MATLAB LABORATION INOM KURSEN LINJÄR ALGEBRA MED GEOMETRI

Transkript

1 Sidan av Daniel Helén IT, Bengt Ek ME och Christoer Lindqvist IT Innehållsörteckning: Uppgit Uppgit 6 Uppgit 9 Uppgit 4 KTH, ICT orum, 64 4 Kista Inlämningsdatum: 6--

2 Sidan av D. Helén B. Ek C. Lindqvist Sammanattning Stet med denna laboration var att lösa ra uppgiter med hjälp av matlab med betoning på problemlösning. Denna laboration gav även möjligheten till användning av programmet MATLAB vilket är en vital komponent senare i utbildningen. UGITER Uppgit Lös övningsuppgit.6 på sidan 9 i Anderssons bok: Linjär Algebra med geometri. Redovisa dina MATLAB-satser och polnomets koeicienter. Rita två graer, i den örsta ritar du graerna ör () och p() ör - ><, och i den andra ritar du graen ör skillnaden ()- p() ör -<<. Bestäm ett tredjegradspolnom p() a a a a som har samma unktionsvärde och samma derivata som unktionen ( ) i punkterna och -. Kort beskrivning över de olika stegen och antaganden som görs ramöver. Tolkning av uppgiten ger att polnomet p() a a a a ska ha samma unktionsvärde och derivationsvärde vid och - som unktionen ( ). Derivation av polnomet p() a och unktionen a a a ( ) ges: p' () a '( ) a a 6 Vi tar reda på med hjälp av givna värden villkoren ör polnomets koeicienter: ( ) p( ) '( ) p'( ) 6 '( ) '() '( ) p'( ) p'() ( ) ( ) () ( ) p() p( ) Detta kan utvecklas till öljande ekvationssstem: p() a a a a p( ) a a ( ) a ( ) a ( ) p'() a a a p'( ) a a ( ) a ( ) Etersom det är ett kvadratiskt sstem kan det lösas genom enkel Gauss-Jordan-elimination.

3 Sidan av å matrisorm år vi de två matriserna A och B varav A är koeicientmatris och B svarsmatrisen. A, B Vi kan skriva det som en totalmatris: s Totalmatri Gauss-Jordan-eliminationen gav resultatet: a a a a Dessa är de konstanter som söktes. Insättning av dem i grundpolnomet ger: p() () () ) ( p(). En kontroll av att polnomet stämmer kan göras genom insättning av punkter eller att rita dess graer. Etersom väldigt många värden kan testas mellan - och, väljs den graiska metoden. Att den na ekvationen uppller villkoren givna i uppgitens början kan man se i de ritade graerna nedanör. Du kan även se skillnaden mellan kurvorna dvs. ()-p():

4 Sidan 4 av D. Helén B. Ek C. Lindqvist Dierensen mellan () och p()

5 Sidan av Matlabil till ovanstående uppgit: inlämmningsuppg..6 i matlab i boken linjär algebra med geometri av lennart Andersson ml. Bestäm ett tredjegradspolnom p()aa*a*^a*^ som har samma unktionsvärde och samma derivata som unktionen ()^ i punkterna och -. ()p() '()p'() derivation av unktionerna ger: '()^6 > '() '(-) > p'(-) p'() p()aa*a*^a*^ p()aa*()a*()^a*()^ p(-)aa*(-)a*(-)^a*(-)^- p'()a*a**a*^ '()*()^6 '(-)*(-)^6 p'()a*a*()*a*()^ p'(-)a*a*(-)*a*(-)^ Vilket ger ett ekvationssstem enligt nedan: p()aa*()a*()^a*()^ p(-)aa*(-)a*(-)^a*(-)^- p'()a*a*()*a*()^ p'(-)a*a*(-)*a*(-)^ Ger matrisen A : A[ ; - - ; - ; ]; Ger svarsmatrisen B: B[;-;;]; HLA; VLB; Gausselimination av matriserna SVARHL\VL; disp(['a ', numstr(svar(,))]); disp(['a ', numstr(svar(,))]); disp(['a ', numstr(svar(,))]); disp(['a ', numstr(svar(4,))]); komplettera med plot -:.:;.^; hold; d-**.^*.^; plot(,,'r'); h legend('()^','p()aa*a*^a*^',); set(h,'interpreter','none'); plot(,d,'b'); h legend('()^','p()aa*a*^a*^',); set(h,'interpreter','none'); pause; hold o; e-d; plot(,e,'g'); h legend('()-p()',); set(h,'interpreter','none');

6 Sidan 6 av D. Helén B. Ek C. Lindqvist Uppgit Lös övningsuppgit.6 på sidan i Andersson bok Linjär algebra med geometri. Redovisa dina MATLAB-satser, samt problemets lösning. Ett öretag i energibranschen örbrukar vid produktion av kol, bensin och elektrisk energi dessa energiormer enligt öljande tabell: ör att producera en enhet: Kol Bensin Elenergi Enheter kol / Enheter bensin / / / Enheter / / / elenergi Hur mcket kol, bensin resp. el behöver öretaget ör att till en kund leverera enheter kol, 6 enheter bensin och 96 enheter elenergi? En kort beskrivning över de olika stegen och antaganden som görs ramöver. Antag att X,Y och Z är olika mängder av produkterna. Därav inns ett samband av att ör andelen kol, bensin eller el behövs olika mängder av de olika produkterna t.e. ör kol: enheter kol, enhet bensin och / enhet elenergi. Däreter kan ett ekvationssstem skrivas där appliceras de olika mängderna X, Y och Z som produktionernas ekvationer ör en enhet. Däreter har vi ått ram tre olika ekvationer som bildar ett ekvationssstem som är kvadratiskt och därav kan lösas genom en Gauss-Jordan-elimination. Däreter har vi de konstanter som det rågades eter. X Mängd Kol Y Mängd Bensin Z Mängd EL öljande ekvationer ås ut direkt ur tabellen. ekv.: z ekv.: z ekv. : z 9 ekv. : z ekv. : z z 9 ekv. : z

7 Sidan av Vi sätter in de önskade mängderna i motsvarande ekvation: ekv.: z 9 ekv. : z 6 9 ekv. : z 96 Vilket ger en matris som kan lösas med hjälp av Gauss-Jordan-elimination Matrisen A och svarsmatrisen S: 9 A, 9 S 6 96 Totalmatri s Gauss-eliminationen ger konstanterna, dvs. mängden kol, bensin och el som behövs ör produktionen. Detta resulterar i att mängderna: enheter kol, enheter bensin och enheter elenergi.

8 Sidan av D. Helén B. Ek C. Lindqvist Matlabil till ovanstående uppgit: inlämmnings uppg..6 i matlab i boken linjär algebra med geometri av lennart Andersson ml. Ett öretag i energibranschen örbrukar vid produktion av kol, bensin och elektrisk energi dessa energi ormer enligt öljande tabell: ör att producera en enhet Kol behövs bensin behövs elenergi behövs enheter kol / enheter bensin / / / enheter elenergi / / / Hur mcket kol, bensin resp. el behöver öretaget ör att till en kund leverera enheter kol, 6 enheter bensin och 96 enheter elenergi? X Mängd Kol Y Mängd Bensin Z Mängd EL ekv.: *X()*Y(/)*ZX ekv.: X-(/)*-(/)Z ekv.: (/)*X(/)*Y(/)*ZY ekv.: (-/)*X(9/)*Y-(/)*Z ekv.: (/)*X(/)*Y(/)*ZZ ekv.: (9/)*Z-(/)X-(/)*Y Vi sätter in den önskade mängderna i motsvarande ekv. : ekv.: X-(/)*-(/)Z ekv.: (-/)*X(9/)*Y-(/)*Z6 ekv.: (9/)*Z-(/)X-(/)*Y96 Vilket ger en matris som kan lösas med hjälp av Gauss-Jordan-elimination A[ -/;-/ 9/ -/;-/ -/ 9/]; S[;6;96]; SVARA\S; vilket ger konstanterna/variablerna dvs mängden kol,bensin och el som behövs ör produktionen. disp(['kol ', numstr(svar(,)),' enheter']); disp(['bensin ', numstr(svar(,)),' enheter']); disp(['el ', numstr(svar(,)),' enheter']);

9 Sidan 9 av Uppgit Lös uppgit.69 med matlab i Anderssons bok: linjär algebra med geometri. Av ett gammalt recept ramgår det att degen till "mormors smörringar" tillverkas av smör, socker, vetemjöl och skummjölkspulver. Tvärr ramgår det ej av receptet i vilka proportioner dessa ingredienser skall blandas. Däremot kan man utläsa att g deg till "mormors smörringar" innehåller 4.g ett, g kolhdrater,.g protein, kcal. Vidare slår man upp öljande data om innehållet i g av de aktuella ingredienserna: ett Kolhdrater rotein kcal Smör Socker 4 Vetemjöl Skummjölkspulver 4 Bestäm det recept som räcker till g deg till "Mormors smörringar"(ca 6 kakor). En kort beskrivning över de olika stegen och antaganden som görs ramöver. Det ramgår i uppgiten hur mcket deg som skulle göras samt dess olika ingredienser men dock inte dess proportioner. Men ett näringsinnehåll ör ärdig deg är känt och även näringsinnehållet ör de olika ingredienserna. Normalt kan man använda ormeln ör linjära avbildningar: AX B (A matrisen kommer rån de transponerade tabellvärdena rån ovan, de önskade proportionerna, b innehållet av de olika beståndsdelarna) Men etersom att den okända variabeln i detta all är mängden råvaror så brts denna ut genom utveckling med matrisalgebra, som resulterar i: A ( ) AX A ( ) B ( ) A A I ( ) X A b IX X X A ( ) B Matrisen A är de "transponerade tabellvärdena och B svarsmatrisen 4. A, B. 4 4 Nu kan matriserna multipliceras som resulterar i svar på avbildningen. X A ( ) B

10 Sidan av D. Helén B. Ek C. Lindqvist Etersom näringsinnehållet är taget per g krävs det att X multipliceras med. Grundreceptet var baserat ör g kakor och nu skall det bakas g kakor och på grund av det multipliceras X dessutom med. Den sammanlagda produkten blir: X X Detta resulterar i: Smör g, Socker g, Vetemjöl g och Skummjölkspulver g ör g deg.

11 Sidan av Matlabil till ovanstående uppgit: inlämmnings uppg..69 i matlab i boken linjär algebra med geometri av lennart Andersson ml. Av ett gammalt recept ramgår det att degen till "mormors smörringar" tillverkas av smör, socker, vetemjöl och skummmjölkspulver. Tvärr ramgår det ej av receptet i vilka proportioner dessa ingredienser skall blandas. Däremot kan man utläsa att g deg till "mormors smörringar" innehåller 4.g ett, g kolhdrater,.g protein, kcal. Vidare slår man upp öljande data om innehållet i g av de aktuella ingredienserna: ett kolhdrater protein kcal smör socker 4 vetemjöl skummjölkspulver 4 Bestäm det recept som räcker till g deg till "Mormors smörringar"(ca 6 kakor). Matrisen A är i aktum den "transponerade tabellvärdena" AXB A^(-)*AXA^(-)B A^(-)*A > I > IXX > XA^(-)B A[ 4 4]; B[4.. ]; X(A^(-))*B; Näringsinnehållet är taget per g därav multipliceras "X" med. Grundreceptet var baserat ör g kakor och nu skall det bakas g kakor och därav måste denna mängd multipliceras med produkt: (X**). SVARX*; disp(['smör ', numstr(svar(,)), 'g']); disp(['socker ', numstr(svar(,)), 'g']); disp(['vetemjöl ', numstr(svar(,)), 'g']); disp(['skummjölkspulver ', numstr(svar(4,)), 'g']);

12 Sidan av D. Helén B. Ek C. Lindqvist Uppgit 4 Studera återigen problemet i sektion.. men låt lastördelningen vara enligt nedanstående igur se pd (b46med_matlab.pd). Klargörande av krater och vinklar: Givet rån hätet ick vi en lagom stor matris samt en måttlig mängd örhållanden som ska representera de olika kraterna i ackverket. Kraterna:

13 Sidan av representeras i matrisen A: A härleds rån trigonometriska samband: Dvs. 4 sin och att c b a (se igur nedan)

14 Sidan 4 av D. Helén B. Ek C. Lindqvist pthagoras ( ) sin v,cosv vilket är 4 grader vilket leder till att. Kraternas härledning med Dessa bilder uttrcker dessa två ekvationer: 4 (vi tog örsta två som e.) Ur detta kan tolkas att till varje krat som går irån en nod behöver vi en krat n, låt oss kalla den normalkraten som motverkar dessa krater(om normalen inte år ekvationen att bli noll kommer bron att alla under sin egen vikt eller pårestning). Normalen inns dock inte inritat i bilden ovan men representeras i ekvationerna ovan med respektive. Vi bildar en matris B som representerar kraterna med avseende på då, och 9 så är lasterna lika nedåtriktade vertikala dock är nod den som ska varieras i övriga noder är lasterna noll. ( ( ) ( ) ( p) ( ) ) t B Nu är all bakgrunds akta härledd därmed ortsätter vi med uppgiten.

15 Sidan av Bestäm så att maimala stångkraten blir (a) röva örst med tabellering och plottning analogt... Observera att i detta lastall så varieras endast lasten i nod. Varierar den maimala stångkraten linjärt med lasten? Om så är allet bör det vara vara omöjligt att lösa uppgiten utan att lösa alla de ekvationssstem som vi löst ör att plotta graen. De återstående deluppgiterna star till att härleda ett alternativ, bättre sätt att lösa denna uppgit. Gra över maimal stångkrat. Genom tabulering och plottning kan vi komma ram till att den maimala stångkraten ökar linjärt. Utläsning av värden i graen ger att kraten blir ca vid stångkrat. Etersom vi har ett linjärt sstem av tpen AX B är X lösningen.

16 Sidan 6 av D. Helén B. Ek C. Lindqvist (b) Visa att högerledet b ör godtckligt kan skrivas enligt ) ( e b b Enklaste sättet att bevisa det är att utöra beräkningen som den står. e är helt enkelt en enhetsvektor med dimension dvs det åttonde elementet vertikalt sett är en etta. b är helt enkelt matris B med värdet insatt som. b är helt enkelt våran B matris ör godtckligt vilket ger: b e b b ) ( ) ( Vilket skulle visas.

17 Sidan av (c) Skriv, med hjälp av uppdelningen i b lösningen till det linjära ekvationssstemet A b som en summa av två st vektorer och z, där dessa vektorer är lösningar till två olika linjära ekvationssstem med koeicientmatrisen A. Om A b enligt normal matris multiplikation kan vi skriva: A AX A b X A b Insättning av ekvationen ör b enligt uppgiten innan ger: X A ( b ( ) e )) Genom substitution enligt ovan kan sstemet skrivas om till z om ( b ) z (( p ) e ) Därav: X A ( z) (d) Beskriv hur beräkningarna lämpligen organiseras, utör dem och bestäm på så sätt ett noggrant sådant att maimala stångkraten blir. Eter anals av tabuleringen av olika värden på så kan man se att den maimala belastningen alltid beinner sig på balk 6. Om man skulle likna problemet vid en bro då vi vill veta när den brister så är det i balk 6 som den örst brister. Därav är endast belastningen på balk 6 intressant. Om vi kikar på öregående resultat så ick vi att: X A b ( ) e )) ( Om vi då vill å ram belastningen i balk 6 så vill vi örsöka eliminera övriga värden. Ett enkelt sätt att göra det är genom skalär-multiplikation med enhetsvektorn ör 6 i dimensionen etersom alla element örutom 6 kommer vara därav kommer element 6 i vektorn 6 bli multiplicerad med. Obs det som görs på vänsterled måste göras på högerled! X e 6 A ( b ( ) e ))) ( e 6 Utveckling av ormeln ger: X e ( A 6 ( b X e ( A 6 X e ( A 6 b b ( ) e ))) e A (( ) e ) e ) e ( A X e6 ( A b ) e6 (( A e ) e ) ( ) e ) e Användning av ormeln i matlab ger oss att ca.. 6

18 Sidan av D. Helén B. Ek C. Lindqvist Matlabil till ovanstående uppgit: asqrt()/; Kolumnnummer rad nod led A[-a a -a - -a a - a a a - -a a 9 6 -a - -a a - a 4 -a - 9 a 6 9 -a -]; ; kraten i nod b [ ]'; p[]; krat[]; bb/; or :: hl [ ]'; A\hl; p[p ]; makma(abs()); krat[krat mak]; end plot(p,krat),label(''),label('stångkrat'); grid on disp('tabelvärden över respektive stångkrater') [p' krat'] b [ ]'; e [ ]'; e6 [ ]'; ormat long (( - dot(inv(a)*b,e6))/dot(inv(a)*e,e6)); disp('det värde på som genererar en maimal stångkrat på kratenheter:'); disp() Reerenser Andersson Lennart m.l. Linjär algebra och geometri 4 Lindberg Bengt kapitel Vektorer, matriser och linjära ekvationssstem, Nada, KTH (B46med MATLAB.pd)