TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri

Transkript

1 TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri Johan Thim augusti Enhetscirkeln Definition. Enhetscirkeln är cirkeln med centrum i origo och radie ett. En punkt P = (a, b på enhetscirkeln uppfyller alltså a + b = 1. y P = (a, b P 0 = (1, 0 x Vinkel Definition. Vinkeln definieras som båglängden från P 0 till P i positi led (moturs. johan.thim@liu.se 1

2 Det följer alltså att ett ar motsaras a inkeln (cirkelns omkrets. Sinus och cosinus Definition. Vi definierar funktionerna sin och cos genom sin = b och cos = a. Definition. Funktionerna tan och cot definierar i genom och tan = sin cos, då + n för alla n Z cot = cos, då n för alla n Z. sin Följder från dessa definitioner (sådant i kan se ur enhetscirkeln. (i Trigonometriska ettan: cos + sin = 1; (ii sin( + n = sin och cos( + n = cos för n Z; (iii sin( + = sin, cos( + = cos, tan( + = tan och cot( + = cot ; ( ( (i sin = cos och cos = sin ; ( cos( = cos och sin( = sin ; (i cos( = cos och sin( = sin. Till exempel punkt (i kan i se ur följande figur. y (sin, cos 0.4 (cos, sin 0.4 x Öriga samband kan illustreras på liknande sett (öning!

3 Parenteser? Som i redan sett skrier i ibland sin och ibland sin(. Tanken är att om det inte råder någon tetydighet om ad som är argumentet till funktionen så skrier i inte ut parantsen. Uttrycket sin / är tydligt medan sin / + / inte är lika klart. Om det inte är själklart ad uttrycket betyder, skri ut parenteser! Men gör det inte i onödan för då blir uttrycken sårlästa med många parenteser 1.1 Trigonometriska ekationer Följande samband kan ses direkt ur enhetscirkeln. (i sin u = sin u = + n eller u = + n, n Z; (ii cos u = cos u = ± + n, n Z; (iii tan u = tan u = + n, u + k, k, n Z; (i cot u = cot u = + n, u k, k, n Z. Till exempel (i kan illustreras med följande figur. y ( cos, sin (cos, sin x Det finns alltså tå sätt att få ett isst ärde på sinus, den naturliga inkeln men äen. Sen kan i så klart snurra runt hur många ar i ill för att hitta andra inklar, men dessa tå är principlösningarna. Finn alla x R så att sin x = cos x.

4 Lösning. Om i hade haft samma trig-funktion på båda sidorna i likheten så hade i kunnat anända sambanden oan. Kan( i komma dit? Visst går det, på flera olika sätt. En ariant är att utnyttja att cos = sin och därmed att ekationen kan skrias ( sin x = cos x sin x = sin x x = x + n eller x = ( x + n. Fall 1: x = x + n 5x = + n x = 10 + n 5. Fall : ( x = x + n. x x = + n x = n. Här finns flera saker att kommentera. Variabeln n antar alla heltal Z (alltså n = 0, ±1, ±,..., så om i har +n eller n spelar egentligen ingen roll, så den sista likheten kan lika gärna skrias x = + n. Sen kan det isa sig att issa inklar förekommer både i fall 1 och fall, så ill man snygga till saret så måste det undersökas. I årt fall ser i att för att få / i fall 1 måste 1 + 4n 10 = 1 n =, ilket inte kan hända då n är heltal. Lösningarna öerlappar alltså inte. Sar: x = 10 + n och x = + n där n Z. 5 ( Alternatit hade man kunnat byta ut sin x mot cos x. Trigonometriska funktionsärden Vissa standardinklar föräntas i kunna sinus, cosinus etc för mer eller mindre utantill. Vilka? Vi betraktar fallet då inkeln ligger i interallet ] 0, / [. I detta fall kan i anända trianglar för att reda ut issa inklar. Låt oss undersöka en rätinklig triangel. Här är c b och c = a + b sin = b c, cos = a c, tan = b a a, cot = a b. Alltså kan i anända en sådan triangel och ia Pythagoras räkna ut till exempel sin om i känner cos. Hur då? 4

5 Om sin x = 0. och 0 < x < /, ad är cos x och tan x? Lösning. Eftersom x ligger mellan 0 och / så kan i anända en hjälptriangel. 10 a Pythagoras medför att a = 10 = 96, så a = 96 (giet att a > 0. Alltså kan i direkt säga att cos x = a 96 c = sin x och tan x = 10 cos x = /10 =. 96/ Sar: cos x = och tan x = Om sin x = 0. och / < x <, ad är cos x och tan x? Lösning. Är det samma sar som oan? Obserera att längderna i en hjälptriangel måste ha positi storhet! Ds att a, b, c > 0..1 Standardinklar I en rätinklig triangel med samma katetlängd (till exempel 1, men båda kateterna a längd eller 71 går också bra så är en inkel (den räta / medan de andra tå måste ara lika stora, så /4. cos 4 = sin 4 = 1 = Om i istället konstruerar en likbent triangel där alla sidor är lika långa (till exempel så måste alla ingående inklar ara lika stora, ds /. Om i delar triangeln i tå lika stora delar från ett hörn till mitten på motstående sida så uppstår tå rätinkliga trianglar enligt figuren nedan. 5

6 6 6 Ur denna triangel kan i utläsa att 1 1 sin = cos 6 = och sin 6 = cos = 1. Additionsformlerna Additionsformlerna sin(u + = sin u cos + cos u sin sin(u = sin u cos cos u sin cos(u + = cos u cos sin u sin cos(u = cos u cos + sin u sin Det räcker att isa den första likheten, resten följer a enkla trigonometriska samband i redan känner till. Beisen kan återfinnas i boken. Ett par intressanta specialfall. Formler för dubbla inkeln sin x = cos x sin x och cos x = cos x sin x = 1 sin x = cos x 1 och omänt sin cos x 1 x = och cos cos x + 1 x =. Dessa formler är mycket anändbara när det gäller att lösa trigonometriska ekationer, och som ni kommer att se, äen när ni skall integrera issa uttryck i enariabelanalysen! Tangens då? Jodå, ia formlerna oan kan i ställa upp följande samband. 6

7 tan(u + = Additionsformel för tangens tan u + tan 1 tan u tan och tan(u = tan u tan 1 + tan u tan. Finn det exakta ärdet för tan 1. Lösning. Tricket här är att försöka dela upp inkeln som en summa a kända standardinklar. Således, 1 = 4 och därmed måste tan 1 = tan ( 4 = tan tan tan tan 4 = = 1 (1. Lös ekationen cos x + sin x sin x (1 + cos x = 1. Lösning. Exemplet kanske ser lite askräckande ut, men i försöker oss på att skria om med lite trig-ekationer och se om det trillar ut något enklare. Ett tips är att försöka se till att man bara har en sorts trigonometrisk funktion i uttrycket. Vi et att cos x = 1 sin x och att 1 + cos x = sin x, så ekationen är ekialent med 1 sin x + sin x sin x( sin x = 1 4 sin x + sin x sin x = 0 Om i låter t = sin x (för att enklare se ad i arbetar med så ser i att 4t + t t = 0 t(t + t 1 = 0. Så t = 0 är en lösning. Vi faktoriserar andragradaren: t + t 1 = (t + t/ 1/ = ((t + 1/4 9/16 = (t + 1(t 1/, så de öriga lösningarna ges a t = 1 och t = 1/. Vi har alltså tre olika fall. Fall 1: Om t = 0 så är sin x = 0 x = n. Fall : Om t = 1 så är Fall : Om t = 1/ så är sin x = 1 x = + n. sin x = 1 x = 6 + n eller x = n. Sar: x = n, x = + n, x = 6 + n och x = n, där n Z. 7