MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.

Transkript

1 MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017

2 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell deriverbarhet för en funktion av n variabler. Definition 1. Låt f : D R, D R n. Låt a = (a 1,..., a n ) D. Om gränsvärdet f(a + he j ) f(a) f(a 1,..., a j + h,..., a n ) f(a 1,..., a n ) lim = lim h 0 h h 0 h existerar säges f vara partiellt deriverbar med avseende på variabeln x j i punkten a. Detta gränsvärde kallas då den partiella derivatan till f med avseende på x j i punkten a. I definitionen ovan utgör vektorn e j en enhetsvektor längs x j -axeln och definitionsmängden D en så kallad domän, det vill säga en öppen och sammanhängande mängd. Det finns olika sätt att beteckna den partiella derivatan i en punkt a. Två exempel på vanligt förekommande beteckningar är x j (a) och f x j (a). Den partiella derivatan till en funktion med avseende på en variabel x j beräknas genom att man deriverar funktionen med avseende på x j och behandlar övriga variabler som konstanter. Själva deriveringen sker enligt samma regler som derivering av en funktion av en variabel. Värt att notera är att en funktion som är partiellt deriverbar i en punkt inte nödvändigtvis måste vara kontinuerlig i den punkten. Alltså är begreppet partiell deriverbarhet inte en direkt motsvarighet till deriverbarhet för en funktion av en variabel, eftersom deriverbarhet i detta fall också innebär att funktionen är kontinuerlig. Ett begrepp som däremot även tar hänsyn till kontinuitet hos en funktion är differentierbarhet, vilket beskrivs i nästa kapitel. 2 Differentierbarhet Definition 2. Låt f(x) vara definierad i D R n och a vara en inre punkt i D. Vi säger att f är differentierbar i a om det finns en vektor A och en funktion ρ s.a. f(a + h) f(a) = A h + h ρ(h) (1) där ρ är en funktion definierad i en omgivning av 0 och ρ(h) 0 då h 0 Om en funktion uppfyller definitionen för differentierbarhet så kommer vektorn A att vara gradienten till f vilket kan inses genom definitionen för partiella derivator. Från detta får vi följande sats. 1

3 Sats 1. Om f är differentierbar i a så existerar alla partiella derivator till f i a R n och ( A = (a),..., ) (a) (2) x 1 x n Då D R 2 kan vi från definitionen också få en formel för tangentplanet i en punkt (x 0, y 0, z 0 ). Bortser vi från feltermen och sätter z = f(x + h, y + k) och z 0 = f(x, y) så har vi z z 0 = x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ) (3) Ur definitionen följer också att lim f(a + h) f(a) = 0 (4) h 0 alltså att alla differentierbara funktioner också är kontinuerliga funktioner. Definition 3. Vi säger att en funktion f : R n R är av klass C k om alla dess k:te partiella derivator existerar och är kontinuerliga. Vidare på kontinuitet och differentierbarhet har vi en sats. Sats 2. Om f C 1 = f är differentierbar Satsen visas med medelvärdessatsen när vi i två variabler lägger till och drar ifrån, vi får att f(a + h, b + k) f(a, b) = (f(a + h, b + k) f(a + h, b)) + (f(a + h, b) f(a, b)) (5) i ena parentesen ser vi x som fixt, och i andra y. Vi kan då tillämpa medelvärdessatsen i en variabel. 3 Gradient och riktningsderivata Definition 4. Givet f : R n R och f C 1 gäller att ( f =,..., ) x 1 x n (6) är gradienten till f. 2

4 En gradient till en funktion f, betecknad f, är en vektor utgående från en punkt på funktionsytan. Denna vektor pekar i den riktning i vilken f växer snabbast i punkten. Ur detta fås därmed även att f avtar snabbast i motsatt riktning. Gradienten för en funktion f kan beskrivas ur ett geometriskt perspektiv med hjälp av en nivåyta till funktionen. Vid val av en punkt (a, b, c) på nivåytan, kan ett tangentplan dras genom punkten. f(a, b, c) pekar då i samma riktning som normalen till tangentplanet med utgångspukt i (a, b, c), därmed vinkelrätt mot tangentplanet. Införs en tidsvariabel t, så att x = x(t) och y = y(t), kommer nivåkurvan f(x(t), y(t)) = C ha en derivata med avseende på t som är identiskt noll. Kedjeregeln ger f(x(t), y(t)) (x (t), y (t)) = 0 (7) t i parameterintervallet. För punkten (a, b) där t = t 0, fås f(a, b) (x (t 0 ), y (t 0 )) = 0 (8) där (x (t 0 ), y (t 0 )) är nivåkurvans tangentriktning i punkten (a, b). Om då ger definitionen för skalärprodukt att f(a, b) 0 (9) f(a, b) (x (t), y (t)). (10) Därmed är f vinkelrät mot tangentlinjen till f:s nivåkurva i punkten (a, b). Detta gäller i alla punkter tillhörande nivåkurvan. Definition 5. Givet en reellvärd funtktion f : R n R där f är differentierbar samt givet en enhetsvektor û R n och en punkt a R n är f(a + hû) f(a) (a) = lim u h 0 h funktionsderivatan i denna punkt a längs en rät linje från a parallell med û, också kallat riktningsderivatan till f i riktningen û. (11) Sats 3. Givna alla villkor som i ovan så är (a) = û f(a) (12) u Bevis. För att bevisa att detta är fallet ska vi använda definitionsformeln för differentierbarhet. Vi har, ty funktionen är givet differentierbar, att f(a + hû) f(a) = A 1 hu A n hu n + hû ϱ(h) (13) 3

5 där (1) û = (u 1, u 2,..., u n ) och û = 1 (2) A k är den partiella derivatan längs x k -axeln, (3) ϱ(hû) 0 då h 0 Notera nu att f x k, (k = 1, 2,..., n) i den givna punkten a A 1 hu A n hu n = (A 1, A 2,..., A n ) hû = ( x 1, x 2,..., x n ) hû = f(a) hû (14) Division med h i ekvation 13 ger tillsammans med denna notering 14 att f(a + hû) f(a) h = f(a) û ± ϱ(hû) (15) Alltså blir f(a + hû) fa) (a) = [def] = lim = f(a) û (16) u h 0 h Känt att skalärprodukten av f(a) och û också definieras som f(a) û cos(θ) om θ är vinkeln mellan û och f(a). Det vill säga riktingsderivatan kan också beräknas på följande sätt (a) = f(a) û cos(θ). (17) u och olikheten (a) = f(a) cos(θ) f(a) (18) u kan fastställas med likhet om och endast om θ = 0 det vill säga om och endast om û pekar i gradientens riktning. Vi ser att detta överrensstämmer med gradientens definition. 4 Kedjeregeln Från envariabelanalysen vet vi att sammansatta funktioner på formen f(x) = g(h(x)) kan deriveras med derivatan f (x) = g (h(x)) h (x). Kedjeregeln kan även generaliseras till att gälla i flera variabler, där följande gäller: 4

6 Sats 4. Låt f(x) = f(x 1,..., x n ) beteckna en differentierbar funktion av n variabler och antag att funktionerna g 1 (t),..., g n (t) är deriverbara i intervallet a < t < b på R. Då gäller att den sammansatta funktionen f(g(t)) också är deriverbar i a < t < b och d dt f(g(t)) = f x 1 (g(t)) g 1(t) f x n (g(t)) g n(t), (19) där g(t) = (g 1 (t),..., g n (t)). I flervariabelanalysen förekommer även en mer allmän form av kedjeregeln. Denna regel används när även de inre funktionerna beror av flera variabler enligt f(g(t)) = f(g 1 (t 1,..., t q ),..., g n (t 1,..., t q )). (20) I ekvation (20) ovan gäller att t = (t 1,..., t q ) R q och g(t) = (g 1 (t),..., g n (t)) R n För ekvation (20) gäller att de partiella derivatorna med avseende på var och en av variablerna t j, j = 1,..., q beräknas enligt t j f(g(t)) = f g 1 (g(t)) g 1(t) f g n (g(t)) g n(t). (21) 5 Partiella derivator av högre ordning Låt oss nu betrakta f : R n R. Vi vill studera partiella derivator av högre ordning, vilket i helhet innebär att en funktion har deriverats mer än en gång med avseende på en eller flera av dess variabler. Exempel på notation är j f x j, f xy (x, y) och 3 f x y z. Definition 6. Vi säger att en funktion f : R n R är av klass C k, eller att f C k om alla dess partiella derivator upp till ordning k existerar och är kontinuerliga. Vid upprepad derivering är det vanligt att derivera med avseende på olika variabler, och därmed - med hjälp av definition 6 - formulerar vi en sats om att de partiella deriveringoperatorerna kommuterar. Sats 5. Låt f : R k R och f C k, då gäller - där π(q) och ψ(q) är godtyckliga n-tupler av tal mellan 1 och k - att 5

7 n f n f =, x π(1)... x π(n) x ψ(1)... x ψ(n) 2 n k Bevis. Vi vill bevisa påståendet för fallet k = 2, f = f(x 1,..., x m ) Ansätt F (x) = f(a + h, b + h,..., c m ) f(x, b,..., c m ) och G(y) = f(a + h, y + h) f(a, y). Då både F och G är differentierbara, ty f är differentierbar enligt antagandet, använder vi Lagranges medelvärdesats. Vi kan utan inskränkning använda oss av x 1 = x och x 2 = y för beviset, ty de är godtyckligt valda av samtliga variabler. ξ (a, a + h) : hf (ξ) = F (a) (22) η (b, b + h) : hg (η) = G(b) (23) Vi ser att F (a) = G(b), vilket ger att F (ξ) = G (η). (24) F (ξ) = f x (ξ, b + h,..., c m ) f x (ξ, b,..., c m ) θ (b, b + h) : F (ξ) = hf yx (ξ, θ,..., c m ) (25) G (η) = f y (a + h, η,..., c m ) f y (a, η,..., c m ψ (a, a + h) : G (η) = hf xy (ψ, η,..., c m ) (26) Likheten i (24) ger oss f yx (ξ, θ,..., c m ) = f xy (ψ, η,..., c m ). (27) Låter vi nu h 0 ser vi att (ξ, θ) (a, b), (ψ, η) (a, b), vilket bevisar fallet k = 2. Vi ser också att med hjälp av induktion kan samma metod tillämpas för att ge ett fullständigt bevis för satsen. 6