KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i."

Transkript

1 KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 6 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER.. Beräkna real- och imaginärdel av a) i b) ( i ) 3 c) + i ( 3 ) 3 i d) ( i 5 + ) i 9 +. Bestäm absolutbelopp och argument av a) i 3 b) ( + i) 6 c) e) ( ( i) 9 d) i ) 67 3 f) e iϕ + ( + i) 4 ( + i 3) 3. Beräkna principalvärdet av arg + geometriskt. om är en punkt på enhetscirkeln =. Tolka 4. Bestäm rötterna till a) + ( + i) 7i = b) 5 = i c) = d) = e) 4 + i i + = 5. Visa att n sin(k )x = sin nx sin x

2 6. Bevisa olikheten ( Re + Im ). När gäller likhet? 7. Beskriv geometriskt följande punktmängder i det komplexa talplanet (a, k R) a) Re =, b) a + a + k =, c) + a + a + k =, k < a, d) + i = 5 3i, e) i +. KOMPLEXA FUNKTIONER. 8. I vilka punkter är f(x + iy) = 3x y 4i(x y) 3 deriverbar? punkt? Är f() analytisk i någon 9. Vilken eller vilka av följande funktioner är analytiska i någon del av planet?, Re,,, e, 3 Arg. Bestäm de analytiska funktioner vars realdel är a) Im b) x xy c) x 3 3xy +xy d) e x (x cos y y sin y). Bestäm de analytiska funktioner f() = u + iv för vilka u endast beror på x.. För vilka reella funktioner u och v är både u + iv och u iv analytiska? Bestäm därefter alla analytiska funktioner f() = u + iv med f = konstant. 3. En stationär tvådimensionell strömning kan ges genom en analytisk funktion F () = φ + iψ där φ är hastighetspotentialen. Man kallar nivåkurvorna till φ för ekvipotentialkurvor och strömningen som sker ortogonalt mot dem ges här som nivåkurvor till y ψ. Bestäm ekvipotentialkurvor och strömlinjer då φ = x + y. 4. Visa att auchy-riemanns ekvationer för f() = u + iv i polära koordinater blir u r = v r ϕ, r u ϕ = v r. 5. Hur många nollställen har P () = i högra halvplanet? 6. Bestäm antalet nollställen till P () = i vänstra halvplanet. 7. Hur många nollställen har funktionen f() inom området D då, a) f() = , D : <,

3 b) 5 +, D : < <, c) f() = , D : Re <, d) f() = 4 + i + 3 +, D : <, e) f() = , D : Re >, Im >. ELEMENTÄRA FUNKTIONER. 8. Beräkna de möjliga värdena av log och ange speciellt principalvärdet då a) = i b) = + i c) = 3 i 9. Lös ekvationen e = ( + i)4 ( + i 3) 7. Låt log vara principalvärdet av logaritmen och sätt a = i, b = i och c = +i. Vilka av följande likheter är sanna? a) log a + log b = log ab b) log a + log c = log ac c) log a log b = log a b d) log c = log c e) log e 4a = 4a. Skriv följande funktionsvärden på formen a + ib, sin i + i cos i, e ei, cos(π/4 i), tan( + i). Beräkna f ( 6i) för principalgrenen av f() = /3. 3. Visa att sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y och sin = sin x + sinh y. Härled analoga formler för cosinus. 4. Visa att sin och cos endast har reella nollställen. Undersök även för vilka som sin resp cos antar reella värden. 5. Lös ekvationerna a) e = i b) cos = i c) tan = log i (för de möjliga värdena på log i) 6. Lös ekvationen sin + i sin + sin 3 =. 7. Visa att max cos = cosh. Vad är minimum av cos för? 3

4 8. Förenkla där log är principalgrenen. i log i x i + x, x R 9. Bestäm bilden av halvbandet < y < π, x > vid avbildningen w = e. 3. Bestäm bilden av området < x < π, y > vid avbildningen w = cos. Visa att en sträcka y =konstant i halvbandet avbildas på en ellipsbåge i undre halvplanet och undersök därefter vad en sträcka x =konstant i halvbandet avbildas på. 3. Visa att man kan definiera en gren av log mellan och. i planet uppskuret längs reella axeln 3. Undersök om man kan skära upp planet så att man kan definiera en entydig analytisk + gren av 3 i det uppskurna planet. + KOMPLEX INTEGRATION. 33. Beräkna för alla heltal n integralen n d då integrationsvägen är är den räta linjen från = till = i. 34. Beräkna d från = till = längs halvcirkeln =, Im. 35. Beräkna de båda integralerna d ( ) och d då är a) cirkeln =, b) = /, c) =. irklarna tas ett varv i positiv led. d 36. Beräkna där är en kurva som går från = till = + i utan att skära halvaxeln x =, y. 37. Beräkna log( + ) d där är halvcirkelbågen + =, Im > tagen från = till =. Med log avses här principalgrenen. 38. Undersök lim f(r) då f(r) = d. Ange också vilka värden f(r) antar för r + 3 r >, r. 39. Beräkna integralerna 4. Beräkna =r cos d och cos d där är cirkeln = 4. ( ) e d där är cirkeln i = 4 tagen ett varv i positiv led. + 4

5 4. Beräkna 3 till 3. { + + } d där är halvcirkeln = 3, Im, tagen från + 4. Bestäm största värdet av f() för då a) f() = b) f() = ( ) ( + ) Beräkna medelvärdet av f() = hjälp härav integralen π π n + a över enhetscirkeln = och beräkna med a + cos nθ a dθ, a >, n N. + + a cos nθ 44. Beräkna e x cos bx dx genom att integrera e ±a + ib och sedan låta a. över en rektangel med hörn i ±a, 45. Beräkna sin x x ei dx genom att integrera funktionen över över den positivt orienterade randen till området < ε < < R, Im >, och sedan låta ε + och R. KOMPLEXA SERIER. 46. Undersök konvergens hos a) n + i, b) i n n, c) n + i. 47. Termvis derivation och integration av potensserier är tillåten i det inre av konvergenscirkeln. Använd det för att beräkna k k och k + k+ för <. 48. Visa att e n är konvergent för Re < och beräkna summan. Beräkna sedan e n sin n 49. För vilka konvergerar ( ) n? + ( ) n 5. Bestäm konvergensradierna till följande potensserier a) k k ln k b) k!( ) k c) k! k! d) ( + ) k k k 5

6 5. Ange Maclaurinserierna till funktionerna cosh, sinh, cos och sin genom att utgå från utvecklingen av e. För vilka konvergerar utvecklingarna? 5. Utveckla i Taylorserie kring = i. Ange seriens konvergensradie. 53. Beräkna f (n) () då f() = e. 54. Bestäm de tre första icke-försvinnande termerna i Taylorutvecklingarna kring origo av följande funktioner och ange konvergensradierna a) + b) tan c) e cos d) cos 5/4 55. En funktion f() definieras genom f() = e för och f() =. Visa att f() är analytisk i en omgivning av =. Bestäm därefter koefficienterna c, c, c i Maclaurinserien f() = c n n och visa att c n = för n = 3, 5, 7,.... För vilka konvergerar utvecklingen? 56. Summera serierna n och n+ n + för <. 57. Antag att f() är en hel funktion som satisfierar olikheten f() e för alla. Visa att f (4) () 5. (, 7 < e <, 8)) 58. Bestäm Laurentutvecklingarna av följande funktioner i de angivna områdena a) ( + ) sin, < < b), < < resp < < ( + ) c) sin, < < d) e) ( + )(9 ), < < 3 +, < + < 3 f) e, > 59. Finns det någon analytisk f() i cirkeln < med f(/) = /3 men f(/n) = /(n) för n = 3, 4, 5,...? Z-TRANSFORMEN. Vi ska här betrakta den enkelsidiga -transformen och utgår då från en komplexvärd funktion f definierad på de naturliga talen, f : N. Den enkelsidiga -transformen Z[f] = F av f definieras genom F () = f(k) k. Serien konvergerar i ett område av formen > R och vi ska förutsätta att R = R f <. 6

7 6. Beräkna -transformen av f då (a, α R) a) f(k) = a k e ikα b) f(k) = a k cos kα c) f(k) = a k sin kα 6. Visa att G() = F () om g(k) = kf(k), k =,,,.... Beräkna -transformen av f(k) = k m a k, k =,,,..., för m =,,, Bestäm inverstransformen f(k) till a) F () = b) F () = ( + ) c) F () = ( + ) d) F () = e) F () = Log f) F () = e/ 63. Antag att f har -transformen F (), > R f. Visa att f(k) = F () k d, πi k =,,,..., om är en cirkel = R med R > R f tagen ett varv i positiv led. Beräkna därefter inverstransformen av F () = ( )( ) Antag att f har -transformen F () och sätt g(k) = k f(m), k =,,,.... Visa F () att G() = för > max (R f, ). Beräkna därefter summan g(n) = n =,, 3,... m= 65. Beräkna faltningen (f g)(k) då f(k) = k och g(k) = k, k =,,,.... n k, 66. Lös differensekvationen y(k) 3y(k ) + y(k ) =, k =,,,..., då y(k) = för k <. 67. Lös differensekvationen y(k + ) y(k + ) y(k) =, k N, då y() =, y() =. 68. Är differensekvationen 4y(k) + y(k ) y(k 3) = f(k), k =,,,..., stabil? RESIDUER OH INTEGRALBERÄKNINGAR. 69. Beräkna följande residuer k= a) Res e / b) Res π cot π c) Res cos + d) Res sin + 7. Beräkna alla residuer till funktionerna a) e b) sin 3 c) sin d) (e e) 3 7

8 7. Beräkna följande integraler där integrationsvägarna ska tas i positiv led d sin d a) b) + i + sinh d c) (e ) d) = = sin π + + d e) Beräkna följande integraler =3 =3/ = 3 + e/ d f) = d sin a) + x + x x 4 + dx b) dx (x + ) 3 c) dx x 4 + x + d) dx x Beräkna följande integraler (m R) a) cos mx x dx b) + x sin x x dx c) + x + cos x dx d) (x + i) sin x x( + x ) dx 74. Beräkna e iωx cos x x Beräkna integralerna dx, ω R. a) x α dx x +, < α < b) x dx c) ( + x) 4 ln x dx (x + ) 76. Betrakta Laurentutvecklingen c och c. sin = c n n i området π < < π. Beräkna c 3, 77. Beräkna integralen π dθ cos θ genom att skriva den som en konturintegral över enhetscirkeln. 78. Beräkna f(t) = πi +i i i s-planet då a) F (s) = 79. Beräkna f(t) = πi +i i e st F (s) ds, t > där integrationen sker längs linjen Re s = (s + ), b) F (s) = (s + ). e st F (s) ds, t > då F (s) = 8 e s (s ).

9 LAPLAETRANSFORMER. Den enkelsida Laplacetransformen L(f) = F av en funktion f :], [ definieras genom F (s) = f(t)e ts dt(när integralen konvergerar).vi ska här förutsätta att f är styckvis kontinuerlig och att det finns konstanter T, A, a sådana att f(t) Ae at för t > T. Integralen är då absolutkonvergent i halvplanet Re s > a och F (s) blir analytisk detta halvplan. halvplan av formen Re s c > a. Vidare gäller att F (s) går mot noll då s går mot i 8. Visa under lämpliga förutsättningar hos f följande egenskaper hos Laplacetransformen a) L[af + bg] = af (s) + bg(s) b) L[e at f(t)] = F (s a) c) L[f(t a)h(t a)] = e as F (s) där a och H(t) är heavisidefunktionen. n d) L[f (t)] = sf (s) f() och mer allmänt L[f (n) ] = s n F (s) s k f (n k ) () [ t e) L ] f(u) du = s F (s) f) L[tf(t)] = d ds F (s) och mer allmänt L[tn f(t)] = ( ) n dn ds n F (s) [ f(t) ] g) L = F (w) dw t s 8. Beräkna Laplacetransformen av f(t) = [t], t. ([t] är heltalsdelen av t.) 8. Faltningen h = f g av två funktioner på [, [ definieras genom h(t) = (f g)(t) = t f(t u)g(u) du, t. Visa med lämpliga förutsättningar att H(s) = F (s)g(s). 83. Beräkna Laplacetransformen av följande funktioner ( a R) a) t n b) e at c) cos at d) sin at e) te t sin t 84. BeräknaLaplacetransformen av f(t) = et t 85. Bestäm f(t), t > då Laplacetransformen är, t >. a) s(s + ) b) s (s 3) 5 c) (s + )(s + 4) Använd t ex inversionsformeln. 9

10 86. Beräkna πi c+i c i e st log ( + ) ds, t >, där c > och integrationen sker längs s linjen s = c + iω, ω:. Med log avses här principalgrenen. 87. Använd Laplacetransformer för att lösa differentialekvationen y + y + y = f(t), t, med begynnelsevärdena y() =, y () = då f(t) = te t. 88. Bestäm en lösning till integralekvationen t f(t u) e u sin u du = t 3, t. 89. Lös systemet x (t) = (t) y (t) = x(t) + (t) (t) = y(t) (t) för t då x() = 3, y() = och () =. ARGUMENTPRINIPEN. 9. Undersök för alla A R hur många nollställen P () = 3 +A + har innanför = genom att studera argumentvariationen hos f() = + A + när genomlöper enhetscirkeln ett varv i positiv led. 9. Undersök antalet nollställen till f() i området D då a) f() = sin, D : < 3, b) f() = Log + +, D : Re >, c) P () = , D : <. 9. Hur många nollställen har f() = e ( 3+) i halvbandet Re >, Im <? 93. Är differentialekvationen y (6) + y (3) + y + y = f(t), t, stabil? 94. Visa att alla homogena lösningar till y (5) +3y (4) +9y (3) +y +8y +7y = f(t), t, är begränsade men att det finns begränsade högerled som ger obegränsade lösningar. KONFORMA AVBILDNINGAR. 95. I vilka punkter är f() = 4 4i konform? Beskriv f():s beteende i undantagspunkterna.

11 96. Betrakta Möbiusavbildningen f() = +. Vad är bilden under f av följande mängder a) reella axeln, b) imaginära axeln, c) cirkeln =, d) cirkeln =, e) cirkeln i =? 97. Bestäm den Möbiustransformation som avbildar a) =, = och 3 = på w =, w = och w 3 = 3, b) = i, = och 3 = på w = i, w = och w 3 =. c) Ange bilden av området <, Im > under avbildningen i b). 98. Bestäm en konform avbildning w = w() av området 5 på området w med w() =. 99. Bestäm en harmonisk funktion i området D : >, 3 < 3 som har randvärdena noll på den inre cirkeln och ett på den yttre genom att avbilda D konformt på bandet < Re w <.. Bestäm en Möbiusavbildning w = w() som avbildar det inre av enhetscirkeln på övre halvplanet så att w() = + i. Området mellan cirklarna = 3 och = avbildas med en Möbiusavbildning på en cirkelring med den yttre radien. Hur stor blir radien i den inre cirkeln?. Hur avbildar w = enhetscirkeln om vi väljer principalgrenen av rotfunktionen? 3. Hur stor area har bildområdet till Re, Re + Im vid avbildningen w = e? 4. Avbilda halvcirkeln <, Im > konformt på enhetscirkeln så att + i på origo. avbildas 5. Bestäm bilden av området Re π/, π/ vid avbildningen w = tan. 6. Visa att man kan definiera en entydig gren av f() = i log i i + i det längs imaginära axeln mellan i och +i uppskurna planet. Beräkna skillnaden mellan gränsvärdena av f() då går mot en punkt iy, < y <, från högra resp vänstra halvplanet.

12 EXTRA BLANDADE ÖVNINGAR. 7. Visa olikheten e ix e iy x y, x, y R. 8. Lös ekvationen 3 = + i. 9. Hur många nollställen har f() = för <?. Lös ekvationen ( + i) n = ( i) n för godtyckliga positiva heltal n.. Bestäm de analytiska funktioner f() = u + iv för vilka u endast beror på r.. Bestäm en analytisk funktion f() sådan att f() = (x + y )e xy. 3. Visa att om f() är analytisk innanför enhetscirkeln så är g() = f(/ ) analytisk utanför. 4. Skär upp -planet längs reella axeln mellan = och =. Undersök om man kan definiera en gren av a) resp b) 3 ( + )( + ) i det uppskurna planet. 5. Visa att två komplexa tal och svarar mot diametralt motstående punkter på Riemannsfären om och endast om =.Vi förutsätter här att Riemannsfären har sitt vanliga läge med medelpunkten i (,, /) och radien /. 6..För vilka konvergerar ( i ) n? + i 7. Man vill bestämma strömlinjerna vid en plan strömning kring en cylinder som representeras av enhetscirkeln i -planet. Genomför detta genom att avbilda området utanför enhetscirkeln konformt på det yttre av en slits w och sök bilderna i -planet av Im = k (konstant).hur mycket rör sig en vätskepartikel i y -led? 8. Låt u och v vara differentierbara funktioner av x och y och antag att (du) + (dv) = { λ(x, y) (dx) + (dy) }, λ >. Visa att antingen är u + iv eller u iv en analytisk funktion av = x + iy. 9. Betrakta differentialekvationen y + y = f(t), y() = y () =, där f är styckvis kontinuerlig och f(t) för alla t. möjligt.. Antag att f :], [ har period T. Visa att F (s) = Välj f så att y(7) blir så stor som e st T f(t)e ts dt för Re s >. Bestäm därefter Laplacetranssformen av f(t) = sin t, t (en likriktad sinusvåg).

13 . Beräkna c+i c i d sin π d där < c < och där ntegralen tas längs linjen Re = c.. Beräkna bilden av området Im > vid avbildningen w = log. Med log avses log + principalgrenen. 3. Finns det någon analytisk funktion f() i cirkeln < sådan att f( 3 ) = och f( n + ) = för n =, 3, 4,...? n + 4. Antag att f() är analytisk för <. Visa att om f är reell för, 8 < x <, 9, y =, så är f() reell på hela sträckan < x <, y =. 5. Visa att det inte finns någon analytisk fortsättning av f() = någon punkt på cirkeln =. n!, <, till 3

14 SVAR TILL VISSA UPPGIFTER. a), π 3 + nπ. b) 8, 3π + nπ. c) 3, π 4 + nπ. d), π 3 + nπ. e), 7π 6 + nπ, f) cos ϕ/, ϕ/ + nπ om π + 4mπ < ϕ < π + 4mπ och cos ϕ/, ϕ/ + π + nπ om π + 4mπ < ϕ < 3π + 4mπ samt beloppet är noll och argumentet odefinierat om ϕ = π + nπ. 3. Principalargumentet är π för Im > och π för Im <. 4. a) ( / ± )( + i). b) n = 5 e iπ(+4n)/ där n =, ±, ±. c) n = e niπ/5 där n = ±, ±. d) Dubbelrötter, = e kπi/3 där k =,,, e), = ±i och 3,4 = ( ± 5)i. n 5. VL=Im e (k ) = Im e ix enix e ix = cos nx sin x = sin nx sin x =HL. 6. auchys olikhet ger att x + y = ( x, y ) (, ) x + y + = med likhet omm x = y. 7. a) irkeln x + y = x/ utom origo. b) linjen αx + βy + k = där a = α + iβ. c) cirkeln +a = a k. d) linjen y = x+4. e) området (x+4/3) +(y+/3) Deriverbar i punkter på linjen y = x/. Ej analytisk i någon punkt. 9. Endast = (i området ) och e.. a) i + i, b) + i + i, c) 3 i + i, d) e + i. ( R). + D där R.. f konstant. 4. Derivation i f(re iϕ ) = u + iv m.a.p. r ger e iϕ f (re iϕ ) = u r + iv r och m.a.p. ϕ rie iϕ f (re iϕ ) = u ϕ + iv ϕ vilket ger f (re iϕ ) = e iϕ (u r + iv r) = e iϕ ir (u ϕ + iv ϕ) = e iϕ ( r v ϕ i r u ϕ). Jämför därefter de båda uttrycken för derivatan. 7. a) 3, b) 4, c), d), e) ln i(4π/3 + kπ), k Z. ie, e cos cos(sin ) + ie cos sin(sin ), sinh cosh i cos + sinh ( 3 ) i. (cosh + i sinh ) samt sin cos cos + sinh + 5. a) = ± + i π/ + nπ om n, = ± i π/ + nπ om n <. b) = ±(π/ + nπ i ln( 5 + )), n Z. 4

15 c) = π mπ + i ln + π/ + nπ π/ nπ, n, m Z = ±(π/ + nπ + i ln ), n Z, och = nπ/, n Z. 8. arctan x ( 33. i n+ ) om n, iπ/ om n =. n iπ. 36. ln i 5π iπ 39. πi cos resp πi sin. 4. πi sin. 4. π/ a) b) Medelvärdet är a och den sökta integralen är π a. 44. πe b. π Summorna är resp log( ) där log är principalgrenen. ( ) 48. Geometrisk serie med kvoten e. Konvergent då e = e x < dvs för x <.Summan blir. Sätter vi = + i och tar imaginärdelen erhåller vi den senare serien. e sin Dess summa är således e e cos + 5. a) R =. b) R =, c) R =, d) R = e. 5. n ( i)n ( ), konvergensradien R =. (i) n+ (n)! 53.. n! 54. a) + = ( om vi väljer principalgrenen av rotfunktionen), R =, b) tan = , R = π, c) ecos = e e + e R =, d) cos 5/4 = /3 +. R = ln. 56. resp Log a) + 3! + 3! 3 + 5! 4 + 5! 5. b) resp sin +. c) (sin ) cos sin 6! 5 + cos 7! 6. d) 8 ( ) n n ! + cos 3! + sin 4! 3 cos 5! 4 ( ) n ( ( ) n ). 3

16 6. a) e) ( + ) /3 /9 ( + )/3 3 ( + ) n /3 n+. f) ( e n m= ) m!. b) aeiα för n och c n = e för n <, a cos α a cos α + a. c) 6. Termvis derivation ger F () = Z[ka k ] = a sin α a cos α + a. c n n där c n = k f(k) k+ = G(), > R f, Z[a k ] = a ( a), Z[k a k ] = a + a ( a) 3, Z[k3 a k ] = a3 + 4a + a 3 ( a) 4. a, 6. a) H(k ). b) (k{ + )( ) k. c) δ(k ) { δ(k) + ( ) k = H(k )( ) k. d) F () /k för k > /(k )! för k > ej -transform. e) för k =. f) för k =. 63. f(n) = n+ ( ) n + 3n + 4, n =,,, 3,... n(n + )(n + ) 64. g(n) =. 6 k 4 k y(k) = 4 k k y() =, y(k) = k + ( )k+ för k JA. 69. a). b). c). d) cos. 7. a) Res nπi Res nπ e = nπi, n. b) Res nπ sin = ( )n n π då n. d) Res +nπi sin 3 = ( )n (e e) 3 = e 3., nπ. c) Res 7. a) π ( + i). b) πi. c) πi. d) πi sinh π. e) iπ/3. f) πi/3. 7. a) π. b) 3π 8. c) π 3. d) π a) πe m. b) π(cos + sin )/e. c) π/e. d) π( e ). πe w cosh då ω, 74. Integralen är πe cosh ω då < ω <, πe ω cosh då ω. π 75. a). b) π/6. c) π/4. cos(απ/) 76. c 3 = π, c = och c = π a) f(t) = sin t, t > och b) f(t) = (sin t t cos t), t > 79. f((t) = (t )(e t för t >, f(t) = för < t. e s 8. F (s) = s e s, Re s >. 6 sin = 6 och

17 n! 83. a) s n+. Re s >. b) s a 4(s ) e) ((s ), Re s >. + 4) ( 84. F (s) = log s ( t a) e t. b) 87. a) (t + t 3 /6)e t 88. t 3 + 6t + 6t. Re s > a. c) s a s, Re s >. d) + a ), Re s >. Med log avses här principalgrenen. 8 + t3 6 ) e 3t. c) 5 e t 5 cos t + sin t.. s. Re s >, + a 89. x(t) = e t e t + e t, y(t) = 3e t e t och (t) = e t + e t e t, t. 9. om < A <, om A > eller A, om A =. 9. a). b). c) Nej!. 95. Man har att f () = 4 3 4i utom = i och = i ± 3. Funktionen är konform utom i de tre senare punkterna. Taylorutveckling visar att vinklarna fördubblas i dess punkter. 96. a) Reella axeln, b) w =, c) imaginära axeln, d) w 5/3 = 4/3, e) w + i =. 97. a) w = + w, b) w = ( + i) 3 +, c) ( + i) >, Re w > Im w. 3 e iθ u = 3 x + y x x + y (realdelen av w = 3 ).. w = ( i) i På området u v > /, u >. 3. (e e ). 4. T ex w = ( + ) + (3 4i)( ) ( + ) + (3 + 4i)( ). 5. Re w, w ±i. 8. / 3 e πi(+8n)/4 3, n Z. 9. 4st. cot kπ/n, k =,,..., n.. log + D där R.. e i( /+) där R. 6. i <. 7

18 7. I övre halplanet får man x = ± y( + ky y ) y k där < k < y k + k +. Vid likhet är x = och lim x = ±. Rörelsen i y -led blir alltså k + k. Då k = y k får man reella axeln som bild då x > och x + y =, y > då x <. då < t < 7 π 9. f(t) = då 7 π < t < 7 π då 7 π < t < 7. F (s) = + e πs e πs + s, Re s >. i. Im w >, w i π > π 8

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y), Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger

Läs mer

3. Analytiska funktioner.

3. Analytiska funktioner. 33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig

Läs mer

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

Instuderingsfrågor i Funktionsteori Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du

Läs mer

Harmoniska funktioner

Harmoniska funktioner Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt

Läs mer

EXEMPELSAMLING I KOMPLEXA FUNKTIONER

EXEMPELSAMLING I KOMPLEXA FUNKTIONER Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. EXEMPELSAMLING I KOMPLEXA FUNKTIONER INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. Komplexa tal.......................................... 3. Cauchy-Riemannekvationerna..........................

Läs mer

1 Tal, mängder och funktioner

1 Tal, mängder och funktioner 1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk

Läs mer

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Kursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.

Kursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida. Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 6. 6.7 6. Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar,

Läs mer

Tentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016

Tentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016 Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4

Läsanvisningar till kapitel 4 Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger

Läs mer

Lösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori

Lösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också

Läs mer

Bo E. Sernelius Residuer och Poler 27

Bo E. Sernelius Residuer och Poler 27 Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 7 RESIDUER OCH POLER I detta kapitel studerar vi de punkter där en funktion inte är analytisk Vi inför begreppet pol och lär oss räkna ut residuen i en pol

Läs mer

Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.

Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1. Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är

Läs mer

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b

Läs mer

Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL

Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 5 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL I etta kapitel efinierar vi en komplexvär funktion av en komplex variabel, ess erivata, begreppet analytiska

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.

Läs mer

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int, Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan

Läs mer

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och

Läs mer

Blixtkurs i komplex integration

Blixtkurs i komplex integration Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk

Läs mer

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007 Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y

Läs mer

Matematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl xsinx (x 2 +1) 2 dx. p(z) = z 3 +(2 2i)z 2 +2iz +4

Matematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl xsinx (x 2 +1) 2 dx. p(z) = z 3 +(2 2i)z 2 +2iz +4 Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 219-1-15 kl 14. 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje uppgift

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00. Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 oktober 20, kl. 8:00 3:00 av 8 3 poäng. Svar: i. sant, ii. falskt, iii. sant, iv. sant, v.

Läs mer

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) = LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer). Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

Lösningsförslag TATM

Lösningsförslag TATM Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer

Lösning till kontrollskrivning 1A

Lösning till kontrollskrivning 1A KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,

Läs mer

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl. Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Lösningsförslag envariabelanalys

Lösningsförslag envariabelanalys Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan

Läs mer

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1. Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x

Läs mer

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n. ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och

Läs mer

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska

Läs mer

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är

Läs mer

Kontrollskrivning KS1T

Kontrollskrivning KS1T Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger

Läs mer

Matematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl v = Imf = coshxsiny +e y sinx+xy +1.

Matematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl v = Imf = coshxsiny +e y sinx+xy +1. Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 2017-04-21 kl 14.00 19.00 Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.

Läs mer

Dugga 2 i Matematisk grundkurs

Dugga 2 i Matematisk grundkurs Linköpings tekniska högskola Matematiska institutionen Tillämpad matematik Kurskod: TATA68 Provkod: TEN Inga hjälpmedel är tillåtna. Dugga i Matematisk grundkurs 013 16 kl 8.00 1.00 Lösningarna skall vara

Läs mer

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5) Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4

Läs mer

Lösningar till Matematisk analys

Lösningar till Matematisk analys Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära

Läs mer

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Tentamen: Lösningsförslag

Tentamen: Lösningsförslag Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER

KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER Bo E. Sernelius Kramers-Kronigs Dispersionsrelationer 33 KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER I detta kapitel diskuterar vi vad som händer om en pol finns på integrationskonturen och vi härleder Kramers-Kronigs

Läs mer

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4. Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1

Läs mer

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t), Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan

Läs mer

Några saker att tänka på inför dugga 2

Några saker att tänka på inför dugga 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades

Läs mer

Dubbelintegraler och volymberäkning

Dubbelintegraler och volymberäkning ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.

Läs mer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de

Läs mer

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds, Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi

Läs mer

Lösningsförslag TATM

Lösningsförslag TATM Lösningsförslag TATM79 016-09-6 1 a) Vi isolerar x + och kvadrerar ekvationen observera att det då bara blir en implikation!): + x + = x x + = x ) x + = x ) = x 1x + 1 x 1 x + 10 = 0 x = 1 6 ± 7 6 Eftersom

Läs mer

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas

Läs mer

Om komplexa tal och funktioner

Om komplexa tal och funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

Lösningar till Matematisk analys 4,

Lösningar till Matematisk analys 4, Lösningar till Matematisk analys 4, 05054. a Sätt a k k + k +, b k k e /k Serien k a k är positiv. Vi har att och c k k! 4 k k! för k,,... a k k + k + k k för stora k k och mera precist att / a k k k +

Läs mer

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I. Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4

Läs mer

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar

Läs mer

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör

Läs mer