Addition av hastigheter

Transkript

1 ddition a hastigheter Vi har nu konstaterat att Einsteins postulat leder till en att i inte alltid kan följa år intuition när det gäller hur obseratörer uppfattar rum-tiden. Det är därför inte förånande att i inte kan anta att s.k galilleiska transformationer som i anände oss a i ek. (.) gäller inom relatiitetsteorin. Inom den klassiska mekaniken adderar i hastigheter med anlig ektoraddition: + 3, (.3) Där t.ex 3 skulle kunna ara den resulterande hastigheten som t.ex. en boll har gentemot en obseratör i ila om den skikas med hastigheten relatit ett tåg som i sin tur färdas med hastigheten. tt detta inte kan hålla inom ramen för Einsteins postulat inser i direkt om i byter ut bollen mot en ljuspuls. Då et i att alla obseratörer uppfattar ljuspulsens hastighet lika, oasett källans hastighet. Låt oss först påminna oss om de 3 regler som i härlett utifrån Einsteins postulat:. Relati samtidighet: En obseratör som rör sig med hastigheten i förhållande till tå synkroniserade klokor på aståndet L från arandra i deras eget ilosystem, uppfattar att den bakre klokan isar en tid L/ mer än den främre.. idsdilatation:en kloka i rörelse tikar mer sällan än en likadan kloka i ila. Om tidsinterallet mellan tå tik i klokans ilosystem är, så är motsarande tidsinterall för en förbipasserande obseratör med hastigheten : γ I sista ledet införde i definitionen på Lorentz gammafaktorn: γ (.4)

2 3. Längdkontraktion: en linjal som rör sig i sin egen längdriktining är kortare än samma linjal i ila. Om dess ilolängd är, så är dess längd för en förbipasserande obseratör med hastigheten : L L L L γ För att förstå hur i ska resonera äljer i följande exempel. Vi tänker oss en kapplöpning mellan tå obseratörer oh. anans ilolängd är L. Enligt banans egen kloka får oh tiderna:, när de går i mål. oh tyker dok inte att banans klokor id start oh mål är synkroniserade. (lbert) anser att den bakre klokan, ds klokan id målet ligger tiden L före klokan id starten (regel ), alltså tyker han att tiden som måltalan tikat fram när korsar mållinjen är kortare, nämligen L (se figur nedan). Den tid som mäter på sin egen kloka (när går i mål) är längre enligt tidsdilatationsregeln (regel ): L (.5) Detta är alltså tiden som det tar för att springa igenom banan, enligt obseratör.

3 L / t Samtidghetslinje för start δ δ mål L / x/ Vad är aståndet mellan oh när går i mål? Enligt regel 3 uppfattar s banans längd till: L L När går öer mållinjen har hunnit sträkan öer mållinjen är aståndet mellan oh : (.7). Eftersom har preis gått L L L (.8) V ad är då relatia hastigheten mellan oh? mäter s relatia hastighet till sig själ genom att dela sträkskillnaden mellan oh med tiden som gått: L L L (.9) Multipliera täljare oh nämnare med rotutryket:

4 L L Diidera täljare oh nämnare med L L (.) Nu ser i emellertid att hastigheten mellan banan oh är L (.) Vilket insatt i ekation (.) ger: (.) Vilket kan slutligen förenklas till: (.3) Detta är alltså relatia hastigheten mellan oh då de rör sig åt samma håll i förhållande till en stillastående obseratör med hastigheterna oh. Vi ser alltså att den Galileiska förutsägelsen,, inte håller för stora hastigheter, ds när farten är jämförbar med ljusets hastighet,. Å andra sidan för låga hastigheter återfår i det bekanta uttryket. Vad händer om de rör sig i motsatta riktningar? Generellt gäller det att additionen a hastigheter ( ) + (.4) + 3

5 Skillnaden mot (.3) är att i nu betraktar en summa a hastigheter istället för exemplet där i faktiskt ar ute efter en hastighetsskillnad mellan obseratörerna (lbert) oh (ertil). Låt oss nu testa om uttryket oan är konsistent med Einsteins postulat om att alla obseratörer mäter samma ljushastighet, oberoende a sin egen eller ljuskällans rörelse. Låt oss säga att ertil rör sig med hastigheten relatit (lbert) oh skikar ut en ljuspuls längs med sin egen rörelse. Vad mäter då lbert för hastigheten på ljuspulsen? Enligt (.4) får i: Vi får det föräntade saret! + + (.5) + + Exempel: tå raketer oh flyger från ar sitt håll mot jorden med farten.9i förhållande till jorden. Hur stor är s hastighet i förhållande till? Sar: i anänder oss a uttryket i ekation (.4) oh finner: Vi ser att saret är alltså inte större än!

6 Dopplereffekten Vi är alla bekanta med Dopplereffekten som uppstår när t.ex en ambulans kör mot eller ifrån oss. I det senare fallet hör i att frekensen är lägre än sirenen i ila. Samma fenomen uppstår med ljusågor. Figuren nedan isar ärldslinjen för en obseratör som rör sig med hastigheten i förhållande till en (i ila). skikar ut ljuspulser (antiparallellt med sin egen färdriktning, bakåt) med jämna mellanrum. idsinterallet mellan pulserna i s ilosystem är. P.g.a. tidsdilatation (regel ) sarar denna tid mot γ i (lberts) referenssystem. Vi antar att första pulsen skikas när far förbi. Nästa puls skikas när befinner sig på aståndet d γ från (enl. (lberts) referenssystem, se figur.) Den sammanlagda tiden mellan ankomsten a första oh andra pulsen blir således: γ γ + γ + (.6) Om i sätter in definitionen på gammafaktorn: γ + Får i slutligen fram uttryket för perioden som mottagaren uppfattar: (.7) + (.8) Eller uttrykt i hur frekensen f uppfattas a en obseratör i ila när signalen skikas från en källa som rör sig ifrån honom med hastigheten + : f γ + + ifrån f f (.9)

7 Vi ser omedelbart att frekensen blir lägre, i enlighet med ad i föräntar oss från åra erfarenheter med t.ex. en ambulans. Om källan istället rör sig mot obseratören så byter man teken på i ekation (.9). t 45 γ γ / x/ Notera att det äen uppstår en iss Dopplereffekt om signalen är inkelrät mot källans rörelseriktning. Varför då? Jo, det är fortfarande så att tidsdilatationen uppfattas a obseratör. Då blir den uppmätta frekensen: f f f Detta förekommer inte i klassisk fysik! γ (.3) Exempel: en astronaut rör sig med.5 relatit jorden oh har en puls på 6 slag/minut, signalerna skikas till jorden. Vilken frekens mäter man på jorden om raketen rör sig a) ifrån jorden b) mot jorden ) inkelrät mot jorden? Sar: a) Från ekation (.9) ser i att

8 f ifrån.5 f 6 ~ 35slag/minut b) Vi byter teken på : + mot +.5 f f 6 ~ 4slag/minut.5 ) Gammafaktorn är γ.55.5 f 6 ger f ~ 5 slag/min γ.55 ilket insatt i ekation (.3) Vi kommer ibland att prata om Dopplerskiftet i termer a åglängder. Eftersom λ inser i att från ek. (.6) att: f λ γ + λ (.3) Den relatia åglängdsskillnaden blir då Δλ λ λ λ γ + (.3) λ λ λ För, blir gammafaktorn nära ett ( γ ) oh i får Δλ (.33) λ Vi återkommer till detta resultat senare i kursen! Pythagoras sats i rumtiden Låt oss ta en närmare titt på figuren i föregående sidan: Hypotenusan i rumtiden ges inte a den anliga Pythagoras stas i ett rumsdiagram, istället gäller det att rumtidssträkan ges a: Δ s Δt Δ x Vi kollar!

9 ( γ ) γ γ γ