Lite sfärisk geometri och trigonometri

Transkript

1 Lite sfärisk geometri och trigonometri Torbjörn Tambour 8 april 2015 Geometri och trigonometri på sfären är ett område som inte nämns alls i de vanliga matematikkurserna, men som ändå är värt att stifta bekantskap med. Vi betraktar en sfär med radie R och medelpunkt i origo O. Skärningen mellan ett plan genom O och sfären kallas en storcirkel. Storcirklarna motsvarar linjerna i den vanliga plana geometrin. 1 Med vinkeln mellan två storcirklar menar vi vinkeln mellan motsvarande plan. Skärningen mellan sfären och xy-planet kallas ekvator. 1 Skärningarna mellan plan som inte går genom O är också cirklar, men dem ska vi inte ägna oss åt här (de kallas ibland lillcirklar och motsvarar de vanliga cirklarna i plan geometri). 1

2 I figuren ovan är A = (R, 0, 0) skärningspunkten mellan sfären och x-axeln. P = (x, y, z) är en punkt på sfären och Q = (x, y, 0) dess projektion på xyplanet. Sätt P OQ = θ och QOA = ϕ. Då har vi P = (x, y, z) = (R cos ϕ cos θ, R sin ϕ cos θ, R sin θ). Talen R, ϕ och θ kallas P :s sfäriska koordinater. Vinkeln ϕ är longituden och θ är latituden. Sfäriska koordinater är den tredimensionella motsvarigheten till polära koordinater i planet. En sak som skiljer den sfäriska från den plana geometrin är att det finns tvåhörningar, digoner. En digon är ett av områdena som begränsas av två storcirklar. Om vinkeln mellan dem är α, så är arean av digonen D α = α 2π 4πR2 = 2αR 2 eftersom sfärens area är 4πR 2. En sfärisk triangel begränsas av tre storcirkelbågar. Tre storcirklar skär varandra generellt i 6 punkter ( generellt betyder att det finns undantagsfall, nämligen att de skär varandra bara i 2 punkter) och avgränsar två kongruenta sfäriska trianglar. De bildar även 6 digoner, vilka är parvis kongruenta. Figuren nedan är ett försök att illustrera en skärningarna mellan tre storcirklar. Punkterna A, A och så vidare är antipodala, det vill säga ligger på en linje genom O. Om triangelns och digonernas vinklar är α, β och γ, så är hela sfärens area 4πR 2 = 2D α + 2D β + 2D γ 4T, där T är triangelns area. Detta beror på att i summan 2D α + 2D β + 2D γ räknas T in 6 gånger. Löser vi ut T, så får vi T = (α + β + γ π)r 2. Lägg märke till att triangelns vinkelsumma tydligen alltid är > π. 2

3 I fortsättningen antar vi att R = 1, vilket är det vanliga i sfärisk geometri och trigonometri. 1 Cosinussatsen för en sfärisk triangel Låt ABC vara en sfärisk triangel. Utan inskränkning kan vi anta att A = (1, 0, 0) och att B = (cos γ, sin γ, 0); speciellt ligger således både A och B på ekvatorn. Observera att AOB = γ. Vi sätter AOC = β och BOC = α. Vinklarna α och β bestämmer C (så när som på en spegling i ekvatorialplanet) och vi sätter C = (x, y, z). Å ena sidan är och å den andra sidan är Alltså är x = cos β. Vidare är och vilket ger OA OC = 1 x + 0 y + 0 z = x OA OC = OA OC cos β = cos β. OB OC = x cos γ + y sin γ + z 0 = x cos γ + y sin γ OB OC = OB OC cos α = cos α, y = cos α cos β cos γ. sin γ En normal till planet genom A, O och C är n 1 = (0, z, y) och en normal till planet genom A, O och B är n 2 = (0, 0, 1). Vi har nu å ena sidan n 1 n 2 = y. Vinkeln mellan de här två planen är definitionsvis lika med vinkeln A i ABC, så å den andra sidan är n 1 n 2 = n 1 n 2 cos A = y 2 + z 2 cos A = 1 x 2 cos A. Men x = cos β, varför Alltså är vilket till sist ger n 1 n 2 = sin β cos A. sin β cos A = y = cos α cos β cos γ, sin γ cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos A, 3

4 som kallas cosinussatsen för ABC. Om A är rät, så får vi Pythagoras sats för en rätvinklig sfärisk triangel: cos α = cos β cos γ. Anmärkning: Eftersom R = 1, så är vinklarna α, β och γ lika med längderna av bågarna BC, AC respektive AB. Ofta betecknas längden av bågen som står mot hörnet A med a och så vidare och då får cosinussatsen istället utseendet 2 Gebers sats cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A. Låt ABC vara en sfärisk triangel och låt som ovan a, b och c vara längderna av bågarna som står mot A, B respektive C. Antag att C är rät. Då säger Gebers sats att cos b sin A = cos B. Det är ingen inskränkning att anta att C = (1, 0, 0) och att B ligger på ekvatorn. Då ligger A på samma meridian som C och vi har A = (cos b, 0, sin b) samt B = (cos a, sin a, 0). Vi börjar med att bestämma cos B. Vinkeln B är vinkeln mellan planen som innehåller punkterna O, A, B respektive O, B, C. En normalvektor till planet som innehåller O, A, B är N(OAB) = OA OB = ( sin a sin b, cos a sin b, sin a cos b) och normalvektorn till planet som innehåller O, B, C är N(OBC) = (0, 0, 1). En liten räkning ger nu cos B = N(OAB) N(OBC) N(OAB) N(OBC) = sin a cos b sin 2 b + sin 2 a cos 2 b. En normal till planet som innehåller O, A, C är N(OAC) = (0, 1, 0). Då A är vinkeln mellan planen som innehåller O, A, C respektive O, A, B, så får vi cos A = Detta ger efter lite räknande N(OAC) N(OAB) N(OAC) N(OAB) = cos a sin b sin 2 b + sin 2 a cos 2 b. sin A = 1 cos 2 A = sin a sin 2 b + sin 2 a cos 2 b, varför till slut cos b sin A = sin a cos b = cos B. sin 2 b + sin 2 a cos 2 b 4

5 3 Samband med plan geometri och trigonometri Antag nu att sfärens radie är R. Cosinussatsen har då utseendet Vi har cos a R = cos b R cos c R + sin b R sin c cos A. R cos x = 1 x2 2 + x4 H(x), sin x = x + x 3 H(x), där H betecknar (olika) funktioner som är begränsade nära 0, och insättning och förenkling ger a 2 + R 2 H(R 1 ) = b 2 + c 2 + R 2 H(R 1 ) 2(bc + R 2 H(R 1 )) cos A. Låter vi R, så får vi a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A. Den plana cosinussatsen är alltså specialfallet R = av den sfäriska cosinussatsen. Om A är rät så får vi förstås Pythagoras sats. Övning: Utred vad Gebers sats säger då R. 5