Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
|
|
- Britta Eriksson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är täljaren en multipel av nämnaren, dvs Tz är konstant, och det fallet vill vi inte ha med i definitionen) Om c = 0 är Möbiusavbildningen T definierad för alla komplexa tal z, och om c = 0 är den definierad för alla komplexa tal utom z = d/c Det är emellertid naturligt att utvidga definitionen av T så att Möbiusavbildningen blir definierad och kontinuerlig i hela det utvidgade komplexa talplanet Ĉ = C { } För c = 0 är lim z Tz = lim z (az + b)/d =, så vi sätter T( ) = i det fallet För c = 0 är däremot az + b lim Tz = lim z z cz + d = a c och az + b lim Tz = lim z d/c z d/c cz + d =, så vi utvidgar T genom att sätta T( ) = a/c och T( d/c) = På så sätt är Möbiusavbildningen T definierad i det utvidgade komplexa talplanet i samtliga fall Avbildningen T : Ĉ Ĉ är bijektiv; inversen fås genom att lösa ekvationen vilket ger w = Tz, dw + b z = T 1 cw a, w = d/c, om w = a/c, w =, om w = a/c om w = (vilket även stämmer i fallet c = 0 förutsatt att a/0 och d/0 tolkas som ) Inversen T 1 är således också en Möbiusavbildning Om S och T är två Möbiusavbildningar, säg Tz = az + b cz + d och Sz = kz + l mz + n,
2 2 Möbiusavbildningar så är sammansättningen S(Tz) = ktz + l mtz + n = k az+b cz+d + l m az+b cz+d + n förstås också en Möbiusavbildning En Möbiusavbildning är entydigt bestämd så snart man känner dess värden i tre punkter För att visa detta betraktar vi först följande specialfall: Lemma 12 Antag att Möbiusavbildningen T har mer än två fixpunkter i Ĉ (z 0 kallas en fixpunkt om Tz 0 = z 0 ) Då är T lika med den identiska avbildningen I ( Iz = z för alla z) Bevis z 0 C är en fixpunkt till Tz = az + b cz + d om och endast om cz (d a)z 0 b = 0 Detta är en andragradsekvation i z 0 med högst två lösningar i C såvida inte alla koefficienterna i ekvationen är noll, dvs såvida inte c = b = 0 och a = d, vilket betyder att Tz = z för alla z Återstår att betrakta möjligheten att är en fixpunkt I så fall måste c = 0, och vi har att göra med en avbildning på formen Tz = az + b (Vi kan naturligtvis utan inskränkning anta att d = 1) z 0 C är fixpunkt till denna avbildning om och endast om (a 1)z 0 + b = 0 Om det förutom finns mer än en fixpunkt, så är därför a = 1 och b = 0, dvs T = I Sats 13 Antag att Möbiusavbildningarna S och T är lika i tre punkter i det utvidgade komplexa talplanet Då är S = T Bevis Om Sz i = Tz i, i = 1, 2, 3, så är T 1 Sz i = z i, dvs den sammansatta Möbiusavbildningen T 1 S har (minst) tre fixpunkter och måste därför vara lika med den identiska avbildningen, vilket medför att T = S Övningar 1 Bestäm samtliga fixpunkter till Möbiusavbildningarna a) w = z 1 b) w = iz + 2 c) w = z + 2 z Bestäm inversen till avbildningarna a) w = z 1 b) w = 2z i z + 1 iz Bilden av cirklar och linjer under Möbiusavbildningar Vi skall studera Möbiusavbildningarnas avbildningsegenskaper Det är då ofta praktiskt att uppfatta w = Tz som en avbildning från ett komplext z-plan till ett w-plan Låt oss först notera några viktiga specialfall För a = d = 1, c = 0 fås Möbiusavbildningen w = z + b, som kallas en translation Bilden av en figur i z-planet fås genom att translatera den med vektorn b Uppenbarligen avbildar translationer räta linjer på räta linjer och cirklar på cirklar
3 2 Bilden av cirklar och linjer under Möbiusavbildningar 3 För b = c = 0, d = 1, a = 0 får vi Möbiusavbildningen w = az Om a = 1, dvs a = e iθ, är avbildningen en rotation vinkeln θ kring origo Om istället a är ett reellt positivt tal, så är w = az en likställighetsavbildning med 0 som centrum en linjär förstoring om a > 1 och en linjär förminskning om a < 1 Ett godtyckligt komplext nollskilt tal a kan skrivas på formen a = a e iθ, varför avbildningen w = az = a e iθ z allmänt är en rotation kring origo följd av en likställighetsavbildning Det är uppenbart att avbildningen Tz = az avbildar varje cirkel med origo som centrum på en cirkel med origo som centrum och varje rät linje genom origo på en rät linje genom origo Låt Γ vara en godtycklig cirkel med centrum i punkten z 0 Eftersom az = a(z z 0 ) + az 0 kan T uppfattas som sammansatt av först translationen Sz = z z 0, sedan T själv och slutligen translation Uz = z + az 0 Translationen S flyttar cirkeln Γ till en cirkel med origo som medelpunkt, och denna avbildas av T på en ny cirkel kring origo, vilken slutligen av U translateras till en cirkel med az 0 som medelpunkt Det följer att avbildningen Tz = az avbildar godtyckliga cirklar på cirklar, och på motsvarande sätt inses att godtyckliga räta linjer avbildas på räta linjer b θ z kz Figur 1 I figuren illustreras hur en cirkel avbildas på en cirkel av respektive en translation Tz = z + b, en rotation Tz = e iθ z och en likställighetsavbildning Tz = kz Det sista specialfall som vi skall betrakta är Möbiusavbildningen Tz = 1/z som kallas en inversion Allteftersom z är < 1, = 1 och > 1 är Tz > 1, = 1 och < 1, så det är uppenbart att inversionen avbildar enhetscirkeln på sig själv, området innanför enhetscirkeln på området utanför och vice versa Vi skall nu se hur inversionen avbildar en godtycklig cirkel resp rät linje Vi börjar då med att skriva cirkelns respektive linjens ekvation på "komplex" form Cirkeln med centrum i z 0 och radie r har ekvationen vilket ekvivalent kan skrivas dvs z z 0 = r, r 2 = (z z 0 )(z z 0 ) = z 2 z 0 z z 0 z + z 0 2, (1) z 2 z 0 z z 0 z + k = 0, där det reella talet k (= z 0 2 r 2 ) skall vara < z 0 2 Om vi nu multiplicerar ekvationen med en nollskild reell konstant a kan vi ekvivalent skriva (1) på formen a z 2 az 0 z az 0 z + ak = 0 Sätt slutligen b = az 0 och c = ak Om vi noterar att villkoret k < z 0 2 är ekvivalent med att ac = a 2 k < b 2, så har vi visat cirkeldelen av följande sats
4 4 Möbiusavbildningar Sats 21 Ekvationen (2) a z 2 + bz + bz + c = 0, där a och c är reella tal, b är ett komplext tal och ac < b 2, betyder (i) en cirkel om a = 0; (ii) en rät linje om a = 0 Omvänt har varje cirkel och varje rät linje en ekvation av ovanstående typ Det återstår att betrakta den räta linjens ekvation, som ju allmänt kan skrivas på formen 2Ax + 2By + C = 0, där koefficienterna är reella och minst en av A och B är skild från noll Med z = x + iy, dvs x = (z + z)/2, y = (z z)/2i insatt i linjens ekvation får vi (A ib)z + (A + ib)z + C = 0 Om vi nu sätter a = 0, b = (A ib) och c = C, så får vi den sökta ekvationen Villkoret ac < b 2 blir i det här fallet ekvivalent med att b = 0 Betrakta nu bilden av cirkeln resp den räta linjen (2) under inversionen w = 1/z Insättning av z = 1/w i ekvationen ger eller efter multiplikation med w 2 = ww, a/ w 2 + b/w + b/w + c = 0, (3) c w 2 + bw + bw + a = 0 Om (2) är en cirkel som inte går genom origo, så är c = 0, och då är också (3) ekvationen för en cirkel, dvs bilden under inversionen av cirkeln (2) är i detta fall också en cirkel Om (2) är en cirkel genom origo, så är c = 0 och (3) är i detta fall ekvationen för en rät linje Om (2) är ekvationen för en rät linje genom origo, dvs a = c = 0, b = 0, så är (3) också ekvationen för en rät linje genom origo Om slutligen (2) är ekvationen för en rät linje, som inte går genom origo, dvs a = 0, b = 0, c = 0, så är (3) ekvationen för en cirkel, som går genom origo Vi har därmed visat följande lemma Lemma 22 Under inversionen w = 1/z avbildas cirklar på cirklar eller räta linjer, och räta linjer på räta linjer eller cirklar Exempel 23 Inversionen w = 1/z avbildar uppenbarligen reella axeln i z-planet på reella axeln i w-planet Vi skall undersöka vad bilden av cirkeln Γ: z i = 1 blir För den skull räcker det att bestämma bilden av tre punkter på cirkeln, tex punkterna 0, 1 + i 1 och 2i Dessa avbildas i tur och ordning på punkterna, 2 i 2 och i Det följer 2 att bilden av cirkeln Γ är lika med den räta linjen genom dessa tre punkter, dvs linjen Im w = 1 2 z w i 1 i 1 Figur 2 Bilder av cirklar under inversionen w = 1/z
5 3 Dubbelförhållande 5 Låt oss använda "cirkel" inom citationstecken som samlingsnamn för cirkel eller rät linje Satsen ovan kan då formuleras som att inversionen avbildar varje "cirkel" på en "cirkel" Samma sak gäller som vi tidigare sett för translationer, rotationer och likställighetsavbildningar Vi skall strax visa att motsvarigheten gäller för alla Möbiusavbildningar Först noterar vi följande hjälpsats Lemma 24 Varje Möbiusavbildning kan skrivas som en sammansättning av translationer, rotationer, likställighetsavbildningar och inversioner Bevis Tz = az + b cz + d = a bc ad 1 + c c 2 z + d/c Detta visar att Möbiusavbildningen Tz i tur och ordning är sammansatt av translationen u = z + d/c, inversionen v = 1/u, rotations- och likställighetsavbildningen w = bc ad v c 2 samt translationen w + a/c Nu kommer det här avsnittets huvudresultat Sats 25 Varje Möbiusavbildning avbildar "cirklar" på "cirklar" Bevis Följer omedelbart av lemmat plus vad vi visat om de speciella avbildningarna translation, rotation, likställighetsavbildning och inversion Varje "cirkel" är rand till två öppna sammanhängande områden en rät linje till två halvplan och en "riktig" cirkel till en cirkelskiva och området utanför cirkeln Eftersom Möbiusavbildningar är kontinuerliga och bijektiva, och kontinuerliga avbildningar avbildar sammanhängande områden på sammanhängande områden, följer det lätt att en Möbiusavbildning T avbildar ett område Ω som har en "cirkel" Γ som rand på ett av de två områden som har bild"cirkeln" T(Γ) som rand Exempelvis avbildar inversionen w = 1/z den öppna enhetsskivan z < 1 på det yttre av enhetscirkeln, dvs w > 1, och i exempel 23 fann vi att cirkeln z i = 1 avbildas på den räta linjen Im w = 1 För att bestämma bilden av cirkelskivan z i < 1 2 räcker det därför att undersöka bilden av en enda punkt i cirkelskivan, tex bilden av medelpunkten i Eftersom i avbildas på i, som ligger under linjen Im w = 1 2, avbildas cirkelskivan z i < 1 på halvplanet Im w < 1 Naturligtvis avbildas området utanför 2 cirkeln på det andra halvplanet Övningar 3 Bestäm medelpunkt och radie för cirkeln z 2 (1 i)z (1 + i)z 2 = 0 4 Bestäm bilden under Möbiusavbildningen w = z i av z + i a) imaginära axeln Re z = 0 b) halvplanet Re z > 0 c) reella axeln Im z = 0 d) halvplanet Im z > 0 e) enhetscirkeln z = 1 3 Dubbelförhållande Givet två "cirklar", Γ 1 och Γ 2, så finns det Möbiusavbildningar som avbildar Γ 1 på Γ 2 Vi skall visa detta samt hur man enkelt konstruerar sådana avbildningar Ett mycket användbart hjälpmedel definieras först
6 6 Möbiusavbildningar Definition 31 sätter vi Om z 1, z 2, z 3 är tre skilda punkter i Ĉ, och z är en godtycklig punkt så (z, z 1, z 2, z 3 ) = z z 1 z z 3 z2 z 3 z 2 z 1 Här skall högerledet tolkas på naturligt sätt om någon av punkterna är oändlighetspunkten, nämligen z 2 z 3, om z 1 = z z 3 z z 1 (z, z 1, z 2, z 3 ) =, om z 2 = z z 3 z z 1 z 2 z 1, om z 3 = (z, z 1, z 2, z 3 ) kallas dubbelförhållandet eller krysskvoten av de fyra punkterna Som funktion av z är förstås Sz = (z, z 1, z 2, z 3 ) en Möbiusavbildning Det följer omedelbart ur definitionen att Sz 1 = 0, Sz 2 = 1, Sz 3 = Vidare är krysskvoten S enligt sats 13 den unika Möbiusavbildning som avbildar de tre givna punkterna z 1, z 2, z 3 på punkterna 0, 1 resp Vi använder detta för att visa följande sats Sats 32 Givet en trippel z 1, z 2, z 3 av skilda punkter i Ĉ och en annan trippel w 1, w 2, w 3 av skilda punkter i Ĉ, så finns det en unik Möbiusavbildning T som uppfyller Tz i = w i, i = 1, 2, 3 Avbildningen w = Tz fås genom att lösa ekvationen (w, w 1, w 2, w 3 ) = (z, z 1, z 2, z 3 ) Bevis Enligt sats 13 finns det högst en sådan avbildning Vi skall visa att det finns exakt en avbildning genom att konstruera den Sätt Sz = (z, z 1, z 2, z 3 ), Uw = (w, w 1, w 2, w 3 ) och Uw = Sz Då vi löser den sista ekvationen får vi w = U 1 Sz Den sammansatta avbildningen T = U 1 S är en Möbiusavbildning och har de sökta egenskaperna, ty U 1 Sz 1 = U 1 0 = w 1, U 1 Sz 2 = U 1 1 = w 2, U 1 Sz 3 = U 1 = w 3 Exempel 33 Bestäm den Möbiusavbildning som avbildar 1, 1 och i på i tur och ordning, 0 och 1 Lösning: Vi skall lösa ekvationen (w,, 0, 1) = (z, 1, 1, i),
7 4 Konjugerade punkter 7 dvs w w = z 1 z i 1 i w 1 = 1 + i z 1 2 z i w = i z + 1 z 1 Tre skilda punkter i det utvidgade komplexa talplanet bestämmer en unik "cirkel" (Om punkterna inte ligger i rät linje är det en riktig cirkel, om punkterna ligger i rät linje eller om den ena punkten är oändlighetspunkten är "cirkeln" en rät linje) Av satsen ovan samt resultatet att "cirklar" avbildas på "cirklar" följer därför att det givet två "cirklar" finns Möbiusavbildningar som avbildar den ena på den andra Exempel 34 w = 1 Bestäm en Möbiusavbildning som avbildar reella axeln på enhetscirkeln Lösning: Reella axeln är bestämd av t ex punkterna 0, 1 och, och enhetscirkeln av t ex punkterna 1, i och 1 Vi får därför en Möbiusavbildning som avbildar reella axeln på enhetscirkeln genom att bestämma den (unika) Möbiusavbildning som avbildar de tre givna punkterna på reella axeln på de tre punkterna på enhetscirkeln: Efter förenkling fås (w, 1, i, 1) = (z, 0, 1, ) w 1 w + 1 i + 1 i 1 = z w = i z i + z Dubbelförhållandet har många trevliga egenskaper en är att det är invariant under Möbiusavbildningar: Sats 35 Låt z 1, z 2, z 3 vara tre skilda punkter i det utvidgade komplexa talplanet och låt T vara en godtycklig Möbiusavbildning Då är (Tz, Tz 1, Tz 2, Tz 3 ) = (z, z 1, z 2, z 3 ) för alla z Bevis Satsen kan naturligtvis verifieras genom att ansätta en godtycklig Möbiusavbildning T och sedan göra en rättfram uträkning Enklare och elegantare är det emellertid att resonera på följande vis Sätt Uz = (Tz, Tz 1, Tz 2, Tz 3 ) och Vz = (z, z 1, z 2, z 3 ) Både U och V är Möbiusavbildningar, och per definition är Uz 1 = Vz 1 = 0, Uz 2 = Vz 2 = 1 och Uz 3 = Vz 3 =, dvs U och V är lika för tre skilda punkter, och därför är avbildningarna identiska Övningar 5 Bestäm den Möbiusavbildning som avbildar 1 på 1, i på i och 0 på 6 Visa att z ligger på "cirkeln" genom de tre skilda punkterna z 1, z 2, z 3 om och endast om dubbelförhållandet (z, z 1, z 2, z 3 ) är reellt
8 8 Möbiusavbildningar 4 Konjugerade punkter Vi vet alla vad som menas med spegling i en rät linje Eftersom räta linjer är specialfall av det allmännare begreppet "cirklar", bör det finnas en utvidgning av speglingsbegreppet till spegling i en cirkel Den närmaste uppgiften är att göra denna utvidgning och på ett sådant sätt att begreppet blir invariant under Möbiusavbildningar I så fall finns det bara en möjlighet: För att konstruera "spegelbilden" z0 av en punkt z 0 med avseende på cirkeln Γ bestämmer vi först en Möbiusavbildning T som avbildar cirkeln på en rät linje L, betraktar sedan bilden w 0 = Tz 0 och konstruerar dess spegelbild w 0 med avseende på linjen L, samt avbildar tillbaka med T 1 och definierar z0 som T 1 w 0 Vi har emellertid en del verifikationer att göra för att inse att definitionen är entydig och börjar med följande lemma Lemma 41 En Möbiusavbildning T avbildar reella axeln R på sig själv om och endast om (*) Tz = Tz gäller för alla z Ĉ Bevis Antag först att villkoret (*) är uppfyllt Då är speciellt Tx = Tx för alla reella x, dvs Tx är reellt för alla reella x, och detta visar att T avbildar reella axeln på sig själv Låt omvänt T vara en Möbiusavbildning som avbildar reella axeln på sig själv, och låt speciellt x 1, x 2, x 3 vara de punkter på reella axeln (inklusive ) som avbildas på 0, 1 och Möbiusavbildningen är då Tz = (z, x 1, x 2, x 3 ) = az + b cz + d där koefficienterna a, b, c och d är rationella uttryck i x 1, x 2 och x 3, och därför är reella tal Det följer att Tz = az + b ( ) az + b cz + d = = Tz cz + d Lemma 42 Låt Γ vara en godtycklig "cirkel", och låt S och T vara två Möbiusavbildningar som avbildar Γ på reella axeln Då är S 1 Sz = T 1 Tz för alla z Ĉ Bevis Den sammansatta Möbiusavbildningen ST 1 avbildar reella axeln på sig själv, varför ST 1 w = ST 1 w gäller för alla w enligt föregående lemma Sätt in w = Tz; vi får då ST 1 Tz = ST 1 Tz = Sz T 1 Tz = S 1 Sz Därmed är beviset klart Vi kan nu ge vår definition Istället för spegling kallar vi operationen konjugering
9 4 Konjugerade punkter 9 Definition 43 Låt Γ vara en "cirkel" och låt z vara en godtycklig punkt Punkten z kallas konjugerad till z med avseende på Γ om z = T 1 Tz, där T är en godtycklig Möbiusavbildning som avbildar Γ på reella axeln z T 1 z Tz Γ T Tz Figur 3 Illustration till Definition 43 T(Γ) Definitionen är på grund av lemma 42 entydig, dvs z Möbiusavbildning som avbildar Γ på reella axeln Observera att definitionen kan skrivas beror inte på valet av Tz = Tz Om vi skall bestämma den konjugerade punkten z till z, så kan vi naturligtvis använda samma Möbiusavbildning T och vi får då Det följer att Tz = Tz = Tz = Tz z = z, dvs konjugering är en symmetrisk egenskap om punkten z 2 är konjugerad till punkten z 1 med avseende på en "cirkel", så är också z 1 konjugerad till punkten z 2 med avseende på samma "cirkel" Om Γ är reella axeln, så kan vi som Möbiusavbildning T välja den identiska avbildningen, varför definitionen ger z = z Konjugering med avseende på reella axeln överenstämmer således med vanlig komplex konjugering, dvs med spegling Exempel 44 (Konjugering med avseende på en rät linje) En rät linje L är bestämd av två komplexa tal a och b samt oändlighetspunkten Låt oss avbilda L på reella axeln med den avbildning T som sänder a till 0, b till 1 och till Motsvarande avbildning är w = Tz = (z, a, b, ) = z a b a Om z och z är konjugerade, dvs Tz = Tz, så är därför z a b a = z a b a
10 10 Möbiusavbildningar Genom att ta absolutbeloppet resp argumentet av båda sidor ser vi att z a = z a och arg (z a) arg (b a) = arg (z a) arg (b a) = (arg (z a) arg (b a)) Ovanstående gäller för alla punkter a på linjen L Det följer därför av den första relationen att z och z har samma avstånd till linjen och av den andra att de ligger på olika sidor om linjen Punkterna z och z är med andra ord varandras spegelpunkter i linjen L z a b L z Γ z a z Figur 4 Konjugering med avseende på en linje resp en cirkel Exempel 45 (Konjugering med avseende på en cirkel) Låt Γ vara cirkeln z a = R, som vi avbildar på reella axeln genom att sända punkterna a + R, a + ir och a R i tur och ordning på 0, 1 och med Möbiusavbildningen w = Tz = (z, a + R, a + ir, a R) = i z a R z a + R Konjugeringsdefinitionen Tz = Tz resulterar i ekvationen (**) i z a R z a + R = i z a R z a + R, vilken efter förenkling blir (z a)(z a) = R 2 för alla z utom a och oändlighetspunkten Ytterligare omskrivning ger z a = R2 z a = R 2 (z a) z a 2 Härav kan vi utläsa att de konjugerade punkterna z och z (förlängda radie) från cirkelns medelpunkt samt att ligger på samma stråle z a z a = R 2 Dessa båda villkor bestämmer naturligtvis den konjugerade punkten entydigt Om speciellt z ligger på cirkelns periferi så att z a = R, så blir z = z Om slutligen z = a, så är högerledet av (**) lika med i, och det följer att z = Vi har med andra ord a = och = a, dvs cirkelns medelpunkt och oändlighetspunkten är ett par av konjugerade punkter Konjugering är invariant under Möbiusavbildningar Vi har nämligen följande sats
11 4 Konjugerade punkter 11 Sats 46 Antag att Möbiusavbildningen T avbildar "cirkeln" Γ på "cirkeln" Γ, och låt z och z vara konjugerade med avseende på Γ Då är bildpunkterna Tz och Tz konjugerade med avseende på bild"cirkeln" Γ Bevis Låt S avbilda Γ på reella axeln Då avbildar ST 1 Γ på reella axeln Per definition är Sz = Sz, och härav följer (ST 1 )(Tz ) = (ST 1 )(Tz), vilket bevisar att Tz och Tz är konjugerade Sats 47 Låt z 0, z 0 och z 1 vara tre skilda punkter i det utvidgade komplexa talplanet Då finns det en unik "cirkel" Γ genom punkten z 1 så att punkterna z 0 och z 0 är konjugerade med avseende på Γ Bevis Betrakta först specialfallet z 0 = 0, z 0 = och z 1 = 1 Punkterna 0 och är konjugerade med avseende på en "cirkel" om och endast om "cirkeln" är en riktig cirkel med 0 som medelpunkt, och det finns förstås en unik sådan som passerar genom punkten 1, nämligen enhetscirkeln C: z = 1 Betrakta nu det allmänna fallet och låt T vara den unika Möbiusavbildning som avbildar z 0, z 0 och z 1 på 0, och 1 Punkterna z 0 och z 0 är enligt föregående sats konjugerade med avseende på "cirkeln" Γ genom z 1 om och endast om bildpunkterna 0 och är konjugerade med avseende på bildcirkeln T(Γ) genom 1 Det följer av avsnittet ovan att T(Γ) = C, dvs det finns en unik sådan "cirkel", nämligen Γ = T 1 (C) Det följer av föregående sats att bilden av en "cirkel" under en Möbiusavbildning T är entydigt bestämd av Tz 0, Tz 0 och Tz 1, där z 0 och z 0 är ett par av konjugerade punkter och z 1 är en punkt på cirkeln Detta är en egenskap som är mycket användbar för att konstruera Möbiusavbildningar med önskvärda avbildningsegenskaper Exempel 48 Vi skall bestämma samtliga Möbiusavbildningar som avbildar enhetsskivan z < 1 på det övre halvplanet Im w > 0 så att z = 0 avbildas på w = i 1 a i i Figur 5 Lösning: Cirkeln z = 1 måste avbildas på reella axeln Vi observerar vidare att den till cirkelns medelpunkt 0 konjugerade punkten måste avbildas på den till i konjugerade punkten med avseende på reella axeln, dvs på spegelpunkten i Slutligen måste punkten 1 på cirkeln avbildas på en punkt a på reella axeln (inklusive oändlighetspunkten) Detta ger oss alla möjliga avbildningar Med hjälp av dubbelförhållanden får vi: (z, 0, 1, ) = (w, i, a, i) z = w i w + i a + i a i, vilket efter förenkling kan skrivas w = i a + i + (a i)z a + i (a i)z
12 12 Möbiusavbildningar (Speciellt fås avbildningen w = i 1 z 1 + z för a = 0 och avbildningen w = i 1 + z 1 z för a = ) Exempel 49 Bestäm alla Möbiusavbildningar som avbildar enhetsskivan z < 1 på enhetsskivan w < 1 Lösning: Avbildningen är entydigt bestämd om vi vet vilka punkter som avbildas på 0, 1 och Låt b vara den punkt som avbildas på 0 Eftersom är konjugerad till 0, måste b avbildas på, och enligt exempel 45 är b = 1/b Låt slutligen c vara den punkt på cirkeln som avbildas på 1 Vi har då w = (w, 0, 1, ) = (z, b, c, b ) = z b z 1/b c 1/b c b Låt oss studera den sistnämnda faktorn Vi har, eftersom c = 1, varför Det följer att 1 bc c b = c b c 2 c b 1 bc c b = eiθ w = e iθ z b 1 bz, = c b c b = 1, = z b 1 bz 1 bc c b där b < 1 och θ är reellt, är det allmänna utseendet på en Möbiusavbildning som avbildar enhetsskivan på sig själv (Det stämmer även i fallet b = 0 då härledningen blir något annorlunda (enklare) på grund av att b = i det fallet) Övningar 7 Bestäm den konjugerade punkten till i med avseende på a) linjen Re z = Im z b) cirkeln z = 2 c) cirkeln z = 1 d) cirkeln z 1 = 1 8 Bestäm en Möbiusavbildning som avbildar z < 2 på sig själv så att i avbildas på 0, och 2i avbildas på sig själv 9 Möbiusavbildningen T avbildar cirkeln z = 2 på reella axeln och i på sig själv Vilken punkt avbildas på i? 10 De två punkterna z 0 och z0 är konjugerade med avseende på "cirkeln" Γ "Cirkeln" C går genom dessa punkter och skär Γ i punkten z 1 (och ytterligare en punkt) En Möbiusavbildning T avbildar z 0 på 0, z0 på och z 1 på 1 Vad är bilderna av Γ och C under Möbiusavbildningen T? 11 Möbiusavbildningen T avbildar i på 0, 1 på 1 och i på Vad är bilden av sträckan från i till i på imaginära axeln?
13 5 Konformitet 13 5 Konformitet Betrakta Möbiusavbildningen Tz = az + b cz + d Eftersom T är analytisk och bijektiv i C \ { d/c} följer det att T (z) = 0 Genom direkt uträkning får vi också T ad bc (z) = = 0 (cz + d) 2 En Möbiusavbildning är därför speciellt en konform avbildning, dvs om γ 1 och γ 2 är två kurvor som skär varandra i en punkt z 0 ( = d/c) under vinkeln θ, så skär bildkurvorna T(γ 1 ) och T(γ 2 ) varandra under samma vinkel θ Vidare behålls orienteringen Exempel 51 Betrakta avbildningen w = Tz = 1 + z 1 z, som avbildar 1 på 0, 0 på 1 och 1 på Det följer att T avbildar reella axeln på reella axeln och sträckan [ 1, 1] på positiva reella axeln Enhetscirkeln måste avbildas på en "cirkel" i w-planet Eftersom enhetscirkeln skär reella axeln under rät vinkel i punkten 1 måste bild"cirkeln" skära bilden av reella axeln, dvs reella axeln under rät vinkel i punkten T( 1) = 0 Vidare måste bild"cirkeln" vara en rät linje, eftersom bildcirkeln innehåller punkten T(1) = Den enda räta linje, som skär reella axeln under rät vinkel i origo är den imaginära axeln, så slutsatsen är att enhetscirkeln avbildas på den imaginära axeln 1 1 Figur 6 1 Vi kan också direkt avläsa bilden av halvcirkeln {z : z = 1, Im z 0}, dvs av den del av enhetscirkeln som ligger i det slutna övre halvplanet Vinkeln mellan den reella axeln och denna halvcirkel vid skärningspunkten 1 är +90, så det följer att vinkeln mellan bildkurvorna också är +90 Eftersom 1 avbildas på 0 och 1 på blir slutsatsen att halvcirkeln avbildas på den del av den imaginära axeln som ligger i det övre halvplanet Exempel 52 Betrakta de båda cirklarna z = 1 och z 1 2 = i 1 1 i Figur 7
14 14 Möbiusavbildningar Cirklarna har en enda skärningspunkt (tangeringspunkt), nämligen punkten 1 Genom att använda en Möbiusavbildning som avbildar denna punkt på (se figur 7), måste båda cirklarna avbildas på räta linjer med endast som gemensam punkt, dvs de två bildlinjerna måste vara parallella Låt oss tex avbilda 1 på, i på 0 och 1 på 1, vilket innebär att avbildningen är w = Tz = (1 i) z i z 1 Då är bilden av enhetscirkeln lika med reella axeln, och bilden av den andra cirkeln är följaktligen parallell med reella axeln Eftersom T(0) = 1 + i, går denna parallella linje genom punkten 1 + i och är således linjen Im z = 1 Vad är då bilden av det halvmåneliknande området Ω mellan de två cirklarna? Jo då den yttre enhetscirkeln C beskrivs i positiv riktning, dvs i den orientering som ges av punkterna 1, i och 1 ligger området till vänster om cirkeln Eftersom Möbiusavbildningen är konform, dvs bevarar orienteringen, måste bildområdet T(Ω) ligga till vänster om T(C), när denna beskrivs i ordningen T(1), T(i), T( 1), dvs i ordningen, 0, 1, vilket är lika med den reella axelns naturliga orientering Slutsatsen blir att bildområdet T(Ω) är lika med bandet mellan de två linjerna Övningar 12 De två punkterna z 0 och z0 är konjugerade med avseende på "cirkeln" Γ Visa att varje "cirkel" C genom z 0 och z0 är ortogonal mot Γ, dvs skär Γ under rät vinkel [Ledning: Utnyttja övning 10 samt att Möbiusavbildningar bevarar vinklar] Svar till övningar 1 a) i och i b) 1 + i och c) 2 a) z = 1 + w b) z = i + 2w 1 w 2 iw 3 Medelpunkt 1 + i och radie 2 4 a) Reella axeln Im w = 0 b) halvplanet Im w < 0 c) cirkeln w = 1 d) cirkelskivan w < 1 e) imaginära axeln Re w = 0 5 w = 1/z 6 Tz = (z, z 1, z 2, z 3 ) avbildar z 1, z 2, z 3 på 0, 1, och "cirkeln" genom de tre punkterna på reella axeln, vilket är samma som att säga att Tz är reellt om och endast om z ligger på "cirkeln" 7 a) 1 b) 4i c) i d) i 2 z i 8 w = 4i z 4i 9 4i 10 T(Γ) är lika med enhetscirkeln (ty 0 och är konjugerade map T(Γ)), och T(C) är reella axeln 11 Den del av imaginära axeln som ligger i övre halvplanet
Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri
94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 7.1 7.4 7.1 Invarians av Laplaceekvationen Om f O(Ω), Ω C ett område, är bijektiv med holomorf invers så säger vi att f är biholomorf. Detta avsnitt handlar om att harmoniska
Läs merHarmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merMöbiustransformationer.
224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver
Läs mer1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),
Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merTentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Läs merLösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merPoincarés modell för den hyperboliska geometrin
Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av
Läs merKompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
Läs merKomplexa tal. z 2 = a
Moment 3., 3.2.-3.2.4, 3.2.6-3.2.7, 3.3. Viktiga exempel 3.-3.8, 3.9,3.20 Handräkning 3.-3.0, 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga
Läs merEXEMPELSAMLING I KOMPLEXA FUNKTIONER
Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. EXEMPELSAMLING I KOMPLEXA FUNKTIONER INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. Komplexa tal.......................................... 3. Cauchy-Riemannekvationerna..........................
Läs merMatematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl v = Imf = coshxsiny +e y sinx+xy +1.
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 2017-04-21 kl 14.00 19.00 Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs mer.I Minkowskis gitterpunktssats
1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,
Läs merLösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs mer===================================================
AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs mer3. Analytiska funktioner.
33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig
Läs merTisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar
1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs mer1 Tal, mängder och funktioner
1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk
Läs merden reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merFör ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är. ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω0
Övning 5 Introduktion Varmt välkomna till femte övningen i glerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se petition lativ dämpning För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen
Läs merHela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merKappa 1. Robin Kastberg. 10 oktober 2014
Kappa 1 Robin Kastberg 10 oktober 2014 Sammanfattning Vi visar att uppgiften är lösbar för en generell triangel genom att visa att det är en trivial egenskap för en särskild, och att alla dessa egenskaper
Läs mer2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merKomplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 6. 6.7 6. Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar,
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs mere = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär
Linjära avbildningar II Förra gången visade vi att givet en bas i rummet, e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär avbildning F : R 3 R 3 representeras av en matris: Om vi betecknar en vektor u:s
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merLösningsförslag för omtentamen i Komplex analys, SF1628, 21/
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Lösningsförslag för omtentamen i Komplex analys, SF1628, 21/12 2016 Skrivtid 08.00-13.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merFöreläsning 9: Komplexa tal, del 2
ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merDatum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.
Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Läs merKapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner
Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer
TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merforts. Kapitel A: Komplexa tal
forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab
Läs merSeptember 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och
Fö : September 3, 205 Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har i en riktning, och ii en nollskild längd betecknad P Q. Man använder riktade sträckor
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merEllipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.
Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merOrdinära differentialekvationer
Ordinära differentialekvationer Lars Hörmander vt 198 1 Existens av analytiska lösningar Redan i kapitel VI observerade vi att för varje analytisk funktion f i en cirkelskiva kan man finna en analytisk
Läs mer1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder
Föreläsning 9 1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder I denna föreläsning ska vi kortfattat behandla potentialströmning, som traditionellt varit ett stort område inom aerodynamiken, men
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen 016-10-8 - Lösningsskiss 1. a) 1 1 1 0 0 1 0 + 1 0 Sedvanligt teckenschema visar att detta är uppfyllt [,0[. Svar: [,0[. b) Vi löser ekvationen 1 = genom att studera
Läs merKvalificeringstävling den 26 september 2017
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 6 september 017 1. Bestäm alla reella tal x, y, z som uppfyller ekvationerna x + = y y + = z z + = x Lösning 1. Addera
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merLinjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.
Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät
Läs merSKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna
Läs mer8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten > 4 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3( ) < (3 + ), och uttrck lösningen som ett intervall
Läs mer