Tavelpresentation. Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom. Januari 2018

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Tavelpresentation. Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom. Januari 2018"

Transkript

1 Tavelpresentation Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom Januari 2018

2 1 Partiella derivator och deriverbarhet Differentierbarhet i en variabel Att funktionen f är differentierbar i punkten x = a är ekvivalent med f(a + h) f(a) lim. h 0 h Detta innebär i sin tur att man kan linjärisera funktionen med en ekvation, låt f(a + h) f(a) A := lim. h 0 h Alltså är A = f (a) då f är differentierbar i x = a. Sätt ρ(h) = f(a + h) f(a) h A (1) ρ(h) kallas för feltermen. Då är det möjligt att linjärisera f(a + h) enligt (2) f(a + h) = f(a) + Ah + hρ(h), (3) då ρ(h) 0 då h 0. Differentierbarhet i flera variabler Definition: Låt f(x, y) vara en funktion av två variabler definierad i en domän D R 2. Då sägs f vara differentierbar i en punkt (a, b) D om det existerar A R och B R sådana att f(a + h, b + k) = f(a, b) + Ah + Bk + h 2 + k 2 ρ(h, k), (4) där ρ(h, k) 0 då h, k 0. Den geometriska tolkningen av vad differentierbarhet är i n-antal variabler är inte lika intuitiv för n = 1 då vi har med oss sen tidigare att differentierbarheten symboliseras av en tangentlinje i den aktuella punkten. I rummet, det vill säga n = 2, är den geometriska tolkningen ett tangentplan i punkten. I högre dimensioner, n > 2, symboliseras differentierbarheten av så kallade tangenthyperplan. Att kontrollera huruvida ρ(h, k) går mot noll eller inte kan vara krångligt att undersöka. Lyckligtvis finns det ett enklare sätt att kolla huruvida en funktion är differentierbar eller inte. 1

3 Definition: Låt D R n vara en domän. Då definieras C n (D) := {f : D R alla f s partiella derivator av ordning n existerar i hela D och är kontinuerliga funktioner}. Då gäller Sats: Låt D R n differentierbar på D. vara en domän, då gäller att om f C 1 (D) då är f Vidare gäller att om f(x, y) är differentierbar i (a, b) och uppfyller (4) så existerar de partiella derivatorna A och B i (a, b) och A = f x (a, b) = f(a, b), B = f y (a, b) = x där de partiella derivatorna f x och f y är definierade enligt f(a, b), (5) y f(a, b) f(a + h, b) f(a, b) := lim, x h 0 h (6) f(a, b) f(a, b + k) f(a, b) := lim. y k 0 h (7) Intuitivt beskrivet görs detta genom att derivera med avseende på variabeln i fråga och behandla den andra variabeln som konstant. Detta kan även generaliseras till n-st variabler genom följande definition. Definition: Låt f(x 1,..., x n ) vara en funktion av n variabler definierade i en domän D R n. Då sägs f vara differentierbar i en punkt (a 1,..., a n ) D om det existerar konstanter A 1,..., A n R sådana att f(a 1 + h 1,..., a n + h n ) = f(a 1,..., a n ) + n ( n A i h i + i=1 där ρ(h 1,..., h n ) 0 då (h 1,..., h n ) (0,..., 0) i=1 h 2 i ) ρ(h 1,..., h n ), Förkortat och med hjälp av definitionen av vektorer kan detta skrivas som (8) f( a + h) = f( a) + f( a) h + h ρ( h), (9) där ρ( h) 0 då h 0. För förklaring av f( a) vänligen se avsnitt 3. 2

4 2 Kedjeregeln Vid beräkning utav derivatan av en sammasatt funktion som beror på en variabel så kan man tillämpa kedjeregeln. Kedjeregeln går som bekant ut på att stegvis derivera de olika delarna utav en sammansatt funktion separat enligt: Sats: Antag att f är deriverbar i g(x) och att g är deriverbar i x. Då kan derivatan utav den sammansatta funktionen f(g(x)) beräknas: d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x) (10) Vid studier utav analys i flera variabler måste kedjeregeln generaliseras för att kunna beräkna derivator utav sammasatta funktioner av ett godtyckligt antal variabler. Sats: Låt f(x) = f(x 1,..., x n ) vara en differentierbar funktion utav n variabler och anta att funktionerna g(t),..., g n (t) är deriverbara i intervallet t (a, b) R. Då är den sammansatta funktionen f( g(t)) deriverbar med derivatan: d dt f( g(t)) = f x 1 ( g(t))g 1(t)+,....., +f xn ( g(t))g n(t). (11) Betraktar man fallet med funktionsbeteckningarna u( x) = u(x x n ) och x = x(t), u( x) = u( x(t)) = u(x 1 (t)...x n (t)) så kan man formulera kedjeregeln på ett mer komprimerat sätt du dt = u dx 1 x 1 dt + + u dx n x n dt (12) där u x k representerar den partiella derivatan med avseende på termen x k för k = 1, 2,..., n. Allmänt ger kedjeregeln också möjligheten att beräkna derivator av sammansatta funktioner där även den inre funktionen består utav flera variabler. Antag att u beror av n stycken variabler x 1,..., x n och dessa x i sin tur beror utav q st variabler, t 1... t q. Om vi väljer en variabel t r och deriverar den sammansatta funktionen med avseende på denna så ska de övriga t termerna betraktas som konstanter inom deriveringen. Detta resulterar i att alla funktioner beror utav en variabel, vilket ger u = u x u x n, (13) t r x 1 t r x n t r som representerar derivatan med avseende på variabeln t r. 3

5 3 Gradient och riktingsderivator Gradienten är en vektor och ett sätt att samla alla av funktionen f:s partiella derivator. Mera precist, gradienten pekar i riktningen för funktionens största förädringstakt och dess storlek är grafens lutning i den riktningen.. Låt f : R n R vara en differentierbar funktion f. Då definieras gradienten till f som vektorn grad (f) = f = ( f,..., f ). (14) x 1 x n Notera att x 1, x 2,..., x n är beteckningen på de alla olika variablerna som är partiellt deriverade. Formeln för differentierbarhet skulle med hjälp av vektornotation kunna skrivas som f( a + h) f( a) = f( a) h + h ρ( h), (15) där ρ( h) 0 då h 0. Intuitivt kan man betrakta en riktningsderivata till en funktion f som att den visar derivatan av en funktion i en viss riktning i en viss punkt. Definition: Låt f : D R där D R n är en domän och låt a D. Vidare låt û vara en enhetsvektor i R n. Då definieras riktningsdervatan av f i punkten a och i riktning û som f( a) u = f f( a + hû) f( a) u( a) = lim. (16) h 0 h Sats: Låt f : D R där D R n är en domän och låt a D. Om f är differentierbar gäller för en godtycklig riktning û R n att 4 Derivator av högre ordning f u ( a) = û f( a). (17) Om de partiella derivatorna för funktionen f(x 1,..., x n ) också är partiellt deriverbara, kan andra ordningens partiella derivator skrivas: ( ) f. (18) x i x j För i, j = 1, 2,..., n kan detta även skrivas: 2 f x i x j, (19) 4

6 Om x i = x j skriver man 2 f x 2. (20) i Ett tredje sätt att skriva detta är: f xjx i (21) där man utför de partiella deriveringarna från höger till vänster. Om de andra ordningens partiella derivator är partiellt deriverbara kallas de nya för tredje ordingens partiella derivator etcetera. Def: Låt D R n vara en domän och låt k 0 vara ett heltal. C k (D) = {f : D R alla partiella derivator till f av ordning k finns i hela D och är kontinuerliga funktioner} Sats: Antag att f C k (D), då gäller det ordingen i vilken man deriverar är irrelevant i en partiell derivata av ordning k. 5

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017 Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................

Läs mer

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian. MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell

Läs mer

Lektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln

Lektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln Lektion 3 Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys 1 / 15 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 6 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 15 SF1626 Flervariabelanalys Dagens Lektion För funktioner från R n till R ska

Läs mer

1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.

1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2. Lektion 5 Innehål 1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.7) Innehål 1. Gradient och riktningsderivata

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys

MA2001 Envariabelanalys MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08 Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor

Läs mer

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6 Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 12.2 Gränsvärden och kontinuitet. 12.3 Partiella derivator, tangentplan och normaler till funktionsytor. 12.4 Högre ordningens derivator. 12.5

Läs mer

Differentialens geometriska betydelse

Differentialens geometriska betydelse Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Differentialens geometriska betydelse Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Differentialens geometriska betydelse 1 (9) Introduktion

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Meningslöst nonsens. November 19, 2014 November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN) 23-8-22 kl 4 9 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/ Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

En normalvektor till g:s nivåyta i punkten ( 1, 1, f(1, 1) ) är gradienten. Lektion 6, Flervariabelanalys den 27 januari z x=y=1.

En normalvektor till g:s nivåyta i punkten ( 1, 1, f(1, 1) ) är gradienten. Lektion 6, Flervariabelanalys den 27 januari z x=y=1. Lektion 6, Flervariabelanals den 27 januari 2000 1272 Givet funktionen och punkten p 1, 1, beräkna a gradienten till f i p, f, + b en ekvation för tangentplanet till f:s graf i punkten p, fp, c en ekvation

Läs mer

Differentierbara funktioner

Differentierbara funktioner Analys 36 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Differentierbara funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Differentierbara funktioner 1 (16) Introduktion I det här kapitlet

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Anals B för KB/TB (TATA9/TEN1 214-3-21 kl 14 19 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betgsgränser:

Läs mer

= 0 vara en given ekvation där F ( x,

= 0 vara en given ekvation där F ( x, DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner. Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002

R AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002 RÄKNEÖVNING VECKA 2 David Heintz, 3 november 22 Innehåll Uppgift 29.4 2 Uppgift 29. 3 3 Uppgift 29.2 5 4 Uppgift 3. 7 5 Uppgift 3. 9 6 Uppgift 3.2 Uppgift 29.4 Prove that ln( + x) x for x >, and that ln(

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi

Läs mer

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.

Läs mer

Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)

Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22) Krzysztof Marciniak, ITN Linköings universitet tfn 0-36 33 0 krzma@itn.liu.se Lösningar till tentamen TEN i Envariabelanalys I (TNIU ) för BI 0--4 kl. 08.00 3.00. Enligt den geometriska betydelsen av derivatan

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n. ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot

Läs mer

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =

Läs mer

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.) Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=

Lösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >= KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Läsanvisningar till flervariabelanalys

Läsanvisningar till flervariabelanalys Läsanvisningar till flervariabelanalys Anders Johansson (Bearbetning från Gunnar Bergs) 2011-08-30 tis Kapitel 10-11 Denna första anvisning handlar om innehållet i kapitel 10 och 11. Huvuddelen av det

Läs mer

Partiella differentialekvationer (TATA27)

Partiella differentialekvationer (TATA27) Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018 Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 5-- Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer aril 5, kl 9:-: (a) Vi använder

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed.

Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Del 2 (funktioner av flera variabler). Omfattning: Kapitel 8.2, 8.3 t.o.m. s 497, 8.4, endast båglängd, 8.5 tom s. 506, 10.1, 10.5,

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

eller uttryckt med funktionerna Lektion 5, Flervariabelanalys den 26 januari 2000 t + f t = f

eller uttryckt med funktionerna Lektion 5, Flervariabelanalys den 26 januari 2000 t + f t = f Lektion 5, Flervariabelanals den 26 januari 2000 12.5.2 Beäm om f,,, där gs, hs, t och kt. eller uttrckt med funktionerna f h + f dk dt. Vi ska för bena ut hur variablerna beror av varandra genom att rita

Läs mer

Tentamen SF e Januari 2016

Tentamen SF e Januari 2016 Tentamen SF6 8e Januari 6 Hjälpmedel: Papper, penna. poäng per uppgift totalt poäng. Betg E är garanterat vid 6 poäng, betg D vid poäng, betg vid C poäng, betg B vid 8 poäng och betg A vid poäng. För de

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf. TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att

Läs mer

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2. Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4

Läs mer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer). Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

2.5 Partiella derivator av högre ordning.

2.5 Partiella derivator av högre ordning. 2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

Meningslöst nonsens. December 14, 2014 December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett

Läs mer

1 Ickelinjär optimering under bivillkor

1 Ickelinjär optimering under bivillkor Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller

Läs mer

Om kontinuerliga funktioner

Om kontinuerliga funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens Grunder Om kontinuerliga funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om kontinuerliga funktioner 1 (12) 1 Introduktion Vi ska nu diskutera

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Iterationer på ett intervall av Fredrik Bratt 2011 - No 3 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i

Läs mer

Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!

Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade! MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Annemarie Luger Lösningsförslag Anals, problemlösning, 7.5 hp Matematik I den 5 februari 4 Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer