Läsanvisningar till kapitel
|
|
- Göran Eklund
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Läsanvisningar till kapitel Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar, så kallas koefficienten c i j= c j ) j för residuen i. Eftersom koefficienten i en Laurentserieutveckling definieras genom en integral så kan vi använda residuer till att beräkna integraler. Men varför just koefficienten c? Låt oss motivera detta intresse av residuer. Låt vara en enkel, sluten, positivt orienterad styckvis C -kurva kring origo. Då är {, n n = 2πi, n =. Antag nu att f är en holomorf funktion med en singularitet i origo. Då har f en Laurentserieutveckling i någon annulus A kring ; f) = j= c j j. Denna konvergerar likformigt på, förutsatt ligger helt i A och innehåller origo. Då är f = c j j d = c j j d = 2πic. j= j= Alltså är koefficienten c viktig, och det leder till följande definition. Denna definition har ni sett förrut, i alla fall mer eller mindre, men jag tänkte vara mera precis här). Definition 6.. Låt f vara en funktion med en isolerad singularitet i punkten. Då kallas koefficienten c i f:s Laurentserieutveckling j= c j ) j för f:s residue i punkten. Detta skriver vi som Resf, ) eller Res ). Observation. Enligt definition så har vi att Resf, ) = 2πi då r > är tillräckligt litet. o =r f)d
2 Vi kan även göra några fler fundamentala observationer:. Om f har en hävbar singularitet i så är Resf, ) = enligt Cauchys integralsats. 2. Om f har en pol av ordning k i så gäller att Detta ger att c k f) = ) + + c k ) + c j ) j. ) k f) = c k + + c ) k + )f ) där f ) = j= c j ) j. Derivera nu k ) gånger, då får vi j= d k d k ) k f) = k )!c + dk d k )f ). Låt nu. Då blir lim d k d k ) k f) = k )!c +. Alltså om f har en pol av ordning k i så gäller att Resf, ) = Exempel. Funktionen f) = 2 Resf, ) = k )! lim d k d ) k f). k 2 )! lim har en pol av ordning 2 i =. Detta ger att d d 2 f) = lim d d =. Exempel 2. Betrakta funktionen f) = =. Då är Resf, ) = = lim 3 2 )! lim e ) ) 2 d d d d 2 f) = lim som har en pol av ordning 2 i e ) 3 d d e ) = 3 lim 3 3 e ) 3 = lim e ) För att inse detta, kolla på Taylorutvecklingen av e. d d ) 2 e ) e e ) ) 3 = e ) 2 = =
3 Om vi har flera singulariteter som ligger innanför en kurva, kan vi då använda oss av residuer för att beräkna en integral? Svaret är ja, och besvaras av Cauchys residuesats. Sats 6.2. Cauchys residuesats) Låt Ω C vara ett enkelt sammanhängande område och f OΩ) förutom i de isolerade singulariteterna,..., n. Antag att är en sluten, enkel, positivt orienterad styckvis C -kurva i Ω och att,..., n ligger inuti. Då gäller f)d = 2πi Resf, j ). Bevis. Vi ska använda induktion över antalet singulariteter. Om n = : Då är f holomorf i ett enkelt sammanhängande område som innehåller. Då ger Cauchys integralsats att V L = f)d =. Vidare så har vi att HL = så det stämmer i fallet n =, dvs inga singulariteter. Antag nu att satsen är sann för n ) stycken singulariteter. Låt ε > vara så litet så att n ε ej innehåller någon av,..., n. Tag därför två punkter p och p 2 på n = ε. Förbind p och p 2 med kurvan i punkterna q respektive q 2. Kalla dessa respektive 2. Låt C vara övre delen av cirkeln n = ε från p till p 2, och låt C 2 vara undre delen av cirkeln n = ε. Vidare låt 3 vara den del av som går från q til q 2 och låt 4 vara den del av som förbinder q 2 med q, så = Rita en bild över detta!) Bilda nu j= = 3 2 C 2 + C som är en sluten, enkel, positivt orienterad styckvis C -kurva. Då har vi att Alltså är f n f)d = 2πi n = 2πi Resf, j ). j= Resf, j ), j= så satsen är sann för n stycken singulariteter. cosπ) Exempel 3. Vi ska beräkna I = d där är en snäll kurva som innehåller och. Cauchys residuesats ger 2 ) att I = 2πiRes) + Res)). 3
4 Vi har att = är en enkel pol, ty cos π, så Res) = lim cosπ) 2 =. Vidare så är = en pol av ordning 2, ty cos, så ) d cosπ) π sinπ) ) cosπ) Res) = lim = lim = d ) 2 ) =. 2 Detta ger att I = 2πi ) = 4πi. 6.2 Trigonometriska integraler över [, 2π] Vi ska i detta avsnitt beräkna integraler på formen 2π Ucos θ, sin θ)dθ med hjälp av Cauchys residuesats. Antag att funktionen U ovan är en rationell funktion i cos θ, sin θ med reella koefficienter som är ändlig på [, 2π]. Låt : [, 2π] C vara en kurva som ges av θ) = e iθ. Observera att e iθ = för θ [, 2π]. θ) Kom nu ihåg Eulers formler: Då gäller att cos θ = eiθ + e iθ 2 cos θ = 2 + ), sin θ = eiθ e iθ. 2i, sin θ = 2i ) där [, 2π]). Gör nu substitutionen dθ = d i 2π Ucos θ, sin θ)dθ = U + 2 så får vi ), 2i )) fracdi. Och nu är vi i ett läge där vi kan använda Cauchys residuesats. Låt oss kolla på ett exempel. Exempel 4. Låt a R, a, och betrakta I = 2π dθ + a 2 2a cos θ. Vi ska beräkna I. Låt = e iθ för θ [, 2π] och låt vara enhetscirkeln kring origo. Då är d = ie iθ dθ = idθ. 4
5 ) Gör nu variabelsubstitution i I. Då får vi, om vi använder cos θ = 2 +, I = ) d + a 2 2a 2 + i = id a)a ). Vi ser nu att integranden har enkla poler i = a och =. Residuen i dessa a punkter är och Resa) = lim a Res ) = lim a a i a a i a a) = ) = i a 2 i a 2. Vi måste nu kolla på olika fall för a: Om < a <, då ligger a innanför och /a utanför. Detta ger att ) i I = 2πi = 2π a 2 a. 2 Om a >, då ligger a utanför och /a innanför. Detta ger att ) i I = 2πi = 2π a 2 a Obestämda integraler av speciella funktioner över ], [ Vi ska försöka beräkna fx)dx genom att använda komplex analys. Detta gör vi genom att helt enkelt låta f) vara den reella funktionen fx) fast i den komplexa variabeln, så t.ex. om fx) = x 2 + så är f) = 2 +. Låt I R = [ R, R] och låt C R = Re iθ, för θ π. Sätt R = C R + I R. Låt nu R > vara tillräckigt stort så att f):s isolerade singulariteter med Im) > ligger innanför R. Då vet vi att f)d = f)d + f)d R C R I R och enligt Cauchys residuesats så har vi R f)d = 2πi Resf, j ), j= 5
6 där,..., n är f:s isolerade singulariteter så att Im j ) >. Vi får då att 2πi Resf, j ) = f)d + f)d. C R I R j= Låt nu R, så vi betraktar 2πi j= Resf, j ) = lim f)d + lim f)d. C R I R Eftersom vi befinner oss på realaxeln i integralen över I R så kan vi gå tillbaka till den reella funktionen, dvs 2πi j= Resf, j ) = lim f)d + lim fx)dx. C R I R Om nu fx)dx existerar och är ändlig, så brukar vi kalla detta för principalvärdet och skriver R p. v. fx)dx = lim fx)dx. R Observation 2. Exemplet i boken om att p. v. xdx inte existerar. Så om fx)dx existerar och är ändlig så får vi att 2πi j= xdx = är viktigt, eftersom Resf, j ) = lim f)d + p. v. fx)dx. C R Alltså om vi kan visa att lim C R f)d = så skulle vi ha beräknat p. v. fx)dx. Lyckligtvis så finns det ett lemma som hjälper till här: Lemma 6.3. Om f) = P )/Q), där P och Q är polynom så att då är Exempel 5. Låt oss beräkna integralen gradq) 2 + gradp ) lim f)d =. C R I = x 2 x 4 + dx. 6
7 Ni får själva kolla att I är konvergent, så I = lim R R x 2 x 4 + dx. Låt oss nu gå över till den komplexa funktionen f) = gradq) 2 + gradp ) så lemmat ovan ger att lim f)d =, C R 2. Observera att 4 + där C R är halvcirkeln Re iθ, θ π. Eftersom ekvationen 4 + = har lösningarna = e πi/4, 2 = e 3πi/4, 3 = e 5πi/4 och 4 = e 7πi/4, så och 2 ligger innanför R = C R + I R. Detta betyder att Vi har att för k =, 2, 3, 4. Detta betyder att I = 2πiRes ) + Res 2 )). Res k ) = 2 k 4 3 k = 4 k I = 2πi 4 e πi/4 + e 3πi/4 = π 2. Denna metod blir ofta lättare än den gamla metoden med integralkalkylens huvudsats. Anmärkning. Metoden som har beskrivits i detta avsnitt fungerar inte om singulariteterna ligger på Im) =, utan detta ska vi få lära oss i senare avsnitt. 6.4 Obestämda integraler av trigonometriska funktioner Vi ska fortsätta med att beräkna principalvärdet för integraler på formen P x) cosmx)dx och Qx) P x) Qx) sinmx)dx, där P och Q är polynom. För att beräkna dessa integraler så använder vi samma metod som i föregående avsnitt. Det man observerar är att Ree it ) = cos t, Ime it ) = sin t, 7
8 så och P x) ) P x) cosmx)dx = Re Qx) Qx) eimx dx P x) ) P x) sinmx)dx = Im Qx) Qx) eimx dx. Konstruktionen med kurvan = C R +I R kan man använda även här, och Jordans lemma hjälper en på traven: Lemma 6.4. Jordans lemma) Om m > och P och Q är polynom så att då är där C R är en halvcirkel med radie R. gradq) + gradp ) P ) lim C R Q) eim d =, Exempel 6. Vi ska beräkna p. v. x 3 sin x dx. Sätt x 2 +) 2 f) = så har f poler i ±i. Eftersom 3 e i 2 + ) = 3 e i 2 + i) 2 i), 2 grad 2 + ) 2 ) + grad 3 ) så kan vi använda oss av Jordans lemma, så CR 3 e i 2 + ) 2 d =, där C R är en halvcirkel i övre halvplanet. Eftersom i är den enda polen i övre halvplanet, så ger Cauchys residuesats att p. v. x 3 sin x dx = Im2πi Resi)). x 2 + ) 2 Om man beräknar residuen så får man Resi) =, vilket betyder att 4e p. v. x 3 sin x dx = Im 2πi ) = π x 2 + ) 2 4e 2e. 8
9 6.5 Speciella konturer Detta avsnitt handlar om hur man beräknar integraler med singulariteter på den reella axeln. Det man gör är att man lägger en halvcirkel med godtyckligt liten radie runt singulariteten och därefter så använder man Cauchys residuesats. För att beräkna integralen längs denna halvcirkel, eller någon cirkelbåge, kring en singularitet använder man följande lemma: Lemma 6.5. Om f har en enkel pol i = c och T r är en cirkelbåge kring c definierad genom c + re iθ, θ θ θ 2, då gäller att lim f)d = iθ 2 θ ) Resf, c). r + T r Dessa metoder lär man sig lättast om man räknar lite. Därför ger jag ett exempel. Exempel 7. Låt oss beräkna I = p. v. oss lim CR e 2i Vidare så ger lemmat från detta avsnitt att lim r + Sr e 2i e 2ix dx. Vi har att Jordans lemma ger x+ d =. + d = πi Res ), + där S r är en halvcirkel kring singulariteten =. Eftersom så får vi att Res ) = lim + ) e 2i + = e 2i I = πie 2i. 6.6 Integraler av flervärda funktioner Även i detta avsnitt så beräknar vi integraler, fast nu är integranden en flervärd funktion. Jag tycker att ni ska gå igenom detta avsnitt och räkna några uppgifter. Jag kommer här bara gå igenom ett exempel så jag hoppas det är tillräckligt. Exempel 8. Vi ska beräkna lnpx) dx för p, q >. Sätt g) = Logp). Då gäller q 2 +x 2 q att ReLog)) = ln. Då är Log) holomorf på C\], ]. Observera att g har en enkel pol i iq. Då är Resg, iq) = lnpq) 2qi 9 + π 4q.
10 Observera att vi inte behöver något belopp på pq då vi tar den naturliga logaritmen, eftersom både p och q är icke-negativa. Låt < r < q < R och låt S r vara en halvcirkel kring origo med godtyckligt liten radie r i övre halvplanet, och låt C R vara en halvcirkel kring origo med stor radie R. Låt = C R +[ R, r]+s r +[r, R]. Då ger Cauchys residuesats att Vi har att som går mot r R g = r R g)d = 2πi Resg, iq) = π lnpq) q R r g = R r logp) q d + π2 i 2q. Logp) d då R och r +. Vidare har vi att q Logp) q d = r R Log p) R q 2 + ) d) = 2 r Logp) + πi d q som går mot Logp) d + πi q q 2 + d 2 då R och r +. Vi gör nu ett variabelbyte, som ger att π g = LogRe iθ ) π C R q 2 + R 2 e 2iθ ireiθ dθ = ln R + iθ q 2 + R 2 e 2iθ ireiθ dθ ln R + π R 2 q πr 2 då R. Jag lämnar åt er att visa att S r g då r +. Detta ger att g Logp) q 2 + d + 2 då R och r +. Så vi får att π lnpq) q + π2 i 2q = 2 Logp) d + πi q Logp) d + πi q Om vi jämför real och imaginärdel så får vi att q d q d. och lnpx) π lnpq) dx = q 2 + x2 2q q 2 + x 2 dx = π 2q.
11 6.7 Argumentprincipen och Rouches sats Meromorfa funktioner är holomorfa funktioner med poler. Med dessa så kan vi med hjälp av nollställen och poler beräkna en viss typ av integraler. Mer precist har vi: Sats 6.6. Argumentprincipen) Låt f : Ω C vara en meromorf funktion, där Ω är ett enkelt sammanhängande område i C. Låt vara en sluten, enkel, positivt orienterad styckvis C -kurva. Antag att f saknar poler och nollställen på. Då gäller att 2πi f ) f) d = N f) N p f), där N p f) är summan av ordningen av poler innanför och N f) är summan av ordningen av nollställena innanför. Denna sats ska vi använda till att visa Rouches sats som uttalar sig om nollställen för funktioner. Sats 6.7. Rouches sats) Låt Ω C vara ett enkelt sammanhängande område och låt f OΩ). Antag att f) < g) på en enkel, sluten styckvis C -kurva i Ω. Då måste f och g ha samma antal nollställen innanför räknat med multiplicitet). Bevis. Säg att g = f + h, där h < f på. Detta ger att f på. Betrakta homotopin F t ) = F t, ) = f) + th), t, som överför f till g. På har vi att F t f t h f h >. Låt Nt) vara antalet nollställen till F t i det inre av. Då ger argumentprincipen att Nt) = F t) 2πi F t ) d. Eftersom N är definierad av en integral av en kontinuerlig funktion, så måste N vara kontinuerlig. Vidare så antar N bara heltalsvärden den räknar ju antal!). Därför måste N) = N) vilket betyder att antalet nollställen hos F = f är samma som antalet nollställen hos F = g. Rouches sats säger att vi kan göra små holomorfa störningar och även ha lika många nollställen.
12 Exempel 9. Vi ska undersöka hur många nollställen f) = e har i det högra halvplanet. Låt g) = och h) = e. Då är g, h OC). Låt vara den slutna kurva som går i en halvcirkel C R från ir till ir och därefter linjen l R från ir till ir. Då gäller att g) = = R 3 2 då R 3 > 2 på C R, och h) = e = e Re på C R. På linjen l R så gäller att och giy) = iy) = y hiy) = e iy =. Alltså är g) > h) på. Vi kollar nu på hur många nollställen g har innanför. Löser vi g) = så ser vi att den har 2 stycken nollställen innanför om R > 2 /3. Då ger Rouches sats att g och f har samma antal nollställen innanför. Eftersom R > 2 /3 är godtycklig så följer det att f har två nollställen i högra halvplanet. Exempel. Betrakta p) = Vi påstår att p har alla sina nollställen i B, 2). Vi ser att p har exakt tre nollställen enligt algebrans fundamentalsats. Låt r) = 3 som har alla sina nollställen i origo, så speciellt i B, 2). På B, 2) så är r) = 8. Vidare så är q) = 3 en liten störning av r). På B, 2) så är q) = < r). Rouches sats ger att r och p har lika många nollställen i B, 2). Exempel. Låt f OB, +ε)), ε >. Antag att f) = 3 och att f) > 7 då =. Vi påstår att f har ett nollställe i B, ). Låt h) = 3. Vi har att f) > h) på B, ) så har f och g = f + h lika många nollställen i B, ). Men g) = f) + h) = så f måste ha ett nollställe i B, ). Rouches sats ger i sin tur följande sats Sats 6.8. Öppna avbildningssatsen) En holomorf, icke-konstant funktion är öppen, dvs bilden av öppna mängder är öppna. Bevis. Antag att f OΩ), där Ω är ett område i C. Tag V Ω öppen. Vi ska visa att fv ) är öppen. Eftersom V är öppen så finns det en boll Ba, r) V där a V. Enligt identitetssatsen så finns det ett r så att Ba, r) är en sådan boll, och så att om vi definierar m = inf{ f) fa) : Ba, r)} 2
13 så är m >. Detta är inget annat än avståndet från fa) till f Ba, r)). Tag en w Bfa), m) och sätt g) = f) w. Vi ska nu använda Rouches sats: Sätt g ) = f) fa). Denna har minst ett nollställe i Ba, r). Sätt g ) = fa) w som då är konstant. För Ba, r) är nu g ) = f) fa) m > fa) w = g ) och därför har g + g = g samma antal nollställen i Ba, r) som g, dvs minst. Vad betyder nu detta? Jo, för vårt godtyckliga val av w Bfa), m) så finns ett Ba, r) så att = g ) = f ) w, så f ) = w. Därför är Bfa), m) fba, r)) fv ), så fv ) innehåller en boll, så fv ) är öppen. 3
Läsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merBo E. Sernelius Residuer och Poler 27
Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 7 RESIDUER OCH POLER I detta kapitel studerar vi de punkter där en funktion inte är analytisk Vi inför begreppet pol och lär oss räkna ut residuen i en pol
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merKursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.
Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
Läs mer1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),
Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger
Läs merLäsanvisningar till kapitel 3
Kapitel 3 Läsanvisningar till kapitel 3 Den moderna vägen till holomorficitet dess konsekvenser Vi ska i detta kapitel definiera ett begrepp som kallas holomoficitet, det kommer visa sig att vara precis
Läs mer3. Analytiska funktioner.
33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig
Läs merKRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER
Bo E. Sernelius Kramers-Kronigs Dispersionsrelationer 33 KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER I detta kapitel diskuterar vi vad som händer om en pol finns på integrationskonturen och vi härleder Kramers-Kronigs
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 7.1 7.4 7.1 Invarians av Laplaceekvationen Om f O(Ω), Ω C ett område, är bijektiv med holomorf invers så säger vi att f är biholomorf. Detta avsnitt handlar om att harmoniska
Läs merHarmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merCauchys integralformel och några av dess konsekvenser
En Webbaserad Analyskurs Analytiska Funktioner Cauchys integralformel och några av dess konsekvenser Lars Hörmander MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Cauchys integralformel och några av dess
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merTentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer
TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merLösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merTentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Läs merKOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i.
KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 6 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER.. Beräkna real- och imaginärdel av a) i b) ( i ) 3 c) + i ( 3 ) 3 i d) ( i 5 + ) i 9 +. Bestäm absolutbelopp och argument av a) i 3 b)
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merMatematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl xsinx (x 2 +1) 2 dx. p(z) = z 3 +(2 2i)z 2 +2iz +4
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 219-1-15 kl 14. 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje uppgift
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merPatologiska funktioner. (Funktioner som på något vis inte beter sig väl)
Patologiska funktioner (Funktioner som på något vis inte beter sig väl) Dirichletfunktionen Inte kontinuerlig någonstans Inte Riemannintegrerbar Weierstrass funktion Överallt kontinuerlig Inte deriverbar
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merModul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.
Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =
Läs merMöbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merLösningsförslag för omtentamen i Komplex analys, SF1628, 21/
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Lösningsförslag för omtentamen i Komplex analys, SF1628, 21/12 2016 Skrivtid 08.00-13.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merMatematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl v = Imf = coshxsiny +e y sinx+xy +1.
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 2017-04-21 kl 14.00 19.00 Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 5 Integraler Denna modul omfattar kapitel 5 och avsnitt 6.-6. i kursboken Calculus av Adams och Esse och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merKompletteringskompendium
Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM79 016-09-6 1 a) Vi isolerar x + och kvadrerar ekvationen observera att det då bara blir en implikation!): + x + = x x + = x ) x + = x ) = x 1x + 1 x 1 x + 10 = 0 x = 1 6 ± 7 6 Eftersom
Läs merTillämpningar av komplex analys på spektralteori
Tillämpningar av komple analys på spektralteori Anders Källén, baserat på föreläsningar hösten 1979 av Lars Hörmander MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet härleds
Läs merOrdinära differentialekvationer
Ordinära differentialekvationer Lars Hörmander vt 198 1 Existens av analytiska lösningar Redan i kapitel VI observerade vi att för varje analytisk funktion f i en cirkelskiva kan man finna en analytisk
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merKapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merA-del. (Endast svar krävs)
Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen
Läs merFör ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är. ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω0
Övning 5 Introduktion Varmt välkomna till femte övningen i glerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se petition lativ dämpning För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merVektoranalys, snabbrepetition. Vektorfält
Vektorfält Ett vektorfält F är en funktion F : R 2 R 2. (Eller mer allmänt en funktion R n R n.) Observera att F(x, y) har två komponenter, som båda beror av x och y. Låt oss kalla dessa komponenter för
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Läs merBo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL
Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 5 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL I etta kapitel efinierar vi en komplexvär funktion av en komplex variabel, ess erivata, begreppet analytiska
Läs merMer om generaliserad integral
Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av
Läs mer8.4. Integration av trigonometriska uttryck
68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel. 2.2 Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs mer1 Tal, mängder och funktioner
1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs mer11 Dubbelintegraler: itererad integration och variabelsubstitution
Nr, april -5, Amelia ubbelintegraler: itererad integration och variabelsubstitution. Itererad integration tterligare eempel Eempel (97k) Beräkna ( ) och ( ). ( 8) dd om begränsas av, 5 3.75.5.5.5.5 3.75
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merPoincarés modell för den hyperboliska geometrin
Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs mer1 Primitiva funktioner
Primitiva funktioner Definition. F ( är en primitiv funktion till f( om F ( f(. Antag att vi har hittat en primitiv funktion F ( till f(. Finnsdetflerprimitivafunktionerochvilken form har de i så fall?
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs mer