Analys av funktioner och dess derivata i Matlab.

Transkript

1 Analys av unktioner oc dess derivata i Matlab. 5B47 Envariabelanalys Ludvig Adlercreutz, ME Hans Lindgren, IT Stockolm den 7 mars 7 Kursledare: Karim Dao

2 Inneåll Uppgit Uppgit Uppgit Övningsuppgit 3.a...7 Övningsuppgit 3.b...9 Övningsuppgit 3.c... Uppgit Sida av

3 Uppgit 5 Beräkna derivatan numeriskt ör unktionen ( arctan( beräkningen ger uppov till. samt uppskatta elet som Ur deinitionen ör derivatan kan en ormel ör numerisk beräkning tas ram. Derivatans deinition lyder ( ( ( Genom att välja ett litet värde på kan derivatan beräknas approimativt med ormeln ( num ( ( För värden på > ås ögerderivatan oc ör värden på < ås vänsterderivatan. Ju mindre värde på som väljs, desto mindre blir elet enl. de plottade kurvorna i igur 5- nedan. Eakt derivata Beräknad (, Beräknad (, Figur 5- Jämörelse av eakt oc beräknad derivata. Sida 3 av 3

4 En bättre numeriskt beräknad approimation kan erållas om ett medelvärde mellan öger- oc vänsterderivatan beräknas. Formeln ör denna kan kan utvecklas enl. öljande. ( num ( ö ( vä ( ( ( ( ( ( Skillnaden i el mellan den eakta derivatan oc den beräknade blir ansevärt mindre vid beräkning av medelderivatan vilket syns tydligt i igur 5- nedan..5. Fel (ögerderivata Fel (öger- oc vänsterderivata Skillnaden i el vid beräkning av öger- oc medelderivata. Följande kod i Matlab ar använts ör att generera graen i igur 5- ovan. inline(atan(*,; -5:.:5;.; d((-(/; d((-(-/(*; plot(,d-(./((.*.^,,d-(./((.*.^,grid; ais([- 3-5*^-3 5*^-3]; legend(fel (ögerderivata,fel (öger- oc vänsterderivata Sida 4 av 4

5 Uppgit 6 Kör öljande kod i Matlab oc örsök ur iguren avgöra vilken kurva som är unktionen, dess derivata samt dess andraderivata. inline(polyval([ ],,; -:.:4;.;d((-(-/(*;dd((-*((/(^; plot(,(,,d,,dd,grid Figur 6- nedan visar graen som ritas i Matlab Figur 6- Kurvor som skall bestämmas. Man kan ur graen urskilja att alla kurvorna är både avtagande samt stigande ör olika värden på. Följaktligen måste deras respektive derivator anta både positiva oc negativa värden. Den blå kurvan antar endast positiva värden oc kan därör ej beskriva någon av de andra kurvornas derivata. Den blå linjen antas vara unktionskurvan (. Sida 5 av 5

6 Genom att studera etremvärden i den plottade graen kan man se att den blå unktionskurvan ar tre etremvärden, den gröna kurvan två oc den röda endast ett etremvärde. Förutsatt att unktionskurvan beskriver ett polynom av grad n ar dess derivata grad n- oc dess andraderivata grad n-. Derivatan bör således beskrivas av den gröna kurvan oc andraderivatan av den röda kurvan. En tabell kan konstrueras ör att se ur kurvorna överensstämmer när ett etremvärde uppstår.,7 3 3,3 Blå min ma min Grön ma min Röd min - Studeras denna i detalj kan tidigare antaganden bekrätas då den blå kurvans lokala etrempunkter ar nollderivata enligt den gröna kurvan oc positiv/negativ andraderivata överensstämmande med den röda kurvan. Sida 6 av 6

7 Uppgit 7 Till övningsuppgiterna nedan används den i uppgit 5 ramtagna ormeln ör numerisk beräkning av derivatan. Övningsuppgit 3.a Plotta oc undersök öljande unktion oc dess derivata. ( ln( Bestäm om unktionen är kontinuerlig, är deriverbar oc ar kontinuerlig derivata Figur 7a- Plottning av unktionskurvan. Funktionskurvan ser ut att vara kontinuerlig oc strängt väande. Funktionen väer kratigare kring. Genom att titta på unktionen ser man att ör ela uttrycket därör är deinierad ör alla. är positiv ör alla oc att logaritmen Sida 7 av 7

8 Figur 7a- Plottning av unktionens derivata. Derivatan är kontinuerlig oc positiv ör alla vilket överensstämmer med att unktionen är strängt väande. Derivatan antar mavärde i oc går mot då ±. En beräkning av den eakta derivatan ger att detta är ett korrekt antagande enl. nedan. d ( ln( d ( Då termen i nämnaren är positiv ör alla värden på oc ela uttrycket går mot då ± stämmer den plottade graen väl. Sida 8 av 8

9 Övningsuppgit 3.b Plotta oc undersök öljande unktion oc dess derivata. ( ln Bestäm om unktionen är kontinuerlig, är deriverbar oc ar kontinuerlig derivata Figur 7b- Plottning av unktionskurvan. Funktionen verkar inte vara kontinuerlig i punkten. Tittar man på unktionen ser man att det inre uttrycket med den plottade kurvan. är då. Etersom ln( ej är deinierad överensstämmer detta Sida 9 av 9

10 Sida av Figur 7b- Plottning av unktionens derivata. Likt unktionen är derivatan kontinuerlig i alla. Det matematiska resonemanget med den eakta derivatan ger öljande bevis ör detta: ( ( ( ln ( d d Då ger i nämnaren är derivatan ej deinierad i denna punkt. Vidare ger beräkningen av den eakta derivatan att denna är negativ ör negativa värden på oc positiv ör positiva värden på samt går mot då ±. Även detta stämmer väl med den plottade graen.

11 Övningsuppgit 3.c Plotta oc undersök öljande unktion oc dess derivata. ( ln ln Bestäm om unktionen är kontinuerlig, är deriverbar oc ar kontinuerlig derivata Figur 7c- Plottning av unktionskurvan. Enligt den plottade kurvan verkar unktionen vara kontinuerlig ör alla skiljt rån -, oc. Med vetskapen att ln( ej är deinierad oc att ln( ser man att det inre ln-uttrycket i unktionen blir då ±. Resultatet är alltså att unktionen ej är deinierad i någon av dessa punkter. Sida av

12 Figur 7c- Plottning av unktionens derivata. Derivatan verkar inte eller den vara deinierad ör ovan nämnda värden på. Den är dock kontinuerlig i intervallen däremellan. Den eakta derivatan beräknas enl. öljande. d ( ln ln d ln ln Ur unktionen kan ses att derivatan inte kan anta de ovan nämnda värdena då detta resulterar i i nämnaren. Sida av

13 Sida 3 av 3 Uppgit 8 Bestäm en metod ör numerisk beräkning av tredjederivatan oc plotta med jälp av denna tredjederivatan av e (. Med utgångspunkt i derivatans deinition kan tredjederivatan beräknas. Först tas ett uttryck ör andraderivatan ram. Andraderivatan kan skrivas som derivatan av örstaderivatan oc utvecklas. ( ( ( För att nå en bättre approimation används medelderivatan av vänster- oc ögerderivatan. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Då i uttrycket kan ersättas med utan att örändra uttrycket då båda går mot blir resultet öljande uttryck. ( ( ( Vidare kan ett uttryck ör tredjederivatan utvecklas ur denna enl. öljande.

14 Sida 4 av 4 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3 3 ( ( ( ( ( Enl. tidigare resonemang kan det ramtagna uttrycket användas ör att göra en numerisk approimation av tredjederivatan om små värden på väljs. ( ( ( 3 ( Figur 8- nedan visar unktionen e ( oc dess örsta-, andra oc tredjederivata ( ( ( ( Figur 8- Funktion, dess örsta-, andra- oc tredjederivata.

15 Funktionen skär -aeln i punkten oc ar ett lokalt minimum i punkten -. Detta stämmer med derivatan som antar värdet i punkten -. Derivatan ar dessutom ett lokalt minimum i punkten - vilket överensstämmer med andraderivatans skärning med -aeln i samma punkt. Samma mönster upprepar sig med tredjederivatan. Ur de eakta derivatorerna till unktionen kan man utläsa att detta överensstämmer med det plottade resultatet i igur 8- ovan. ( e e ( e ( ( e e ( e ( ( 3e e ( 3 e ( 3 Sida 5 av 5