m.h.a. tokes sats L = {r : x 2 + y 2 = b 2, z = } 1. {2 {1 y C C L. {1 x 1 2 L 3 luten kurva γ bestående av L, C, L och C med givna rikningar F = på en begränsningsyta som har γ som rand

13 Lösning III Tillämpa tokes sats på begränsningsytan som har γ som rand F dl = ( F ) d = F dl = F dl γ L L Tangentlinjeintegralerna längs C och C tar ut varann

14 Lösning IV Vi beräknar tangentlinjeintegralen längs L (linjemått dl = r c ˆφdφ, θ = π/2, r c = b) L F dl = = 2π F b ˆφ dφ = 2π 2π sin φ/2 r sin θ b dφ sin φ/2 dφ = 2 cos φ/2 2π = 4 oberoende av b Till slut L F dl = F dl = 4 L

15 Övningar Gauss och tokes satser 1. Beräkna normalytintegralen F d av vektorfältet F xz F (r) = ˆx x 2 + y 2 + ŷ yz x 2 + y 2 över ytan, som är den del av hyperboloiden 1 = {r : x 2 + y 2 z 2 = a 2 }, som begränsas av området mellan planen { 2 = {r : z = a} 3 = {r : z = 2a} Ytnormalen är riktad från z-axeln. 2. Beräkna tangentlinjeintegralen L F dl av vektorfältet F (sfäriska koordinater r, θ, φ) ( r ) 3 ( F (r) = ˆr + ˆφ 1 + a ) a r sin θ Kurvan L definieras av skärningen mellan ytorna (omloppsriktning moturs, sett projicerad i x-y-planet) { x 2 + y 2 = 4a 2 cirkulär cylinder (radie 2a, axel parallell med ẑ) x 2 + (y + a) 2 + z 2 = 9a 2, z > halvsfär, radie 3a, centrum i (, a, )

16 Övningar Gauss och tokes satser svar 1. 3πa πa

17 Lösningsskiss 1 kriv om vektorfältet m.h.a. enhetsvektorerna i cylinderkoordinater ( ) x F (r) = z ˆx x 2 + y 2 + ŷ y x 2 + y 2 = z r c rc 2 = z ˆr c r c Beräkna divergensen av F i cylinderkoordinater. För r c > gäller F (r) = 1 r c (r c F c ) + 1 F φ r c r c φ + F z z = 1 (z) = r c r c

18 Lösningsskiss 1, forts. ^ n y lut ytan med de tre delarna ( < b < a) = {r : z = 2a, b < r < 5a} c 2 3 = {r : z = a, b < rc < 2a} 4 = {r : a < z < 2a, rc = b} x Normalytintegralen blir m.h.a. Gauss sats ZZ ZZ ZZ F d = F d = Z a Z 2π = a ^ n F d 4 Z 2a z zdz = 3πa2 rc dφ dz = 2π rc a ^ n

19 Lösningsskiss 2 Beräkna rotationen av vektorfältet i sfäriska koordinater. För r c > gäller ( 1 F =ˆr r sin θ θ (sin θf φ) F ) θ φ + ˆθ 1 ( 1 F r r sin θ φ (rf ) φ) + ˆφ 1 ( (rfθ ) F ) r r r r θ ( 1 ( ( =ˆr sin θ 1 + a )) ) r sin θ θ r sin θ ( + ˆθ 1 1 r a r sin θ φ ( ( ))) r 1 + a r sin θ ˆφ 1 ( r ) a r r θ =ˆr cos θ r sin θ ˆθ 1 r = ˆr cos θ ˆθ sin θ r c = ẑ r c

20 Lösningsskiss 2, forts. 3 Låt L beteckna kurvan 2 L L = {r : x 2 + y 2 = 4a 2, z = 1} 1 C C { 1 { 2 { 1 L 1 2 x 1 { 1 y och använd tokes sats på den slutna kurvan L + C + L + C, och välj yta som mantelytan med L, C, L och C som ränder. På är ˆn = ˆr c F dl = L+C+L +C ( F ) ˆn d = 2 { 2 ẑ r c ˆr c d =

21 Lösningsskiss 2, forts. Detta ger (linjeintegralerna längs C och C tar ut varann) L 2π F dl = F dl = F ˆφ2adφ L 2π ( = 1 + a ) 2adφ = 6πa 2a