Kontrollskrivning 25 nov 2013

Transkript

1 Kontrollskrivning 5 nov 03 Tid: Kurser: HF008 Analys och linjär algebra (analysdelen) HF006 Linjär algebra och analys (analysdelen) Lärare: Armin Halilovic, Inge Jovik, Richard Eriksson Eaminator: Armin Halilovic Hjälpmedel: Endast utdelat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet. Inga toabesök eller andra raster. För godkänt krävs 5 poäng av 9 möjliga poäng. Godkänd KS ger bonus enligt kurs-pm. Fullständiga lösningar och svar skall presenteras till alla uppgifter där ej annat anges. Denna lapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningarna. Uppgift. Bestäm inversen till funktionen, 3. () Uppgift. Rita kurvan y. () ( ) Uppgift Beräkna gränsvärdet. () + Uppgift 4. a) Bestäm lutningen av kurvan + 7 i punkten (, ) (,) () b) Beräkna genom logaritmisk derivering derivatan av funktionen ( ) () c) Bestäm för vilka som funktionen ( ) är väande respektive () avtagande.

2 Uppgift 5. Låt ln( 3). 3 a) Bestäm funktionens (eventuella) etrempunkter och deras typ (ma-, min- eller terrasspunkt). b) Bestäm funktionens alla asymptoter. c) Rita grafen till funktionen. (3) FACIT Uppgift. Bestäm inversen till funktionen, 3. () Lösning: Från, 3 har vi att f ( 3) f () dvs. Vi löser ut ur ekvationen y y. Alltså inversen är f ( y) y eller ekvivalent f ( ). Svar. f ( y) y, där y. ( Alternativt svar f ( ) ) Uppgift. Rita kurvan y ( ) Lösning: Definitionsmängd. 3 Derivatan: y ' ( ) 3 ( ) Stationära punkter saknas eftersom ekvationen y ' 0 dvs 0 3 ( ) har ingen lösning.

3 Asymptoter: i) 0 ( + ) ± ± -aeln är en horisontell (vågrät) asymptot ii) ( ) ( ) + + Alltså är en vertikal (lodrät) asymptot. Notera att > 0 för alla. Grafen: Svar: Se grafen. Uppgift Beräkna gränsvärdet. () + Lösning: Svar 5. (5 + / / ) 5 + / / 5 5 ( / ) / Uppgift 4. a) Bestäm lutningen av kurvan + 7 i punkten (, ) (,) () b) Beräkna genom logaritmisk derivering derivatan av funktionen ( ) ()

4 c) Bestäm för vilka som funktionen ( ) är väande respektive () avtagande. Lösningar: 4a) + 7 Derivera implicit! Vi deriverar både VL och HL map och får 3 +3 ( + ) 0. Vi löser ut y och får I punkten (,) får vi derivatan (lutningen) (, ) Svar 4a) 4b) ( ) Derivera logaritmiskt: Logaritmera både VL och HL: ln ( ) Derivera map : Svar 4b) c) ( ) För att avgöra för vilka som funktionen väer respektive avtar deriverar vi f() och får: ( ) Funktionen väer om ( ) >0, i vårt fall >0 > som gäller för >0 Funktionen avtar om ( ) < 0, i vårt fall <0 < som gäller för <0 Svar 4c) Funktionen väer för >0. Funktionen avtar för <0. Uppgift 5. Låt ln( 3). 3 a) Bestäm funktionens (eventuella) etrempunkter och deras typ (ma-, min- eller terrasspunkt). b) Bestäm funktionens alla asymptoter. c) Rita grafen till funktionen. (3) Lösning:

5 ( 3) ln( 3) ln( 3) a) ( ) 3 f ( 3) ( 3) ln( 3) f ( ) 0 0 ln( 3) 0 ln( 3) ln( 3) ( 3) 3 e 3 + e Alltså 3 + e är en stationärpunkt. ln( e) f ( ). e e För att bestämma typ kollar vi första derivatans tecken: ln( 3) f ( ) > 0 > 0 ln( 3) > 0 ln( 3) > ( 3) (dela med ) ln( 3) < 3 < e < 3 + e. På samma sätt f ( ) < 0 om > 3 + e Teckentabell: e f () + 0 f () väer ma avtar Alltså är 3 + e en maimipunkt, y ma. e Svar a) 3 + e är en maimipunkt b) Asymptoter: i) Funktionen är definierad om >3. Eftersom 3 asymptot 3. + ln( 3) ( ) 3 har funktionen har en lodrät( vertikal) ii) Vi undersöker om funktionen har en vågrät asymptot. ln( 3) [, L' Hospital] Därmed är y0 dvs -aeln en vågrät(horisontell) asymptot. Svar b) Funktionen har en lodrät asymptot 3 och en vågrät asymptot y0.

6 c) Grafen till funktionen ritar vi med hjälp av a och b delen. Lägg märke till att 0 om 3 dvs om 4.