3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area?

Transkript

1 Dagens 30 aug: a, 2, 3, 5, 6.. Låt Q vara antalet producerade enheter. Bestäm a. Marginalvinsten för vinstfunktionen π(q) = 3Q + Q + 2. Marginalintäkten för intäktsfunktionen R(Q) = ( + 2Q) 3/2. c. Marginalkostnaden för kostnadsfunktionen C(Q) = Q Q 30. Tips: Vi söker derivatan för motsvarande funktion. Jämför med Eample 2 på sidan 66 och Problem 7 på sidan Ett företag har kostnadsfunktionen C(Q) = Q 3 20Q Q. Bestäm företagets marginalkostnad. Bestäm den kvantitet Q som minimerar marginalkostnaden och marginalkostnadens storlek vid denna kvantitet. 3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area? 4. Hur snabbt förändras arean av en cirkel med avseende på radien då radien är 5 m? 5. Radien på en cirkel ökar med den konstanta hastigheten 3 cm/s. Hur snabbt ändras cirkelns area vid den tidpunkten då radien är 0 cm? Tips: Arean vid tiden t s kan beskrivas med funktionen A(t) = πr 2 (t) cm 2. Vi söker A (t) då r(t) = 0 och r (t) = En rak cirkulär kon med toppvinkeln 90 placeras med spetsen vänd nedåt. Konen fylls med vatten med hastigheten 5 dm 3 /min. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är h = 2 dm? Tips: Vattens volym V = πr2 h = πh3, där r och h förändras 3 3 med tiden t, dvs V (t) = πh3 (t). Vi söker dh dv. Vi vet att = 5. 3 dt dt 7. En rak cirkulär kon placeras med spetsen vänd nedåt. Basytans radie är R = 6 m. Höjden är H = 8 m. Konen fylls med vatten med hastigheten 0. m 3 /min. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är h = 4 m? Tips: Vattens volym V = πr2 h, där r = 3h. Både r och h 3 4 förändras med tiden t, dvs V (t) = 3πh3 (t). Vi söker dh då vi 6 dt vet att dv = 0.. dt 2. a Q c. + ( + Q) Q 2. Marginalkostnad är C (Q) = 3Q 2 240Q Minsta värde är 200 då Q = Förändras med hastigheten = / πa enheter/enheter 2. A = cirkrelns area. 4. Med hastigheten = 0π m 2 /enhet. 5. Hastigheten = 60π cm 2 /s. 6. Hastigheten = dh dt = 5 dh dm/min. 7. Hastigheten = 4π dt = 90π m/min.

2 Dagens 3 aug: b, 2c, 3, 4, 6.. Förenkla följande uttryck så längt det går: 2 2 a c d. e e 2 e Beräkna derivatan f () och förenkla svaret så långt som möjligt då f() ges av a. e d. e 2 + e / c. ( )e 2 e. e 2 + e. 3. a. Bestäm det intervall där funktionen y = ( + 2) 2 e är konkav. Bestäm funktionens största värde i detta intervall. 4. För vilka värden på konstanten a är f() = (2 2 + a + )e 2 en väande funktion? 5. Visa att (2 3)e 2 e Produktionskostnaderna per vecka för Q ton av en vara uppgår till C(Q) kr. Ge en ekonomisk tolkning av derivatan C (50) = Antag att veckans produktion är för närvarande 50 ton som kan såljas för 600 kr/ton. Lönar det sig att öka produktionen?. a. 0 c. 2 d. 5 e. e e 2. a. 2 e / c. (2 )e 2 2 ( + 2)e 2 e d. (2 + )e +2 e. ( + ) 2 ( ) 2 3. a. Konkav i intervallet 2 < < 2. Största värdet är 4 som antas för = < a < Marginalkostnad C (50) C(5) C(50) 6000 etra kostnad för produktion av ton nummer 5. Eftersom den kan säljas för 600 kr, så det lönar sig att öka produktionen.

3 Dagens 3 sep: a, 2b, 3c, 4, 5a. Förenkla följande uttryck så längt det går: a. e ln 2 ln e 3 e 3 ln c. ln e 2 + ln 2 e ln e 5 d. ln(e 3 + e 2 ) e. 4 ln 6 ln 3 2 ln( 2 ) ln( + ) 2 2. Beräkna derivatan f () och förenkla svaret så långt som möjligt då f() ges av 2 a. ln ln c. ln ( ) d. 2 e. ln 2 + ln(ln ) 3. Beräkna derivatan f () (det kan vara aktuellt med logaritmisk derivering) och förenkla svaret så långt som möjligt då f() ges av a. e (e ) c. ( ) d. / ln e. ( ) 5/3 ( 2 ) Det kostar B() kronor att kopiera stycken bilder. Hur mycket kostar det (approimativt) att kopiera 5 bilder om B(50) = 75 och B (50) = 0.0? 5. Bestäm alla intervall där funktionen f är väande. a. f() = ln( 2 + ) f() = ln(3e 2 + 2e 3 ) c. f() = a. 6 3 c. 5 d. 2 + ln( + e) e. 0 2 ln 2 + ln 2. a. 2 4 c d. 2 ln 2 e. + 2 ln 3. a. e ( + ln ) 2e 2 c. 2 ( ) (ln + ) 5(2 + ) 2/ d. 0 e. ( + 2) 8/ B (50) B(5) B(50) 0.0 kostnad för kopiering av den femtioförsta bilden. B(5) B(50) = a. < och > 5 > 0 c. > 0

4 Dagens 4 sep:, 2, 3, 4, 5.. Beräkna derivatan y (0) till den funktion y() som definieras genom sambandet y + y 3 + y = 2, y(0) =. 2. Funktionen y = y() är en lösning till ekvationen 3 + e +y y + = 0 så att y( ) =. Bestäm derivatorna y ( ) och y ( ). 3. Bestäm en ekvation för tangenten i punkten (, 0) till kurvan 2 + y 2 = y y. 4. Bestäm en linjär approimation till funktionen f() = (7 + ) 2/3 i närheten av punkten =. Använd resultatet för att beräkna ett närmevärde till talet (8.) 2/3. 5. Betrakta funktionen f() = ln( + 4) a. Beräkna derivatan f (0). Bestäm en linjär approimation till f() i närheten av = 0. c. Använd denna approimation för att beräkna ett närmevärde till f(0.). 6. Funktionen y = y() definieras genom sambandet a. Bestäm derivatan y (). e 3+4y y =, y(0) = 0. Visa att y är en strängt avtagande funktion. 7. Visa att 2 + e för nära Beräkna differansen y = f( + d) f() och differentialen dy = f ()d då f() = samt = 2 och d = /0.. y (0) = y ( ) = 3, y ( ) = y =. 4. Linjär approimation f() ( ). Närmevärde (8.)2/ a. f (0) = f() + 5 c. f(0.).5 6. a. y () = 3e3+4y + 4 4e 3+4y + 3 Observera att y () < 0 för alla. 7. Vi har f() = 2 + e 3 f(0) + f (0) = y = 7/00, dy = 7/0.

5 Dagens 5 sep:, 2a, 3, 4, 5.. När priset sjunker från 50:- till 30:- förändras efterfrågan på en produkt från 000 till 500. Bestäm priselasticitet i detta prisintervall. 2. Bestäm elasticitet för funktionen y = y() (a och b är konstanter), då a. y = a + b y = (a + b) ln c. y = En varas efterfrågefunktion är Q(p) = ae bp, där Q(p) är såld kvantitet och p är priset. Bestäm efterfrågans priselasticitet uttryckt i a, b och p. 4. Betrakta funktionen f() = 6 +. a. Beräkna derivatan f (0). Bestäm en linjär approimation till f() i närheten av = 0. c. Använd denna approimation för att beräkna ett närmevärde till f(0.8). 5. Funktionen y = y() definieras genom sambandet e 4+5y 5 4y =, y(0) = 0. a. Beräkna derivatan y (0). Bestäm en ekvation för tangenten i punkten (0, 0) till kurvan e 4+5y 5 4y =. c. Beräkna derivatan y (0). 6. En vara har efterfrågefunktionen D(p) = ae 0.005p, där p är priset per enhet. Bestäm efterfågans priselasticitet vid priset p = 50. Beräkna med den approimativa formeln för elasticitet den procentuella ökningen i efterfrågan då priset minskar från 50 till 45 kronor per enhet, och jämför med det eakta värdet. Tips: Eample 2 på sidan Låt f och g vara differentierbara funktioner av variabel. Visa följande regeln för elasticiteter: El (f()g()) = El f() + El g(). 8. En varmkorvsförsäljare möter en efterfrågan av Q(p) = 80 5p, där p är priset i kronor per korv. Vad är efterfrågans elasticitet El vid priset p = 0 kronor? Vid vilket pris är El = (när är varan enhetselastisk)?. Prisändring = % = 40%. Efterfrågeändring = % = 50% Priselasticitet i detta prisintervall = Efterfrågeändring/Prisändring = 50/40 = a. a a+b a a+b + ln c. (+2)(+4) 3. bp. 4. a. 4 + c a. y = c El p D(p) = 0.25, enligt den approimativa formeln skulle ökningen i efterfrågan vara 2.5%. Eakta värdet är 2.53%. 8. Elasticitet vid priset 0 kr är 5. Elasticitet är vid priset 6 kronor.