Geometri och Trigonometri

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Geometri och Trigonometri"

Transkript

1 Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner och formler. Summan av vinklarna i en triangel är alltid 8. Vi definierar två typtrianglar. Definition 5. Typtriangel. Denna har vinklarna 3, 6 och 9. Typtriangel. Denna har vinklarna 45, 45 och 9. Sats 5. För typtriangel gäller att sidorna har förhållandet: : 3: För typrtiangel gäller att sidorna har förhållandet: ::. Definition 5.3 Vi definierar begreppet area påföljande sätt. För arean A hos en rektangel med sidorna a och b gäller att A = ab. Vi kräver dessutom att arean hos ett sammansatt geometriskt föremål ska vara summan av delarnas area.

2 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI c c a a 3c a Figur 5.: Typtriangel respektive. Sats 5.4 Beteckna höjden i en triangel med h, samt basens längd med b. Då gäller för arean A att: A = h b. Bevis: Vi gör ett geometriskt bevis. Beteckna arean med A.Vibör visa att A = bh/. Ta två identiska trianglar med basen b och höjden h. Se figuren nedan. Sätt den ena uppochner på den andra, så attettparallellogram fås. Detta har arean A, eftersom det består av två trianglar som vardera har arean A. Klipp loss den ena sidofliken, längs höjden på den ursprungliga triangeln och foga den till den andra kanten. Vi har nu fått en rektangel med kantlängderna b och h. Dessareaär summan av arean av dess delar, så A = bh A = ab. h h h b b b

3 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 3 Sats 5.5 Pythagoras sats. Antag att a och b är längderna av kateterna och c är längden av hypotenusan i en rätvinklig triangel. Då gäller att a + b = c. c b a Figur 5.: Pythagoras sats: a + b = c. Bevis: Vi gör igen ett geometriskt bevis. Ta fyra rätvinkliga trianglar med katetlängderna a och b och låt hypotenusans längd vara c. Vi bör visa att a + b = c. Placera ut de fyra trianglarna i en kvadrat så, att de räta vinklarna blir kvadratens hörn. Då har denna stora kvadrat arean (a + b)(a + b) =(a+b). Den stora kvadraten består av en mindre kvadrat, som har kantlängden c och således arean c, och fyra trianglar som vardera har arean ab/. Klart att totala arean hos den stora kvadraten ska vara densamma som summan hos dess delar. (Se figuren nedan.) Vi skriver upp detta. (a + b) = c +4 ab a +ab + b = c +ab a + b = c

4 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 4 a b b c c a a c c b b Figur 5.3: Figuren till beviset för Pythagoras sats. a Definition 5.6 Likformiga figurer är identiska, så när som på attdeär olika stora. (Vi tillåter rotation.) Vi definierar längdskalan k som förhållandet mellan längden hos motsvarande delar i figurerna. Eventuella motsvarande vinklar är lika stora och om figurerna har area, så är förhållandet mellan areorna k. Sats 5.7 En cirkel med radien r har omkretsen O resp arean A: O =πr och A = πr Talet π, förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter, är irrationellt och har närmevärdet 3, 4593.

5 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 5 5. Vinklar och vinkelenheten radian Studera figuren med en cirkel inritad nedan Figur 5.4: Grafen av cirkeln med mittpunkt i origo och radien. Denna cirkel kallas allmänt för enhetscirkeln. Denna cirkel, med radien och mittpunkten i origo kallas enhetscirkeln. Eftersom r = är omkretsen av cirkeln π. När vi mäter storleken av en vinkel vore ett naturligt sätt att ange hur lång bågen inuti vinkeln är. Definition 5.8 Storleken av en vinkel i radianer (betecknas rad) är mätetalet för längden av motsvarande båge i enhetscirkeln. 3 π Figur 5.5: Vinkeln π. Detta är den sträcka av enhetscirkelns periferi som 3 finns mellan vinkelbenen.

6 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 6 Vi har att 36 =πrad,så = 36 πrad. Detta ger oss följande samband mellan radianer och grader: α 36 = t π där t är vinkeln i radianer och α är samma vinkel i grader. Exempel 5.9 Hur många grader är 3 πrad? Lösning: α är okänt i exemplet. t = π rad. Detta ger 3 α 36 = π 6π α = 3 36 =. Exempel 5. Hur många radianer är 5? Lösning: Här är t okänt. Vi får: 5 36 = t π t = 5 8 π = 5π 4 Vinkeln t mätt i radianer anger hur lång väg vi rört oss motsols längs enhetscirkelns periferi (positiv riktning). Vi kommer inte att begränsa denna sträcka till ett varv, så vi kan ha vinklar större än π. Vi kommer även att tillåta negativa vinklar, vilket alltså svarar mot att vi rör oss medsols. Mot varje t R svarar exakt en periferipunkt P på enhetscirkeln. Omvänt svarar varje punkt på enhetscirkeln mot följande (oändligt många) reella tal t + n π n Z. Radianvinkeln t är entydigt bestämd på varvet när, så om vi begränsar oss till vinklar t [, π[, fås att varje P svarar mot exakt t. (Avbildningen från P till t är en bijektion.)

7 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 7 Exempel 5. Bestäm vinkeln t [, π[ som svarar mot samma periferipunkt som vinkeln t = 37 π. 6 Lösning: Eftersom 37 π kan skrivas som 6 π 6 +( 4) π och π [, π[, 6 har vi bestämt t. t = π 6. Motivering: Om vi dividerar vinkeln med π, såfår vi reda på hurmånga hela varv vi har snurrat, i detta fall 37π/6/π = 37/ = 3 hela / varv. Vi får alltså attt =t 4 π,dåvikräver att t ska vara en positiv vinkel, mindre än ett helt varv.

8 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI Trigonometri - den rätvinkliga triangeln Definition 5. För en spetsig vinkel α, (< π ), i en rätvinklig triangel gäller (jfr figuren): c a α b Figur 5.6: Vinkeln α i den rätvinkliga triangeln med motstående kateten a, närliggande kateten b samt hypotenusan c sin α = a c cos α = b c tan α = a b = motstående katet hypotenusan = närliggande katet hypotenusan = motstående katet närliggande katet cot α = tan α

9 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 9 Exempel 5.3 En (spetsig) vinkel i en rätvinklig triangel uppmäts till 5 π Vinkelns närliggande katet uppmäts till 5. cm. Beräkna triangelns övriga delar. Lösning: Betecknar den uppmätta vinkeln med α. Eftersom vinkelsumman i en triangel är π erhålls vinkeln β (jämför figuren): β c a α b β = π Längden hos sidan a erhålls: ( 5π + π ) = π. tan α = a b a = b tan α 8.7. Längden på c är: cos α = b c c = b cos α 9.3. Längden av c kunde vi alternativt ha beräknat m.hj.a. Pythagoras sats: c = a + b = = c 9.4 Anmärkning 5.4 Minns att ändra till rad påräknaren!!!

10 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 5.4 Enhetscirkeln (cos t, sin t) Vi vill undersöka sin för vinkeln t. Vi ritar in en rätvinklig triangel i enhetscirkeln. Eftersom sin t = motstående katet, hypotenusan så fås sint som höjden genom hypotenusan. I enhetscirkeln gäller det att hypotenusan har längden. Vinkeln t svarar mot en periferipunkt (x, y). Höjden är y. Därför gäller det att: sin t = y = y. På motsvarande sätt gäller det för cos t att denna är: cos t = x = x. Definition 5.5 Sinus och cosinus för det reella talet t, definieras i enhetscirkeln med hjälp av motsvarande periferipunkt. sin t = Periferipunktens y-koordinat cos t = Periferipunktens x-koordinat En periferipunkt har koordinaten (cos t, sin t), där t är längden längs med enhetscirkeln.

11 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI Funktionerna sin t och cos t har D = R och V =[,]. Utgående från tidigare införda definitioner på tangens och cotangens erhålls: tan t = y x = sin t cos t och cot t = x y = cos t sin t. Definitionsmängden för tan är alla reella tal, utom de punkter där vi har cos t =. Detta är punkterna (, ) och (, ) på enhetscirkeln. I dessa punkter är t = π + nπ. Det gäller alltså att: { } π D tan t = R\ + nπ n Z. För värdemängden gäller att: V tan t = R. Detta kan man förstå genom att studera den geometriska tolkningen av tangens. (Se figuren nedan.) Eftersom höjden i en triangel inskriven i enhetscirkeln kan tolkas som sin t och basen som cos t gäller följande sats. Sats 5.6 Pythagoras sats tillämpad på enhetscirkeln ger direkt att för varje t R. π sin t +cos t= För tecknet på de trigonometriska funktionerna gäller att: <t< π π π<t<3π 3π sin t + + cos t + + tan t + + För <t< π säger man att vinkeln ligger i den första kvadranten. För <t<πsägs t ligga i den andra kvadranten o.s.v.

12 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI (,tan t) t sin t cos t y Figur 5.7: Tangens för vinkeln t kan uppfattas som y-koordinaten för skärningspunkten mellan den utdragna linjen genom punkterna (, ) och (cos t, sin t) och linjen x =. Detta tack vare, att y/ =sint/ cos t =tant, enligt teorin om likformiga figurer Figur 5.8: Teckenväxlingarna hos sin t, costrespektive tan t.

13 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 3 Exempel 5.7 Bestäm sin t och cos t då tan t = 3 och t ] π,π[. Lösning: Eftersom sin t cos t =tant= 3 måste det gälla att: sin t = 3cost. Det gäller att Insättning av sin t = 3cost ger sin t +cos t=. 9cos t + cos t = cos t = cos t = ± Eftersom cos t<i det angivna intervallet förkastas den positiva lösningen. Nu gäller det att sin t = 3cost= Några rekursionsformler Tidigare har vi konstaterat att: Räkneregler 5.8 För t R gäller att:. sin(t +nπ) =sint t R, n Z.. cos(t +nπ) =cost t R, n Z. 3. tan(t + nπ) =tant t R\{mπ + π/ m Z}. Exempel 5.9 Räkneregel : cos( 7π) =cos(π 8π)=cosπ= Ytterligare gäller följande formler. De finns alla i MAOLSs Tabeller, så det är ingen idé att börja lära sig dessa utantill. Vid tenttillfället har kan man få låna en motsvarande samling trigonometriska formler ifall man inte har tillgång till MAOLs.

14 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 4 Räkneregler 5. Följande ekvationer gäller.. sin(π t) =sint,t R.. cos(π t) = cos t, t R. 3. tan(π t) = tan t, t R \{nπ + π/ n Z}. 4. sin(π + t) = sin t, t R. 5. cos(π + t) = cos t, t R. 6. sin( t) = sin t, t R. 7. cos( t) =cost,t R. 8. tan( t) = tan t, t R \{nπ + π/ n Z}. Dessa räkneregler kan motiveras geometriskt. Från de tre sista räknereglerna och definitionen på udda och jämn funktion ser vi att cos t är en jämn funktion, medan sin t och tant är udda. π t π +t t t Figur 5.9: Räknereglerna kan motiveras med hjälp av denna figur.

15 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 5 Exempel 5. Bestäm exakt värde för ( 3π sin 4 Lösning: ( 3π sin 4 ) ). =sin(π 3π 4 )=sinπ 4 =. 5.6 De trigonometriska funktionernas grafer Vi skall se på graferna av funktionerna f(x) =sinx g(x)=cosx h(x)=tanx. Vi har följande egenskaper för f(x) =sinx:. sin =.. sin x är en udda funktion. Detta innebär att den är symmetrisk m.a.p. origo. 3. Kurvan är periodisk med perioden π, dvs. t R : sin(t+π)=sin(t). 4. Kurvan skär x-axeln i x = nπ där n Z. 5. Funktionens största värde är och dess minsta värde är -. Det största värdet antas för x = π +nπ, n Z och det minsta för x = 3π +πn, n Z.

16 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI x= x= π x=π x= 3 π Figur 5.: Grafen för f(x) =sinx.. Vi har följande egenskaper för g(x) =cosx:. cos =.. cos x är en jämn funktion. Detta innebär att den är symmetrisk m.a.p. y-axeln. 3. Kurvan är periodisk med perioden π. 4. Kurvan skär x-axeln i x = π + nπ där n Z. 5. Funktionens största värde är och dess minsta är -. Maximivärdet antas för x =πn, n Z och minimivärdet för x = π +πn, n Z.,5.5 x= π x= 3 x= π x=π Figur 5.: Grafen för g(x) =cosx.

17 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 7 Vi har följande egenskaper för h(x) =tanx:. tan =.. tan x är en udda funktion. Detta innebär att den är symmetrisk m.a.p. origo. 3. Kurvan är periodisk med perioden π. 4. Tangensfunktionen är odefinierad för x = π + nπ, n Z 5. och strängt växande mellan dessa x-värden. 3 π π π π π 3 π Figur 5.: Grafen för h(x) =tanx.

18 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI Trigonometriska formler Alla dessa formler finns igen i MAOLs. Följande trigonometriska formler gäller. Välj alltid antingen de övre eller de undre tecknen samtidigt. Om man blandar gäller formlerna inte. Räkneregler 5. Additionsformler: sin(x ± y) =sinxcos y ± cos x sin y, cos(x ± y) =cosxcos y sin x sin y, tan x ± tan y tan(x ± y) = tan x tan y, där x, y, x ± y mπ + π/ för varje m Z. x, y R x, y R Exempel 5.3 Bestäm sin(x y) då sin x = och cos y =.Detgäller 4 3 att <x,y< 3π. Lösning: Vinkeln x ligger i den tredje kvadranten, eftersom sin x<och vi antar att <x<3π/, dvs. vi utesluter den fjärde kvadranten. Vinkeln y måste på motsvarande sätt ligga i den första kvadranten eftersom cos y>. För att bestämma sin(x y) behöver vi förutom sin x och cos y känna till cos x och sin y. Dessa uträknas ur sambandet: sin x + cos x =. Det gäller alltså att: sin x = ( 4 = cos x = ± ) 5 5 = ± 4 6 = ± 4 Eftersom x ligger i den tredje kvadranten är cos x<: Vidare gäller det att: cos x = 5 4. cos y = ( ) = sin y = ± = ± 3 9 = ± 3.

19 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 9 Vinkeln y tillhör den första kvadranten, och vi kan sluta oss till att: 5 sin y = 3. Insättning i formeln sin(x ± y) =sinxcos y ± cos x sin y ger: sin(x y) = ( 5 ) = = 5 3. Två vinklar vars summa är π kallas komplementvinklar. Följande regler gäller för dessa: Räkneregler 5.4 För komplementvinklar gäller:.. ( π ) sin α =cosα, ( π ) cos α =sinα, α R α R ( π ) tan α =cotα, α R \{nπ n Z} ( π ) cot α =tanα, α R \{nπ + π/ n Z} π α c a α b Figur 5.3: Räknereglerna för komplementvinkel ses enkelt i denna figur. Exempelvis fås sinα = a/c = cos(π/ α) och tanα = a/b = cot(π/ α).

20 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI Räkneregler 5.5 Formler för dubbla vinklar:.. sin t =sintcos t cos t =cos t sin t =cos t = sin t 3. tan t = (Där respektive uttryck är väldefinierat.) Exempel 5.6 Härled en formel för Lösning: Eftersom vi kan skriva cos x som: gäller det att: sin x. tant tan t cos x =cos( x )= sin ( x ) sin x cos x = ±.

21 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 5.8 Trigonometriska ekvationer Vi skall i denna sektion lösa trigonometriska ekvationer Ekvationer av formen f(x) =f(y) I denna sektion löses uppgifter av formen sin x =siny,cosx=cosyoch tanx = tan y. Vi låter x, y vara reella variabler, i detta fall vinklar. Bokstäverna u, v betecknar axlarna i det koordinatsystem där enhetscirkeln är inritad. u står för den vågräta axeln och v står för den lodräta axeln. Allmänt låter vi även n Z. Vi delar in ekvationerna i tre typer. sin x =siny När x och y är två vinklargäller ekvationen sin x = siny om x = y eller π x = y, påvarvetnär. Detta innebär att sin x och sin y har samma v-koordinat. samma v koord. v v π y y u y π+y u Figur 5.4: sinx = siny. Till vänster åskådliggörs att siny = sin(π y) och till höger visas idén med uttrycket på varvet när, dvs. för varje heltal n gäller att sin y =sin(y+πn). Alltså gäller det att: sin x =siny x = y +πn x = π y +πn. Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 5 kapitel.

22 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI cos x =cosy Ekvationen cos x = cosygäller om perferipunkten för vinklarna x och y har samma u-koordinat. Dessa är lika om x = y eller om x = y, påvarvet när. v y y samma u koord. u Figur 5.5: cos x =cosy Det gäller alltså att: cos x =cosy x = y +πn x = y +πn. tan x =tany För ekvationen tan x =tanymåste man först försäkra sig om att båda leden är definierade, d.v.s. att x, y π + nπ n Z. Tangensfunktionen π-periodisk, så att tan x = tan(x+nπ) för varje heltal n. Det faktum att tangensfunktionen är strängt växande (och därför injektiv) i varje intervall med längden π på formen I n = ] nπ π,nπ+ π [, n Z ger för x, y i samma intervall I n att tan x =tany x = y. Med beaktande av π-periodiciteten fås sammanfattningsvis att tan x =tany x = y + nπ.

23 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 3 Exempel 5.7 Lös ekvationen sin x =sin3x Lösning: D = R. Detmåste enligt lösningsformeln för sinusekvationer gälla att x =3x+πn x = π 3x +πn n Z. Vi löser de två fallen separat.. x =3x+πn x =πn x = πn. x = π 3x +πn 4x =(n+)π x =(n+)π/4 Alla x som kan skrivas på någon av ovanstående former (n Z) löser ekvationen, så { n+ L = {πm m Z} π } n Z. 4 Exempel 5.8 Lös ekvationen ( cos x = sin x π ). 4 Lösning: D = R. Denna ekvation är inte på en form som gör att vi direkt kan tillämpa lösningsformeln. Vi kan dock omskriva ekvationen med hjälp av formlerna för trigonometriska funktioner. Detta görs som följer: cos x =sin ( π x ). (komplementvinkel) Minustecknet framför HL i ekvationen fås bort genom att tillämpa att sinusfunktionen är udda. Vi får: ( sin x π ) ( =sin x+ π ) 4 4 Lösningsformeln kan nu tillämpas på den omskrivna (ekvivalenta) ekvationen: ( π ) ( sin x =sin x+ π ). 4 Vi får: π x = x + π 4 +πn π x = π +x π 4 +πn. π x = x + π +π x = π +πn falskt n Z 4 4. π x = π +x π +πn 4x = π +πn x = π + n π Fall ger inget bidrag, så lösningsmängden blir L = { π 6 + n } π n Z.

24 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 4 Imånga fall kan exemplen kräva uppfinningsrikedom och omskrivningar, som synes. Exempel 5.9 Lös ekvationen: sin x = 3cos x Lösning: Vi har D = R. Denna ekvation kan, under antagande att x π+πn skrivas som sin x cos x =tan x = 3. Eftersom tan π = 3 kan vi skriva detta som 3 Detta ger bidraget tan x =tanπ 3. x = π 3 + nπ x = π 3 +πn. Vi måste ännu undersöka vad som händer ifall x = π +πn. Dåär sin(x/) = sin(π/+πn) = ±och cos(x/) = cos(π/+πn) =. Ekvationen blir alltså ± =, dvs. dessa x löser inte ekvationen. Vi får L = Exempel 5.3 Lös ekvationen: { } π 3 +πn n Z. cos x 3sinx+= Lösning: D = R. Här kan vi försöka oss på en omskrivning. Eftersom vi har att cos x = sin x,så kan vi istället lösa ekvationen Genom variabelbytet t =sinxfås: sin x 3sinx+=. t 3t += Detta är en andragradsekvation som har lösningarna: t = 3 ± 9 4( ) 4 = 3 ± 5 4

25 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 5 t = t =. Lösningen t = förkastas eftersom sin x. Vibehöver nu lösa ekvationen sin x = =sinπ 6. Vi får alltså följande lösningar: x = π 6 +πn x = π π 6 +πn x = π 6 +πn x = 5π 6 +πn Då D = R fås { π } L = 6 +πn n Z 5.8. Arcusfunktionerna { } 5π 6 +πn n Z. Det är inte tillräckligt att kunna lösa ekvationer av typen f(x) = k,där f är en cosinus, sinus eller tangensfunktion och k är en konstant, enbart i de (orealistiska) fall där k råkar hittas i någon tabell. Vi ska se hur man hittar numeriskt närmevärde till lösningen för godtyckliga k. Vi definierar för detta ändamål arcusfunktionerna. Vi vet ju att sinusfunktionen inte är injektiv på R, menomvidäremot begränsar oss till x [ π/,π/], så är sinx injektiv. På detta intervall antar sin x alla värden i [, ]. Vi har alltså att sinusfunktionen är en bijektion, och således inverterbar, från [ π/, π/] till [, ]. På motsvarande sätt är cosinusfunktionen en bijektion från [,π] till [-,]. Tangensfunktionen är en bijektion från ] π/,π/[ till R. Se figurerna.

26 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 6.5 π f(x)=sin x π Figur 5.6: Sinusfunktionen blir injektiv, om vi begränsar den till intervallet [ π/,π/]. Dess värdemängd är fortfarande [, ]. π π f(x)=cos x Figur 5.7: Cosinusfunktionen är en bijektion från [,π] till [-,].

27 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 7 _π Figur 5.8: Tangensfunktionen är en bijektion från ] π/,π/[ till R. _π Det blir meningsfullt att göra följande definition. Definition 5.3 Vi definierar inverserna till sinus-, cosinus- och tangensfunktionerna.. Inversen till sin x betecknas arcsin x och defieras som följer: [ y =arcsinx sin y = x y π, π ]. Inversen till cos x betecknas arccos x och definieras genom y = arccos x cos y = x y [,π]. 3. Inversen till tan x betecknas arctan x och definieras genom ] y = arctan x cos y = x y π, π [. Dessa tre funktioner uttalas arcussinus, arcuscosinus respektive arcustangens.

28 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 8 Sats 5.3 Vi har gjort vår definition så, att. D arcsin =[,] V arcsin = [ π, π ]. D arccos =[,] V arccos =[,π] 3. D arctan = R V arctan = ] π, π [ Alla dessa tre funktioner är (naturligtvis) bijektiva. Se figur. π π,5.5,5,5,5,5 Figur 5.9: Arcussinusfunktionen tillåter oss att lösa ut vinklar i praktiska tillämpningar. Exempel 5.33 Sidorna i en rätvinklig triangel uppmätstill3,4och5cm. Bestäm vinklarna i triangeln. Lösning: Vi vet att en vinkel är rät, dvs. π/ rad. Den längsta sidan måste vara hypotenusan. Kalla den c och få c =5. Kalla de båda kateterna a =3och b =4. Kalla vidare vinkeln som står mot a för α och den sista vinkeln β. Se figuren. Vi har att tan α = a/b, dvs. α = arctan 3/4, 6435 (ca ett tiondedels varv, varför?). Nu kunde vi lätt räkna ut β = π π/ α, men vi använder istället att sin β = b/c, såβ=arcsin4/5,973 (ca /7 varv). Vi kontrollerar ännu att π π/ α, 973 β. OK. Vi svarar alltså π/, arctan 3/4, 6435 och arcsin 4/5, 973.

29 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 9 3,5 3 π,5,5 _π,5,5,5 Figur 5.: Arcuscosinusfunktionen.,5 _ π,5,5,5 _ π Figur 5.: Arcustangensfunktionen. c=5 β a=3 α b=4 Figur 5.: Triangeln i exempel (Inte skalenlig.)

30 KAPITEL 5. GEOMETRI OCH TRIGONOMETRI 3 Anmärkning 5.34 På miniräknare betecknas arcusfunktionerna ofta med sin, cos och tan. Dåmanlöser trigonometriska ekvationer måste man komma ihåg, att man bara bestämmer en lösning med arcusfunktionerna. Utgående från denna ena lösning kan man ofta sedan bestämma alla lösningar. Exempel 5.35 Lös ekvationen a) sin x = e b) / sin x = e. Lösning: a) D = R, menv sin =[,], såvärdet e, 7 antas aldrig. L = b) D = R \{nπ n Z}, dvs. D består av de punkter där sinusfunktionen är olik noll. Då kan vi skriva om ekvationen enligt följande: sin x = e sin x = ( sin x =sin arcsin ) e e x =arcsin e +πn x = π arcsin e +πn, n Z, ty frågeställningen är att bestämma lösningsmängden, dvs. alla x som löser ekvationen. (arcsin(/e) (rad)) Se figuren. L = {arcsin e } +πn n Z { arcsin e } +(n+)π n Z

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 30 augusti 01 Innehåll 3 Geometri och trigonometri 8 3.1 Euklidisk geometri........................... 8 3.1.1 Kongruens och likformighet..................

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

formler Centralt innehåll

formler Centralt innehåll Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:.. Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

3. Trigonometri. A c. Inledning

3. Trigonometri. A c. Inledning 3. Trigonometri Inledning Trigonometri betyder triangelmätning. De grundläggande storheterna som vi kan mäta i en triangel är dess sidor och vinklar. Ett bra sätt att beteckna en triangels sidor och hörn

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

Repetition av cosinus och sinus

Repetition av cosinus och sinus Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det

Läs mer

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 1 Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

8-1 Formler och uttryck. Namn:.

8-1 Formler och uttryck. Namn:. 8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet. Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61.

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61. Föreläning 8 Problem hämtade från boken idan 15 A 510 a) Rätvinklig triangel med vinkel och katet given. Mottående katet efterfråga. tan4 = x 5 x = 5tan 4 Svar:.6 cm x.6 A 510 b) Vinkel och hypotenuan

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn: 9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det

Läs mer

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E. NpMaD ht 000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 010. Anvisningar

Läs mer

Trigonometri och funktioner

Trigonometri och funktioner Trigonometri och funktioner Mats Boij & Roy Skjelnes 23 augusti 2008 KTH Teknikvetenskap, Inst. för matematik SF1658 Trigonometri och funktioner ii Innehåll 1 Första veckan Geometri med trigonometri 1

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Funktioner och grafritning i Matlab

Funktioner och grafritning i Matlab CTH/GU LABORATION 3 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Funktioner och grafritning i Matlab Först skall vi se lite på (elementära) matematiska funktioner i Matlab, som sinus och cosinus.

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Trigonometri och funktioner

Trigonometri och funktioner Trigonometri och funktioner Mats Boij & Roy Skjelnes 6 juli 2009 KTH Teknikvetenskap, Inst. för matematik SF1658 Trigonometri och funktioner ii Innehåll 1 Första veckan Geometri med trigonometri 1 1.1

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Konsten att bestämma arean

Konsten att bestämma arean Konsten att bestämma arean Lektion Ett (Matematiskt område - Talmängder) Vad är viktigast? Introducera tanken om att felet skulle kunna vara viktigare än svaret. Vad väger äpplet? Gissa. Jämför med mätvärdet

Läs mer

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90 2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Det som står i den här lathunden ska du kunna till provet. Du ska kunna ställa upp och räkna ut liknande tal som de nedan: a) 39,8 + 2,62 b) 16,42 5,8

Läs mer

2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad

2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad 146 a v = 38 v = 38 omvandlingsfaktor rad v = 38 180 rad v = 0.663 rad v 0.7 rad c v = 90 v = 90 omvandlingsfaktor rad v = 90 180 rad v = 5.061 rad v 5.1 rad b v = 196 v = 196 omvandlingsfaktor rad v =

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Årgång 75, 1992. Första häftet

Årgång 75, 1992. Första häftet Elementa Årgång 75, 1992 Årgång 75, 1992 Första häftet 3660. I vidstående välbekanta, uråldriga kinesiska tecken sammanförs de två grundläggande principerna i universum, som ständigt kämpar och samverkar

Läs mer

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x 33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos

Läs mer

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner TATM9: Föreläsning 8 Arcusfunktioner Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers

Läs mer

Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer

Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Planering Geometri år 7

Planering Geometri år 7 Planering Geometri år 7 Innehåll Övergripande planering... 2 Bedömning... 2 Begreppslista... 3 Metodlista... 6 Arbetsblad... 6 Facit Diagnos + Arbeta vidare... 10 Repetitionsuppgifter... 11 Övergripande

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 2009-09-22. -Positionssystemet. -Multiplikation och division. (utan miniräknare).

Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 2009-09-22. -Positionssystemet. -Multiplikation och division. (utan miniräknare). Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 009-09- Matematik år 9 MOMENT MÅL KRITERIER/EXEMPELl Taluppfattning, aritmetik Repetition av: Skriv med siffror tolv -Positionssystemet. hundradelar. 0,, 0,7

Läs mer

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H Vektorer Detta material bygger på valda och delvis omarbetade delar av kompendiet Vektoralgebra av Hasse Carlsson. Dessutom har ett helt nyskrivet avsnitt om strömtriangeln lagts in. Inledning Du är säkert

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4 Kopletterande lösningsförslag och ledningar, Mateatik 3000 kurs B, kapitel 4 Kapitel 4.1 4101 Eepel so löses i boken. 410 Triangelns vinkelsua är 180º. a) 40º + 80º + = 180º b) 3º + 90º + = 180º = 180º

Läs mer

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri

TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri Johan Thim augusti 016 1 Enhetscirkeln Definition. Enhetscirkeln är cirkeln med centrum i origo och radie ett. En punkt P = (a, b på enhetscirkeln uppfyller alltså a

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter. Årgång 21, Första häftet

Enklare matematiska uppgifter. Årgång 21, Första häftet Elementa Årgång 21, 1938 Årgång 21, 1938 Första häftet 957. En cirkel, en punkt A på cirkeln och en punkt B på tangenten i A äro givna. Att konstruera den punkt P på cirkeln, för vilken AP + BP är maximum.

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Lösning av trigonometriska ekvationer

Lösning av trigonometriska ekvationer Lösning av trigonometriska ekvationer Uppsala universitet 06 Per Engström per.engtrom@math.uu.se Inledning För att lösa problem i som innehåller trigonometriska funktioner kan mab bahöva lösa trigonometriska

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 17, 1934 Första häftet 654. Lös ekvationen sin x + cos x + tan x + cot x = 2. (S. B.) 655. Tre av rötterna till ekvationen x 4 + ax 2 + bx + c = 0 äro x 1, x 2 och x 3. Beräkna x 2 1 + x2 2 + x2

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

Konkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11)

Konkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11) Konkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11) ( www.skolverket.se) Kunskapskraven i matematik kan delas in i följande områden: problemlösning, begrepp, metod, kommunikation och resonemang.

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 23.9.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 23.9.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 3.9.05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

Riksfinal. Del 1: 6 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 18 (3p/uppgift) OBS! Skriv varje uppgift på separat papper och lagets namn på samtliga papper.

Riksfinal. Del 1: 6 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 18 (3p/uppgift) OBS! Skriv varje uppgift på separat papper och lagets namn på samtliga papper. Riksfinal Del 1: 6 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 18 (3p/uppgift) Hjälpmedel: Endast skrivmateriel, ingen miniräknare OBS Skriv varje uppgift på separat papper och lagets namn på samtliga papper. Fullständiga

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1996. Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1996. Tidsbunden del NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1996 Tidsbunden del Anvisningar Provperiod 10 maj - 1 juni 1996. Provtid Hjälpmedel Provmaterialet 120 minuter utan rast. Miniräknare och formelsamling. Formelblad

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri 94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Euklidisk geometri. LMA100, vt 06

Euklidisk geometri. LMA100, vt 06 Euklidisk geometri Geometri är en av de äldsta vetenskaperna. Många resultat var redan bekanta i de egyptiska, babyloniska och kinesiska kulturerna. Själva ordet geometri kommer från grekiska och betyder

Läs mer

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

Explorativ övning 11 GEOMETRI

Explorativ övning 11 GEOMETRI Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer