TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner"

Viktoria Strömberg
för 6 år sedan
Visningar:

1 TATM9: Föreläsning 8 Arcusfunktioner Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers till sin för alla R. Det finns ju uppenbarligen oändligt många möjliga val för för varje y mellan och. Men om vi väljer ut en mindre definitionsmängd då? Till eempel är y = sin inverterbar då eftersom sinus är strängt väande på det intervallet (se figuren, viss argumentation nödvändig för att visa det mer eplicit). arcsin Definition. y = arcsin är det tal y så att sin y = och y. Vi noterar att D arcsin = [, ] och att V arcsin = johan.thim@liu.se sin arcsin =,, arcsin sin =,. [, ]. Observera även följande:

2 Till eempel, om > / eller < / gäller alltså inte arcsin sin =. Var försiktig med detta! y y = arcsin Lös ekvationen sin = där < <. Lösning. Vi ser att / inte kommer från en standardvinkel, så en lösning till ekvationen sin = / ges av = arcsin /. Hur hittar vi alla lösningar? Precis som vi gjort tidigare! Vi vet att sin = = sin arcsin = arcsin + n eller = arcsin + n. Detta är alltså samtliga lösningar. Vilka uppfyller kravet i formuleringen? Vi behöver ha en uppfattning om hur stor arcsin är. Ur figuren ovan kan vi se att 0 < arcsin < eftersom 0 < <. Fall. Om = arcsin + n så ser vi direkt att n 0 inte fungerar. Om n = blir uttrycket för stort, så här hittar vi inga lösningar i rätt intervall. Fall. Om = arcsin + n så ser vi direkt att n 0 gör för stor respektive för liten. Men n = 0 fungerar, då måste / < < vilket uppfyller villkoret i uppgiften. Svar: = arcsin. arccos Definition. y = arccos är det tal y så att cos y = och 0 y. Vi noterar att D arcsin = [, ] och att V arcsin = [0, ].

3 y y = arccos Förenkla sin arccos. Lösning. Låt v = arccos. Eftersom 0 < / < så måste 0 < v < ovan!). Vi kan alltså använda en rätvinklig triangel. (titta i figuren b Pythagoras implicerar att b = = =, och därmed erhåller vi att v sin v =. Alternativ: vi kan använda trignometriska ettan. Låt v = arccos. Då är sin v = cos v = ( cos arccos ) = ( ) = 9. Alltså är sin v = ±. Plus eller minus? Eftersom 0 < v < / så måste sinus vara positiv (titta i enhetscirkeln!). Svar: sin arccos =. Ett lite krångligare eempel? Visst! Detta är en gammal duggauppfit (där det dök upp ganska många kreativa svar).

4 Förenkla arcsin(sin ) arccos(cos ). Lösning. Vi börjar med nämnaren: v = arccos(cos ) cos v = cos, 0 v, v = ± + n, 0 v, v =. På samma sätt kan täljaren skrivas v = arcsin(sin ) sin v = sin, / v /, v = + n eller v = + n, / v /, vilket är ekvivalent med att v =. Följaktligen får vi Svar: arcsin(sin ) arccos(cos ) =.. arctan Definition. y = arctan är det tal y så att tan y = och < y <. Vi noterar att D arctan = R och att V arctan = ], [. y y = arctan

5 Förenkla arctan() + arccos ( ). Lösning. Låt v = arctan + arccos( /). Eftersom kan vi skriva tan v = tan(a + b) = tan a + tan b tan a tan b, tan(arctan ) + tan(arccos( /)) tan(arctan ) tan(arccos( /)). Vi ser att tan(arctan ) =, men tan(arccos( /)) är lite värre. Låt u = arccos( /). Då är cos u = / och 0 u. Minustecknet är lite obehagligt, så vi skriver cos u = cos( u) =. En rätvinklig triangel med katetlängderna och ger att tan( u) =, så tan(u) = (kan man se t e från additionsformeln ovan). u Vi kan nu räkna ut tan v: tan v = ( ) =. Alltså måste v = arctan(/) + n för något heltal n. Vi uppskattar storleken på ingående arcusfunktioner: 0 < arctan < arctan = < arctan <, = arccos( ) ( ) < arccos < arccos( ) =. Här har vi använt att arctan är väande, arccos är avtagande och kända standardvinklar. Alltså är + < v < + < v <. Eftersom 0 < arctan(/) < / så följer det att n = är nödvändigt. Alltså blir den sökta vinkeln v = +arctan(/). Med hjälp av en miniräknare eller dator kan man så klart enkelt få fram närevärden och genom det bestämma n. Svar: + arctan.

6 Addition av arcus-funktioner: komple hjälpmetod Förenkla arctan + arctan. Lösning: Låt z = + i och z = + i. Låt v vara vinkeln som z bildar mot positiva real-aeln, och v vinkeln z bildar mot positiva real-aeln. Det följer att tan v = = och tan v = =. En lösning till respektive ekvation fås genom v = arctan och v = arctan. Dessa vinklar ligger i första kvadranten och är de vi söker. Om vi nu skriver z och z på polär form, z = e i arctan och z = 0e i arctan, ser vi att z z = 0e i(arctan +arctan ). Det följer alltså att arg(z z ) = arctan + arctan + m, m Z. () Men, vi vet också att z z = ( + i)( + i) = + i. Vi har följande illustration: Im z z z z α v v Re Vi ser att tan α = / =, så α = arctan = /. Alltså blir v = arctan = / vinkeln mellan z z och (positiva) real-aeln. Observera att vi inte kan skriva arctan( ) eftersom den vinkeln ligger i :e kvadranten (= /). Detta medför att arg(z z ) = + k, k Z. () Ekvationerna () och () implicerar att arctan + arctan = + n, n Z. () Heltalet n kommer från n = k m, som kan anta vilket heltal som helst. För att kunna välja det n som är nödvändigt (det finns bara ett korrekt svar) så måste vi uppskatta hur stort talet arctan + arctan är. Funktionen arctan är väande, så = arctan < arctan < arctan <.

7 Vi kan alltså se att / + / < arctan + arctan <, eller Alltså måste vi välja n = 0 i (). < arctan + arctan <. Svar: arctan + arctan =. OBS: Ett svar!

Relevanta dokument

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det