Lösningsförslag till problem 1

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Lösningsförslag till problem 1"

Transkript

1 Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga dvs mindre än π ) vinklar Varje triangel kan också, efter skalning, antas ha en sida med längd Vi kan då rita upp triangeln i planet, med hörn i origo, punkten, 0) och någon punkt a, b) där 0 < a < och b > 0 Låt a, b) beteckna en sådan triangel, med ett hörn i punkten a, b) a,b) 0 6 Notera att en triangel med tre spetsiga vinklar kan ritas upp på flera olika sätt Linjär avbildning av en liksidig triangel Låt oss nu starta med en liksidig triangel och avbilda denna på en godtycklig triangel, båda representerade enligt ovan Vi ska sedan visa att cirkeln som finns inskriven i den liksidiga triangeln avbildas på en inskriven ellips

2 Den liksidiga triangeln måste ha sitt hörn i punkten, ) Detta kan verifieras med Pythagoras sats Låt vara triangeln, ) Triangeln kan delas upp i två rätvinkliga trianglar, båda med basen och höjden, ) π π 0 6 Hypotenusan, som också är en sida i, har då längden ) ) + + Triangeln är alltså liksidig Vi vill nu avbilda denna liksidiga triangel på en godtycklig triangel a, b) Avbildningen ska då uppfylla följande: 0, 0) 0, 0), 0), 0), ) a, b) Den linjära avbildning som ges av matrisen ) α A 0 β avbildar uppenbart 0, 0) och, 0) på sig själva Vidare kan vi bestämma α och β så att även vårt tredje villkor är uppfyllt Vi vill alltså att ) ) ) α a, 0 β b dvs a + α b β

3 Vi kan då lösa ut α och β som α a β b Matrisen A avbildar alltså på a, b) Vi vill nu studera avbildningen av den i inskrivna cirkeln För att göra det behöver vi först bestämma cirkelns ekvation Allmänt gäller att medianerna i en triangel delar varandra i proportionerna :, ) r r 0 Eftersom medianernas skärningspunkt också är cirkelns mittpunkt får vi att cirkelns radie är en tredjedel av triangelns höjd, alltså / Vi ser då också att cirkelns centrum är punkten, ) Cirkelns ekvation är alltså x + y ) ) ) Sats Den linjära avbildning som representeras av matrisen A avbildar ) på en ellips som är inskriven i a, b) Vi ska först se på vilken punkt cirkelns centrum avbildas: ) ) ) α A 0 β + α ) a+ ) β b Vi kan kontrollera att detta överensstämmer med medianernas skärningspunkt i triangeln a, b)

4 a,b) 0 Som bekant vet vi att sträckan från, 0) till medianernas skärningspunkt är en tredjedel av sträckan från, 0) till a, b) Då ges x-koordinaten av och y-koordinaten av x + a y b a +, Vi har alltså visat att cirkelns mittpunkt avbildas på medianernas skärningspunkt i triangeln a, b) Bevis av satsen Betrakta a, b) som placerad i ett ξ, η)-plan, där ) α x ξ 0 β) y η) Vi har alltså vilket ger { ξ x + αy η βy, x ξ α β η y η β Cirkeln i den liksidiga triangeln avbildas på en kurva i ξ, η)-planet med ekvation ξ α β η η + ) β ) Vi ersätter α och β med deras uttryck i a och b, vilket ger ξ a η ) + b ) b η

5 Kom nu ihåg att ellipsens förväntade centrum är i punkten a+ därför variabelbytet s ξ a + t η b ξ s + a + η t + b, b ) Vi gör Insättning av detta i ekvationen ovan ger, efter förenkling detaljerna lämnas åt läsaren), s + a a + b t a st b ) Vi ska i nästa avsnitt se att orten för s, t) som uppfyller ) verkligen är en ellips Notera att A avbildar punkter som ligger på cirkeln och på punkter som ligger på a, b) och ovanstående ellips Detta är alltså den sökta inskrivna ellipsen i a, b) Ellipskurvor Betrakta andragradskurvan x + A y Bxy ) där A, B 0 Vi ska verifiera att detta är en ellips med centrum i origo om och endast om B < + A Låt först säga att andragradskurvan faktiskt är en ellips med centrum i origo Ellipsen måste då skära linjen y x i någon punkt R, R) och förstås också i R, R)) Om vi sätter in detta i ekvationen får vi vilket skrivs om som R + A BR + A B)R Uppenbarligen måste + A B > 0, dvs B < + A Detta är alltså ett nödvändigt villkor Antag nu att B < + A Vi vill alltså visa att ) är en ellips Vi betraktar först fallet då A Då gäller att 0 < B <, och x + y Bxy Av symmetriskäl gissar vi att ellipsens huvudaxlar är y x och y x Detta måste förstås verifieras Vi börjar med att undersöka ekvationen i en punkt r, r ) Detta ger r ) + r ) Br ) Vi kan lösa ut r som r B 5

6 Det visar sig att detta är det maximala avståndet från origo, för en punkt på ellipsen Notera att r går mot oändlighet då B går mot Vi undersöker också ekvationen i en punkt r, r ) Insättning ger r + r + Br, och vi kan lösa ut r som r + B Det visar sig att detta är det minimala avstådet från origo, för en punkt på ellipsen Notera att r alltid ligger inuti enhetscirkeln, medan r alltid ligger utanför Vi vill nu verifiera att detta verkligen är en ellips med huvudaxlar y x och y x För detta ändamål inför vi nya koordinataxlar som överensstämmer med dessa Detta motsvarar en rotation på π Kalla de nya koordinaterna s och t Vi har då ) ) x cos π sin π s ) ) s ) t s ) y sin π cos π t t t+s Vi har alltså x t + s y t s Vår ekvation översätts då till vilket är ekvivalent med s + t) + s t) Bt s ) B)t + + B)s Orten för s, t) som uppfyller denna ekvation är mycket riktigt en ellips, vilket vi ville visa Vi behöver också behandla fallet då A För att bestämma riktningsvinkel för ellipsens huvudaxlar använder vi polära koordinater Sätt { x r cos θ Ekvationen ) blir då y r sin θ r cos θ + A r sin θ Br sin θ cos θ Vi använder att sin θ cos θ sin θ och skriver om ekvationen som r cos θ + A sin θ B sin θ 6

7 Vinkeln för storaxeln är den vinkel θ som ger maximalt värde för r För att hitta denna vinkel inför vi funktionen ϕθ) cos θ + A sin θ B sin θ Notera att maximum för r motsvarar minimum för funktionen ϕθ) För att avgöra var funktionen har sitt minimum betraktar vi derivatan ϕ θ) cos θ sin θ + A cos θ sin θ B cos θ A ) sin θ B cos θ Derivatans nollställe ges av θ som uppfyller A ) sin θ B cos θ ) vilket är då tan θ B A Observera att tan θ, vilket motsvarar θ π, då A Detta stämmer överens med vår studie av specialfallet A Vinkeln θ som löser ekvationen ovan bestämmer alltså storaxeln Vinkeln för lillaxeln ges då av θ + π Vad blir då ekvationen för ellipsen? Som tidigare inför vi nya koordinataxlar s och t som överensstämmer med ellipsens huvudaxlar Detta nya plan fås alltså genom en rotation med vinkel θ av x, y)-planet Omvänt når vi x, y)-planet genom ett rotation med vinkel θ av s, t)-planet Vi har alltså ) ) s ) x cos θ) sin θ) y sin θ) cos θ) t ) s ) cos θ sin θ sin θ cos θ t ) cosθ)s + sinθ)t sinθ)s + cosθ)t det vill säga { x cosθ)s + sinθ)t y sinθ)s + cosθ)t Ekvationen ) blir då, efter en omskrivning läsaren uppmanas att verifiera detta) cos θ + A sin θ + B sin θ)s + sin θ + A cos θ B sin θ)t + Eftersom cos θ sin θ cos θ får vi +sin θ A sin θ + Bcos θ sin θ)st cos θ + A sin θ + B sin θ)s + sin θ + A cos θ B sin θ)t + + A ) sin θ + B cosθ))st Vi ser nu att koefficienten för st är lika med 0 enligt ), så ekvationen blir cos θ + A sin θ + B sin θ)s + sin θ + A cos θ B sin θ)t vilket är ekvationen för en ellips 7

Lösningar till udda övningsuppgifter

Lösningar till udda övningsuppgifter Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.

Läs mer

Lite sfärisk geometri och trigonometri

Lite sfärisk geometri och trigonometri Lite sfärisk geometri och trigonometri Torbjörn Tambour 8 april 2015 Geometri och trigonometri på sfären är ett område som inte nämns alls i de vanliga matematikkurserna, men som ändå är värt att stifta

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 44, 1961 Årgång 44, 1961 Första häftet 2298. Beräkna för en triangel (med vanliga beteckningar) ( (b 2 + c 2 )sin2a) : T (V. Thébault.) 2299. I den vid A rätvinkliga triangeln OAB är OA

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1: Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten

Läs mer

Kappa 1. Robin Kastberg. 10 oktober 2014

Kappa 1. Robin Kastberg. 10 oktober 2014 Kappa 1 Robin Kastberg 10 oktober 2014 Sammanfattning Vi visar att uppgiften är lösbar för en generell triangel genom att visa att det är en trivial egenskap för en särskild, och att alla dessa egenskaper

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891 KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 27, 1944 Första häftet 1316. I vilka serier äro t1 3 +t3 2 +t3 3 + +t3 n = (t 1 +t 2 +t 3 + +t n ) 2 för alla positiva heltalsvärden på n? 1317. Huru stora äro toppvinklarna i en regelbunden n-sidig

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.

Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som

Läs mer

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x. TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 40, 1957 Första häftet 2082. I punkterna 0, v, 2v,... nv på enhetscirkeln placeras massorna ( n ( 0), n ) ( 1,..., n ) n resp. Hur långt från cirkelns medelpunkt ligger tyngdpunkten för detta massystem?

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet Elementa Årgång 1, 198 Årgång 1, 198 Första häftet 97. Ett helt tal består av 6n siffror. I var och en av de på varandra följande grupperna av 6 siffror angiva de 3 första siffrorna samma tresiffriga tal

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 17, 1934 Första häftet 654. Lös ekvationen sin x + cos x + tan x + cot x = 2. (S. B.) 655. Tre av rötterna till ekvationen x 4 + ax 2 + bx + c = 0 äro x 1, x 2 och x 3. Beräkna x 2 1 + x2 2 + x2

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS.0.08 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Finaltävling i Umeå den 18 november 2017

Finaltävling i Umeå den 18 november 2017 KOLORNA MATEMATIKTÄVLING venska matematikersamfundet Finaltävling i Umeå den 18 november 017 1. Ett visst spel för två spelare går till på följande sätt: Ett mynt placeras på den första rutan i en rad

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005 KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 5, 94 Årgång 5, 94 Första häftet 04. Toppen i en pyramid utgöres av ett regelbundet n-sidigt hörn. Tre på varandra följande sidokanter ha längderna a, b och c. Beräkna de övrigas längd.

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 43, 1960 Första häftet 2244. Vilka värden kan a) tan A tanb + tan A tanc + tanb tanc, b) cos A cosb cosc anta i en triangel ABC? 2245. På en cirkel med centrum O väljes en båge AB, som är större

Läs mer

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken

Läs mer

Poincarés modell för den hyperboliska geometrin

Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av

Läs mer

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och

Läs mer

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri 94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13 Kurskod: 9G0 Provkod: STN Tentamen 9G0 Matematik för lärare årskurs -, del, 5 hp delmoment Geometri,5 hp, 0-0-08, kl 8- Tillåtna hjälpmedel : Passare, linjal För varje uppgift ska fullständig lösning med

Läs mer

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2. Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.

Läs mer

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör

Läs mer

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 6, 1943 Årgång 6, 1943 Första häftet 161 I en tresidig pyramid äro sidokanterna l cm, baskanterna a, b och c cm I topphörnet är kantvinklarnas summa 360 Visa, att a + b + c = 8l 16 Visa,

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Kortfattade lösningar till tenta för LNC022, :

Kortfattade lösningar till tenta för LNC022, : Kortfattade lösningar till tenta för LNC022, 2015-04-15: 1. (a) Pythagoras sats ger hypotenusan: c 2 = 16 2 + 30 2 = 1156, c = 1156 = 34 cm. Vinkeln v mellan sidorna 16 och 34 ges av cos v = 16 30 34 eller

Läs mer

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).

Läs mer

Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.

Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1. Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är

Läs mer

Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.

Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor. Kap 13.2 13.3. Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor. A 1001. Sök det största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = x 2 + 2y 2 x på cirkeln x 2 + y 2 = 1. A 1002. Vilka värden kan funktionen

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 31, 1948 Första häftet 1559. Varje lösning till systemet (x a) 2 + (y b) 2 x 2 + y 2 = (x c)2 + (y d) 2 (x 1) 2 + y 2 = (a c) 2 + (b d) 2 är rationell i a, b, c, d. 1560. Om kurvan y = a 0 x 5 +

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet Första häftet 413. Eliminera x, y och z ur systemet x y + y z + z x = a x z + y x + z y =b ( x y + z )( x x y + y )( y z z + z ) =c x (A. H. P.) 414. Den konvexa fyrhörningen ABCD är omskriven kring en

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 6, 9 Första häftet 575. En normalkorda i en parabel är given till längd och läge. Bestäm enveloppen för parabelns styrlinje. 576. Att genom en given punkt draga en sekant till två givna cirklar

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

LNC Lösningar

LNC Lösningar LNC022 2013-05-27 Lösningar 1. (a) På en vägskylt står det att vägens lutning är 12 %. Om detta innebär att höjdskillnaden är 12 % av den körda vägsträckan, vilken är då vägens lutningsvinkel? (Rita figur.)

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Andragradskurvor. ax 2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0. Trots att ekvationen nu är betydligt mer komplicerad

Andragradskurvor. ax 2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0. Trots att ekvationen nu är betydligt mer komplicerad Andragradskurvor Den allmänna förstagradsekvationen i två variabler kan skrivas: ax + by + c = 0. Lösningsmängden till en given förstagradsekvation ges av en rät linje. Vi ska nu fortsätta och undersöka

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 35, 1952 Första häftet 1793. I en cirkel med centrum O och radien R är inskriven en spetsvinklig triangel ABC, vars höjder råkas i H. Bestäm maximum och minimum för summan av PO och PH, när punkten

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

! &'! # %&'$# ! # '! &!! #

! &'! # %&'$# ! # '! &!! # 56 6 MATRISER 6.6. Tillämpningar I exemplen nedan antar vi att {e, e 2 } är en ON-bas i planet och Oe e 2 ett högerorienterat system i detta plan. Exempel 6.39. Antag att u e + e 2 e är en vektor i planet

Läs mer

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 34, 1951 Första häftet 1739. I varje triangel är abc : r a 3 : r a + b 3 : r b + c 3 : r c. 1740. I varje triangel är (1 + cos A) 2 (1 cos A) (1 + cos A). 1741. Sidorna AC och BC i triangeln ABC

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 7 9, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst

Läs mer

Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm

Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v

Läs mer

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 45, 1962 Årgång 45, 1962 Första häftet 2353. Triangeln ABC och punkterna P 1 och P 2 ligger i samma plan. Om triangeln ABC symmetriseras med avseende på P 1 och P 2, uppstår trianglarna

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Lösningar Heureka Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik Heureka:Kapitel 3 3.1) Enligt figuren: nordliga förflyttningen: 100+00-100=00m Östliga förflyttningen:

Läs mer

Lösning till kontrollskrivning 1A

Lösning till kontrollskrivning 1A KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 1 Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras

Läs mer

Uppsalas Matematiska Cirkel. Geometriska konstruktioner

Uppsalas Matematiska Cirkel. Geometriska konstruktioner Uppsalas Matematiska Cirkel Geometriska konstruktioner Matematiska institutionen Uppsala universitet Våren 2019 Några ord om Uppsalas Matematiska Cirkel Uppsalas Matematiska Cirkel bildades hösten 2018

Läs mer

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65 Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 42, 1959 Årgång 42, 1959 Första häftet 2193. Tre cirklar med radierna r 1, r 2 och r 3 skär varandra under räta vinklar två och två. Hur stor är ytan av den triangel, som har sina hörn

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt

Läs mer

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 47, 1964 Första häftet 2457. ABC är en fix liksidig triangel. Linjerna AD och BE är parallella och skär linjerna BC och AC i D resp. E. Vidare är A 1, D 1, B 1 och E 1 mittpunkterna på sträckorna

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Cirklar: tangenter. 7. Genom ändpunkterna A och B av en cirkels diameter dras tangenterna. En tredje tangent skär dessa i P resp. Q.

Cirklar: tangenter. 7. Genom ändpunkterna A och B av en cirkels diameter dras tangenterna. En tredje tangent skär dessa i P resp. Q. Cirklar: tangenter En tangent till en cirkel definieras som en rät linje, som har eakt en punkt gemensam med cirkeln tangeringspunkten (till skillnad mot andra linjer som har två skärningspunkter eller

Läs mer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer). Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och

Läs mer

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Finaltävling i Lund den 19 november 2016 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka

Läs mer