Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Transkript

1 Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller avbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B. Att unktionen avbildar avbildas på betecknar vi eller ( ) =. Om = () säger vi att är bilden av originalen. Att är en unktion rån A till B betecknar vi på öljande sätt : A B Mängden A ar unktionens startmängd (eng: initial set ). Mängden B är unktionens målmängd (eng: inal set, target set ) A D B =() V : A B Deinitionsmängden (eng: domain) D till unktionen är mängden av alla originaler dvs mängden av alla på vilka tillämpas (den gula mängden i graen). Värdemängden (eng: range) V är mängden av alla bilder som ås då genomlöper deinitionsmängden, eller mer precis V = ( ) : D }. { Notera skillnaden mellan startmängden och deinitionsmängen; värdemängden V och målmängden B ). Generellt gäller: D Aoch V B. Sida av

2 Deinitionsmängd I envariabelanals, som standard, gäller öljande överenskommelse: Om vi inte anger, på eplicit sätt, deinitionsmängden ör en unktion =(), menar vi att unktionens deinitionsmängd består av alla reella ör vilka () är ett reellt tal. Dvs, vi menar att D ( i ett sådant all) är den största möjliga deinitionsmängden ör (). Eempel. Låt : R R, där ( ) =. För den här unktionen är startmängden= R, målmängden = R, deinitionsmängden=[-,] och värdemängden =[0,] Eempel. (Ett diskret eempel) För unktionen som deinieras med hjälp av graen gäller: : A B, startmängden=a= {,,,4 } målmängden = B = { a, b, c, d, e}, deinitionsmängden är D = {,, }, värdemängden är V = { a, c}. ================================================================ I den här kursen (Envariabelanals) betraktar vi reella unktioner = () av en reell variabel, med andra ord, både och är reella tal. Alltså i vår kurs gäller otast : R R För att deiniera en unktion måste vi ange. unktionens deinitionsmängd D. och. ett uttrck = () ( dvs en regel som till varje D ordnar eakt ett reellt tal () ). Lägg märke till att vi kan beteckna variabler med andra bokstäver: T e, vi betraktar ( ) = + 8, R och g( t) = t + 8, t R som två lika unktioner Sida av

3 Deinitionsmängd Funktionens värdemängd dvs V är mängden av alla () då varierar inom deinitionsmängden V = { ( ) : D } Deinitionsmängden ör unktionen () i iguren till höger är D = (,8 ] medan värdemängden består av två intervall V = (,4) [6,8] Graen till en unktion, G, är mängden av alla punkter (, ( )) då varierar inom deinitionsmängden, dvs G= {(, ( )) : D }. Motsvarande kurva i -planet kallas unktionskurva. För varje i deinitionsmängden D har vi eakt en punkt (, ( )) på unktionsgraen. Kurvan i igur A är en unktionskurva ( ör varje reellt tal = har vi högst en motsvarande punkt på unktionskurva. [Om ligger i deinitionsmängden då har vi eakt en motsvarande punkt på unktionskurvan.] Kurvan i igur B (en ellips) är INTE en unktionskurva ( ör minst ett = har vi minst två motsvarande punkter på graen Sida av

4 Deinitionsmängd Två unktioner ( ) : D = och D = D och ( ) = g( ) ör alla D. = g( ) : D är lika om och endast om T e =, [,5 ] och =, [0,] är två olika unktioner RESTRIKTION AV EN FUNKTION. Låt och g vara två unktioner med deinitionsmängder A respektive B där B A. Om ( ) = g( ) ör alla B säger vi att g är restriktionen av unktionen till B. Med andra ord, en restriktion g har samma regel som ( uttrck ()=g() ) men har en mindre deinitionsmängd ( B A ). T e. Om ( ) = +, med deinitionsmängden D = [, 5], och g ( ) = +, med D = [, 4] då är g restriktionen av unktionen till [, 4] g Eempel : Rita unktionen =, där <. Bestäm unktionens värdemängd. Lösning: Funktionens deinitionsmängd är mängden av alla reella tal sådana att <. Alltså D = { R < } som vi skriver på kortare sätt D = [, ). Vi ritar den del av parabeln =, <. där Lägg märke till att punkten (, 4) inte tillhör graen. Vi ser att 0 < 4. Därmed är unktionens värdemängd = { R : 0 < 4} V Vi skriver på kortare sätt V = [0, 4). Eempel : Sida 4 av

5 Deinitionsmängd Låt =. Bestäm unktionens deinitionsmängd ( dvs den största möjliga deinitionsmängd) och värdemängd. Rita graen till unktionen.. Lösning. är ett reellt tal om och endast om 0. Funktionen antar alla värden 0 Svar : D = [ 0, ), = [ 0, ) V Deinitionsmängd ör elementära unktioner. a) Följande elementära unktioner är deinierade ör alla reella =, = 5, = 7 = sin, cos =, = arctan, = arccot = a, där > 0 a t e = e, = 5 =, n polnom, = an + + a + a0, n är ett naturligt tal. b) Funktionen = är deinierad om 0 c ) = ln() är deinierad om 0 > d) e ) ) = är deinierad om 0 = arcsin är deinierad om = arccos är deinierad om a g ) Potensunktionen =, där a är ett reellt tal är deinierad åtminstone ör >0. a I ) Om eponent a är positivt heltal då är =, deinierad ör alla Sida 5 av

6 Deinitionsmängd 4 t e unktionen, = har D = (, + ) a II ) Om eponent a är negativt heltal då är, = deinierad ör alla 0 4 t e unktionen = =, är deinierad ör alla 0 4 a III) Om eponent a är ett positivt tal men inte heltal då är, t e unktionen, = är deinierad ör alla 0. a III) Om eponent a är negativt tal men inte heltal då är, t e unktionen = =, är deinierad ör alla > 0. / = deinierad ör alla 0 = deinierad ör alla 0 > Anmärkning: Lägg märke till att öljande två unktioner = och = inte har samma deinitionsmängd: = är deinierad ör alla även negativa, t e 8 = = är deinierad ör 0 medan,. De två unktioner är lika endast ör 0. Alltså = är korrekt endast om 0!!! Eempel : Bestäm deinitionsmängden till = sin + 4cos + e + arctan + arccot Svar : D = (, ) = R (R= mängden av alla reella tal) Sida 6 av

7 Deinitionsmängd. Funktionen = u() är deinierad om ( ) 0 u. Eempel 4: Bestäm deinitionsmängden till = Lösning. 0. Svar: D = [, ) Eempel 4: Bestäm deinitionsmängden till = + Lösning ör alla. Svar: = (, ) D Eempel 5: Bestäm deinitionsmängden till = sin Lösning. sin 0 kπ π + kπ där k = 0 ± ±, Svar: Funktionen är deinierad om kπ π + kπ där k = 0 ± ±,. Funktionen )) = ln( u( är deinierad om ( ) > 0 u. Eempel 6. Bestäm deinitionsmängden till = ln( 4) Lösning. 4 > 0 < eller >, Svar: D = (, ) (, ) 4. Den rationella unktionen p( ) = är deinierad om ( ) 0 q( ) q. Sida 7 av

8 Deinitionsmängd Eempel 7. Bestäm deinitionsmängden till = 4 9 Svar: Funktionen är deinierad om ± 5. Funktionen tan = sin cos = är deinierad om cos 0, dvs om π + kπ 6. Funktionen cos = cot = är deinierad om sin 0 sin, dvs om kπ Eempel 7. Bestäm deinitionsmängden till = tan( ) Lösning. π cos( ) 0 + kπ π kπ + 6 Svar: Funktionen är deinierad om π kπ Funktionen arcsin( u( )) u ( ) = är deinierad om 8. Funktionen arccos( u( )) u ( ) = är deinierad om Eempel 8. Bestäm deinitionsmängden till = arccos( ) Sida 8 av

9 Deinitionsmängd Lösning. Svar: D = [, ] Eempel 9. Bestäm deinitionsmängden till unktionen 4 = +. Lösning: 4 a) Funktionen är deinierad om ej + de Deinitionsmängden : D = (, 0] (, ) Eempel 0. Bestäm deinitionsmängden ör ln(6 5 ) = Lösning: b) Villkor : 6 5 > 0 > > 0 ( 5)( ) > 0 ( 5)( ) < 0( teckenstudium) < < 5 > 0 ( ) > 0 ( teckenstudium) < 0 eller > Sida 9 av

10 Deinitionsmängd Båda villkoren är uppllda ör < < 5. Svar: < < 5 Eempel. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) = ln( ) + arcsin( ) + e + sin Lösning: Villkor : > 0 < Villkor : Villkor och ger: < Svar: < Eempel. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) = ln( ) + arccos( ) cos Lösning: Villkor : > 0 < Villkor : ( vi adderar +) Villkor och ger: < Svar: < Eempel. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) = ln( ) + + e 6 Sida 0 av

11 Deinitionsmängd Svar: < 4 Eempel 4. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) = + ln(50 ) + sin( 4) + arctan Svar: < 5 Sida av