MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Transkript

1 MA00 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 0 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som tet i en Input Cell. Övrig tet som i en Tet Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". I svarsalternativen anges inga enheter, tp N, m,..., även om det förekommer i frågan! För bedömning och betgsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lcka till! Bertil. Bestäm längden av. (p) Låt vektorerna,,,, 0, och,,. Del A 5 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica. Lösningsförslag: Först lite multiplikation och addition till, sedan längden.. 7,, 57 a 57 b c Normalize d. Bestäm en enhetsvektor i riktningen. (p) Lösningsförslag: Vi söker.. a 5,0, 5, 0, b Norm c 5, 0, d, 0,. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive. Sök ortsvektorn för punkten mitt på sträckan AB. (p) Lösningsförslag: Linjärkombination a 5,, 6, 5, b 6, 7, 5 c 6 7,, 5 d 5,,. Bestäm skalären s så att vektorn s blir vinkelrät mot. (p) Lösningsförslag: Vi vet att s s 0, så Solve s. 0 s 6 5 Rätt svarsalternativ: e a Solve s 0 b c d 6 5

2 5. Beräkna vinkeln mellan och negativa -aeln. (p) Lösningsförslag: Vinkeln direkt ur definition på skalärprodukt. 0,, 0. ArcCos. Π a arccos 5 b Π c Π d ArcCos 0,0,. 6. Bestäm z-komponenten av projektionen av på. (p) Lösningsförslag: Eftersom vi har gott minne, behöver vi inte härleda formeln.. 5, 5, 5 5 a.. b 5,, c 5 0, 0, d 5 7. En kraft har storleken 0 N och verkar i samma riktning som. Bestäm. (p) Lösningsförslag: Som vanligt gör vi uppdelningen F F. 0 Normalize 6, 0, 8 Rätt svarsalternativ: e a 0, 0, b 5, 0, c 5, 0, d, 0, 8. Kraften N angriper i en punkt som har m som ortsvektor. Bestäm momentet kring origo. (p) Lösningsförslag: Räkna på,, 7, a b, 7, c, 7, d, 7, Rätt svarsalternativ: e 9. Låt. Beräkna. (p) Lösningsförslag: Räkna på! ;. 0 0 a b 0 0 c d 0. Studera enhetskvadraten, det vill säga med sidan. Se figur. Låt i, i,,, vara ortsvektorerna till dess numrerade hörn. Vilken figur erhålles efter transformationen i? p 0

3 Lösningsförslag: Efter multiplikation av de fra ortsvektorerna enligt receptet i problemteten inser vi att... a b c d. Sök matrisen så att vektorerna och blir varandras spegelbilder i z-planet. (p) Lösningsförslag: Detm ska tdligen gälla,, z,, z. En stunds eftertanke visar att en nätt fi i enhetsmatrisen gör jobbet z z True a b c d Beräkna (p) Lösningsförslag: Räkna på! Utveckla längs andra kolonnen med många nollor Eller Det a Det b c 8 d Determinant Låt. Bestäm. (p) Lösningsförslag: Vi har a b c d d b c a Inverse a c Invers b Inv d Inverse

4 . Låt 5. Bestäm en vektor, sådan att. (p) Lösningsförslag: Tdligen egenvärdesformulering, där är egenvektor till egenvärdet till. Undrar om verkligen är det... Eigensstem 5, 5, Verkar sund formulering, så samtliga vektorer t5,, där t skilt från noll, duger. a, 5 b 5, c, d, 5 Rätt svarsalternativ: b 5. Bestäm alla egenvärden till. (p) Lösningsförslag: Egenvärdena ges av sekularekvationen. SolveDet Λ Λ, Λ a SolveDet Λ0 b SolveDet Λ0 0 c SolveDet Λ d SolveDetΛ 0 0 Del B 5 poäng med fokus på modellering och Mathematica. 69. En låda med tngden 00 N hänger i två linor från taket enligt figur. Vi vill bestämma spännkrafterna i de två linorna och frilägger därför ringen genom att klippa av de tre linorna och införa de okända linkrafterna 00, 60 och 0 på ringen. Tngdkraften verkar som vanligt i negativ riktning. 0 Rätt svarsalternativ: e 0 6. Bestäm 00. (p) Lösningsförslag: Uppdelning av vektorn i storlek och enhetsriktning F som vanligt ,, 0 0, 00, 0 a 00 0,, 0 b 00 c 00 0,, 0 d 00 0,, 0 7. Ansätt 60. (p) Lösningsförslag: Uppdelning i storlek och enhetsriktning som vanligt. 60 F 60 Cos60, Sin60, 0 F 60, F 60,0 a F 60 Cos60, Sin60, 0 b F 60 Sin60, Cos60, 0 c F 60 d F 60 Cos60, Sin60, 0 8. Ansätt 0. (p) Lösningsförslag: Uppdelning i storlek och enhetsriktning som vanligt.

5 0 F 0 Cos50, Sin50, 0 F 0, F 0,0 a F 0 Cos0, Sin0, 0 b F 0 Sin0, Cos0, 0 c F 0 Cos50, Sin50, 0 d F 0 Cos0, Sin0, 0 9. Eftersom alla krafter går genom samma punkt (origo), räcker kraftjämvikt i 0 för att lösa ut det vi söker. (p) Lösningsförslag: Vi får direkt Solve F 0 00, F a Solve i 0 b Solve i i 0 c Solve d Solve Vid anals av svängningar i mekaniska sstem får man egenvärdesproblemet Λ, där kallas stvhetsmatris som beror på fjädrande element och massmatris, båda smmetriska, samt Λ egenvärden och till Λ hörande egenvektor som vanligt. Skriv om till den standardform du känner igen och bestäm egenvärden och egenvektorer om 5 och 0 0. (p) Lösningsförslag: Förmultiplicera båda sidor med så får vi Λ Λ med. Då och är stora är metoden inte bra. Man bör "till varje pris" undvika att beräkna, utnttna att och är smmetriska och se till att även blir det, viket inte alltid är fallet. Som snes nedan blir inte det för oss. Som tröst kan nämnas att det finns effektiva algoritmer som direkt ger sig på ursprungsproblemet, Λ. Nåja... EigensstemInverse ,, a EigensstemInverse b 0 5 Eigensstem 0. c EigensstemInverse d 0 Eigensstem Planet a bz 0, där a och b är konstanter, innehåller den punkt som har som ortsvektor och är parallellt med. Bestäm a och b. (p) Lösningsförslag: De två villkoren möblerar ett ekvationssstem för de två sökta konstanterna. Solve a b 0, Planet innehåller given punkt a,, b. 0 Planets normal a, b a Solve a b 0, a,, b 0 c Solve a b 0, a,, b 0 b Solve a b 0, a,, b. 0 d Solve a b 0, a,, b. 0 Rätt svarsalternativ: b. Sök 0 och för det plan som går genom de tre punkter som har, respektive som ortsvektorer. (p) Lösningsförslag: Vi har att 0 är en av ortsvektorerna och vektorprodukten mellan två vektorer i planet. a 0,, b 0,, c 0, Solve, 0 d 0,, 5

6 . Vilket samband måste gälla mellan a och b för att, 0,, 0,, och a, 0,b ska ligga i samma plan? (p) Lösningsförslag: a, 0,b måste vara vinkelrät mot normalen som genereras av de två andra., 0, 0,,.a, 0, b 0 a b 0 a, 0,.0,,.a, 0, b 0 b, 0, 0,,.a, 0, b 0 c Solve, 0, 0,,.a, 0, b 0, a d Solve, 0, 0,, a, 0, b 0, a Rätt svarsalternativ: b. Sök skärningspunkten mellan planet z 5 0 och den linje som går genom de två punkter som har respektive som ortsvektorer. (p) Lösningsförslag: I normalformen avläser vi direkt,, och en ortsvektor för en punkt i planet 0 0, 0, 5. Linjens ekvation, eempelvis t, insatt i planets ekvation gör jobbet. t ;. Solve 0, 0, 5.,, 0 First 8,, 8 8 a t;. Solve 0, 0, 5.,, 0 First b t,. Solve 0, 0, 5.,, 0 First c t;. Solve 0, 0, 5,, 0 First d t. Solve 0, 0, 5.,, 0 First 5. Punkterna A och B med ortsvektorerna respektive är varandras spegelbilder i ett visst plan. Sök planets ekvation! (p) Lösningsförslag: En punkt i planet ligger mitt emellan punkterna A och B. 0 0,, En given normalvektor är den vektor som förbinder punkterna,, 5 Därmed är vi färdiga med atomerna i planets ekvation 0 0. a 0 b. 0 c. 0 d Anpassa a b med (MKM) till mätvärdena Ange i det överbestämda ekvationssstemet a b. (p) Lösningsförslag: De tre mätpunkterna möblerar och i det överbestämda ekvationssstemet a b för de sökta konstanterna a och b, där,

7 , 0 0 a b 0 c 0 0 d Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssstemet a b. (p) Lösningsförslag: Normalekvationerna a b får vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssstemet a b med transponatet till,...a, b. a b, a 5 b 6 0,6 a a b b.. a b. c..a, b. d..a, b. 8. Bestäm a och b med lämplig funktion i Mathematica. (p) Lösningsförslag: Fit är snabbaste vägen till målet då vi, som här, har linjär (MKM)! Ordningen på funtionerna i spelar ingen roll,, eller, går lika bra. Fit ,,, a Fit ,,, b 0 Fit 0 6 0,,, c Minimize ,,, d 0 Fit 0 6 0,,, 9. Antag att a och b är sparade som regler i aåb. Rita modellen där även mätpunkterna är markerade. Välj färger, pnta alarna osv! (p) Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp. aåb NSolve..a, b. a., b Plota b. aåb,, 0,, PlotRange 0, 0, PlotStle Blue, AesLabel,, Epilog PointSize0.0, Red, Point

8 a PlotaÅb,, 0,, Range 0, 0, PlotStle Blue, AesLabel "", "", Epilog PointSize0.05, Red, Point b Plot. aåb,, 0,, PlotRange 0,, PlotStle Blue, AesLabel "", "", Epilog PointSize0.05, Red, Point c Plota b. aåb,, 0,, Range, 0, PlotStle Blue, AesLabel "", "", Epilog PointSize0.05, Red, Point d Plota b. aåb,, 0,, PlotRange 0, 0, PlotStle Blue, AesLabel "", "", Epilog PointSize0.05, Red, Point Tomten har två sorters praliner i lager, 60 kg chokladöverdragna körsbär k och 00 kg chokladöverdragen mint m. Han vill sälja dessa i två olika blandningar, delue och Standard. delue innehåller lika delar k och m och säljs för 0 krkg medan Standard innehåller k och m och säljs för 5 krkg. Hur många kilo av varje blandning ska tomten göra för att tjäna så mcket som möjligt? Antag att han säljer allt. Formulera sedan hans LP problem och lös det med lämplig funktion i Mathematica. p Lösningsförslag: En stunds eftertanke ger...tdligen är båda pralinsorterna aktiva så inga i överflöd, lagret blir alltså tomt. LPSolve0 delue 5 Standard, Vinst delue Standard 60, Körsbär delue Standard 00, Mint delue 0, Standard 0, 000 Range0, delue, 0, 50, Standard, 0, 50 Standard nr biv punkt objfkn, 0, , 0, 0 600, 0, , 0, delue Å i Mathematica. 8

9 Maimize0 delue 5 Standard, Vinst delue Standard 60, Körsbär delue Standard 00, Mint delue 0, Standard 0, delue, Standard 6600, delue 0, Standard 0 a Maimize0 delue 5 Standard, delue Standard 60, delue Standard 00, delue 0, Standard 0 c Maimize0 delue 5 Standard, delue Standard 60, delue Standard 00, delue 0, Standard 0,, b d Rätt svarsalternativ: e Maimize0 delue 5 Standard, delue Standard 60, delue Standard 00, delue 0, Standard 0,, Maimize0 delue 5 Standard, delue Standard 60, delue Standard 00, delue 0, Standard 0,, 9