TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och exponentialfunktioner

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och exponentialfunktioner"

Viktoria Axelsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och eponentialfunktioner Johan Thim augusti 06 Den naturliga logaritmen Vi börjar med att introducera den naturliga logaritmen. Definition. Den naturliga logaritmen ln för > 0 definieras som ln = ˆ t dt. Här ser vi att vi använder integralbegreppet utan att direkt ha definierat det innan. Vi återkommer till detta i envariabelanalysen när Riemann-integralen behandlas. Förhoppningsvis kommer vi ändå ihåg att man kan tolka en bestämd integral som arean under kurvan. y y = / ln johan.thim@liu.se

2 Egenskaper Den naturliga logaritmen har bland annat följande egenskaper: (i) D ln =]0, [ och V ln = R; (ii) ln y = ln + ln y för, y > 0; (iii) ln < för > 0 och ; (iv) ln = 0; (v) ln y = ln ln y för, y > 0; (vi) ln = ln för > 0; (vii) ln p = p ln för > 0 och p Z. De första tre egenskaperna behöver visas från definitionen medan övriga egenskaper följer från dessa tre. Till eempel kan vi se att ln = ln( ) = ln + ln, så ln = 0 är nödvändigt. Vi kan även se detta direkt från definitionen via Riemann-integralen så klart. Vidare, ( ) ln = ln y y = ln + ln y, y vilket bevisar (v). Egenskap (vi) är ett specialfall av (v) och (vii) kan visas genom att betrakta p = och utnyttja (ii) (och (vi) då p < 0). Observera att vi inte kan säga något om fallet då p ej är ett heltal i nuläget; vi återkommer stra till detta. Dessa egenskaper kan också användas för att visa en användbar olikhet för att stänga in logaritmen. < ln <, för > 0 och. Vi kan även använda denna egenskap för att visa att ln < 0 då 0 < < och ln > 0 då >, även om detta också är tämligen klart från Riemann-integralen. Övriga samband kan illustreras på liknande sett (övning!) Den naturliga logaritmen ln är strängt väande. Bevis. Låt > > 0. Då är >, så Alltså är ln strängt väande. 0 < ln = ln ln ln < ln.

3 Eempel Lös ekvationen ln( + ) = ln(5 + ) ln( + ) för R. Lösning. För att alla ingående uttryck ska vara definierade krävs att + > 0, 5 + > 0, och + > 0. Från detta ser vi att > krävs för att samtliga uttryck ska vara definierade. Antag att >. Då gäller ln( + ) = ln(5 + ) ln( + ) ln ( ( + )( + ) ) = ln(5 + ), och eftersom ln är strängt väande gäller då att ( + )( + ) = = 0 ( )( + 3) = 0. Endast = är en lösning då = 3 ej uppfyller kravet >. Svar. = enda lösningen. Logaritmer och negativa tal? Observera att vi endast har definierat ln för > 0. Men detta innebär absolut inte att ln > 0 för alla. Om 0 < < så är ln < 0. Det är skillnad på definitionsmängden och värdemängden! y y = ln e Observera även att till eempel ln(y) kan vara definierad även om ln och ln y inte är det. Det räcker att produkten blir positiv, så eempelvis = och y = 3 skulle fungera. Detta kan ställa till det när vi löser ekvationer som innehåller logaritmer, så var försiktiga! Eponentialfunktionen Eftersom ln är strängt väande finns en invers som vi kallar ep, dvs y = ln = ep(y), där D ep = R och V ep =]0, [. Som vanligt (med inverser) gäller ln(ep ) =, R och ep(ln ) =, > 0. 3

4 y y = ep() e Om vi jämför graferna för ln och ep så kan man se att ep är spegelbilden av ln kring linjen y =. Detta gäller generellt för inverser! Så hur hör nu funktionen ep ihop med talet e? Talet e Definition. Talet e definieras som e = ep(). Talet e är irrationellt, har närmevärdet e.78 och uppfyller att ln e =. Om p Z så följer det av logaritmlagarna ovan att ln e p = p ln e = p eller ekvivalent ep(p) = ep(ln e p ) = e p. Vi väljer därför att skriva e = ep(). Det är alltså så här vi definierar talet e genom funktionen ep för alla. ep() och e Vi kommer att använda dessa uttryck helt utbytbart, de betyder alltså samma sak. När vi skriver e så syftar vi på funktionsvärdet ep(). Notationen ep är lämplig ibland, speciellt när det är komplicerade argument. Till eempel kanske vissa tycker ( ep + ) 3 sin är lättare att läsa än e + 3 sin. 4

5 Funktionen som definieras av e har bland annat följande egenskaper: (i) e 0 = och e = e; (ii) ln e = för R och e ln = för > 0; (iii) e +y = e e y ; (iv) e = e ; (v) (e ) p = e p då p Z. Egenskaper Lös ekvationen e + 4e = 4. Eempel Lösning. Det följer att e + 4e = 4 e 4e + 4 = 0. Låt t = e. Då måste t 4t+4 = (t ) = 0, vilket endast t = uppfyller. Alltså är e =, eller ekvivalent, = ln. Svar: = ln. Något bökigare? Kanske som handlar om inversen till ett uttryck? Eempel Bestäm definitionsmängden och (om möjligt) inversen till f() = ln ( 7 ln( + ) ). Lösning. Vi börjar med att bestämma den största möjliga definitionsmängden. Kraven som måste gälla är att + > 0 samt 7 ln( + ) > 0. Alltså måste > och 7 ln( + ) > 0 e 7 > + ( e 7 ) > eftersom ln är strängt väande. Således ges D f av de R så att Låt y R. Då gäller att < < ( e 7 ). y = ln( 7 ln( + )) ep(y) = 7 ln( + ) + = ep( 7 ep(y)) = ( ep( ) 7 ep(y)). ( ) 5

6 Eftersom vi bara har ett alternativ ges inversen av f () = ( ep( ) 7 ep()). { ( Svar: D f = R : < < e 7 )}, f () = ( ep( ) 7 ep()). Vad hade hänt om vi fått flera möjligheter i ekvation ( ) ovan? Tänk på att vi bara räknade med implikationer! 3 Potensfunktioner Potensfunktioner Definition. Vi definierar potensfunktionen α enligt α = ep(α ln ) då > 0 och α R, samt α = 0 då = 0 och α > 0. Detta är en rimlig definition. Till eempel vet vi att p = (e ln ) p = e p ln, p Z, vilket stämmer överens med definitionen ovan. Eftersom potensfunktioner är definierade via ep-funktionen så gäller motsvarande regler. Till eempel så är α β = ep(α ln ) ep(β ln ) = ep(α ln + β ln ) = ep((α + β) ln ) = α+β, > 0. Övriga regler kan visas på liknande sätt. Finn alla reella så att = 3. Eempel Lösning. Vi skriver om ekvationen för att se om vi kan finna en lämplig variabel: = 4 4 = 4 4 = 4t 4t, där t =. Då är t > 0 och ekvationen kan alltså skrivas 4t 4t 8 = 0 t t = 0 (t + )(t ) = 0. Här ser vi att t = inte går (då = saknar lösning) och att t = medför att =, så =. Svar: =. 6

Relevanta dokument

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett