HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER"

Maria Jansson
för 4 år sedan
Visningar:

1 DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER Den trigonometrisk enhetscirkeln är en cirkel med rdie = och mittpunkt i origo B(0,) C(,0) O D(0,) I en rätvinklig tringel definierr vi trigonometrisk funktioner för spetsig vinklr medn med hjälp v den trigonometrisk enhetscirkeln definierr vi trigonometrisk funktioner sinus, cosinus, tngens och cotngens för godtckligt stor vinklr Låt P(x,) vr den punkt som vi får genom tt roter punkten vinkeln v kring origo (Motursrottion om vinkeln är positiv, medursrottion om vinkeln är negti Funktionern cos(v ) och sin(v ) definiers som x respektive koordinten v punkten P O v P(x,) x Med ndr ord gäller cos( v ) = x sin( v ) = Tngens och kotngens definiers genom tn( v ) =, om nämnren cos( v ) 0 cot( v ) =, om nämnren sin( v ) 0 Från ovnstående formler ser vi omedelbrt följnde smbnd : cot( = och tn( = ( om cos( v ) 0 och sin( v ) 0 ) tn v cot v Anmärkning: I någr böcker nvänds även funktionern secns och cosecns som definiers enligt följnde sec( v ) =, om nämnren cos( v ) 0, cosec( v ) =, om nämnren sin( v ) 0 v 5

2 Udd och jämn trigonometrisk funktioner Allmänt säger mn tt en funktion f (x) är jämn om f ( x) = f ( x) och udd om f ( x) = f ( x) Från trigonometrisk cirkeln hr vi sin( = sin( och cos( v ) = sin( Därför tn( v ) = = = tn( cos( På liknnde sätt cot( = cot( Alltså är cosinus är en jämn funktion medn sinus, tngens och cotngens är udd funktioner: P(x,) v x O v cos( v ) = sin( = sin( tn( = tn( cot( = cot( ÖVNINGAR: Uppgift Bestäm ) b) sin(90 ) c) tn(90 ) d) cot(90 ) Lösning Om punkten roters 90 hmnr den i B(0,) Därför blir cos(90 ) = xkoordinten v B(0,) dvs cos(90 ) =0 sin(90 ) =koordinten v B(0,) dvs sin(90 ) = sin(90 ) tn( 90 ) = " " = " " ej definierd cos(90 ) 0 cos(90 ) 0 cot( 90 ) = = = 0 sin(90 ) Svr: ) cos( 90 ) = 0, b) sin( 90 ) = c) tn(90 ) är inte definierd d) cot( 90 ) = 0 Uppgift Bestäm ) cos( 5 ), b) sin( ) c) tn( 5 ) d) cot( ) Anmärkning: rdiner = 60, rdiner = e) cos( 55 ) f ) tn( ) 80, rdiner = 90 Svr: ), b) c) 0 d) 0 e) cos( 55 ) = cos( ) = f) ej definierd v 5

3 Uppgift Bestäm ) cos( ) b) sin( ) c) tn( ) d) cot( ) 6 e) cos( ) f) sin( ) g) tn( ) h) cot( ) 6 6 Lösning d) cot( ) = cot( ) = (Noter tt cotngens är en udd funktion) Svr: ) e) b) f) c) d) g) h) Reduktion till trigonometrisk funktioner v spetsig vinklr För tt bestämm trigonometrisk funktioner för vinklrn i ndr tredje och fjärde kvdrnten, bestämmer vi först tecken för en given funktion enligt teckenschem: sin( cos( tn( cot( O O O Därefter jämför vi den givn funktionen med motsvrnde funktion för en lämplig vinkeln α i först kvdrnten, enligt följnde: i) Om vinkeln v är från ndr kvdrnten dvs 90 < v < 80 då jämför vi med motsvrnde trigonometrisk funktion för = 80 v (eller α = v i rdiner) ii) Om 80 < v < 70 jämför vi med motsvrnde funktion för vinkeln = v 80 iii) Om 70 < v < 60 jämför vi med motsvrnde funktion för vinkeln = 60 v Exempel: Bestäm exkt cos(0 ) Lösning: ) Vi jämför cos(0 ) med cos(60 ) (skillnden från 0 till 80 ) v 5

4 C 0 B D O A Från ovnstående figuren ser vi tt cos(0 ) (eftersom OD = OA ) men olik tecken Därför cos( 0 ) = cos(60 ) = Svr: cos( 0 ) = och cos(60 ) hr smm bsolutbelopp Uppgift Bestäm ) sin(0 ), b) cos(50 ) Lösning: c) tn(0 ) d) cot(0 ) C 0 B D O A Lösning: (Koll ovnstående teckenschem) ) Reduktion till 80 0 = 60 Alltså sin( 0 ) = sin 60 = b) Reduktion till = 0 Alltså cos( 50 ) = cos(0 ) = c) Reduktion till 0 80 = 60 Alltså tn( 0 ) = tn(60 ) = d) Reduktion till 60 0 = 60 Alltså cot( 0 ) = cot 0 = Svr: ) sin( 0 ) = c) tn( 0 ) = b) cos( 50 ) = d) cot( 0 ) = Uppgift 5 7 Bestäm ) sin( 7 ), b) tn( ) 6 v 5

5 7 7 Lösning: ) sin( ) = sin( ) = b) tn( ) = tn( ) = Svr: ) sin( ) = b) tn( ) = 6 5 v 5

Relevanta dokument

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given