MATEMATISK INTRODUKTION. Innehåll

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MATEMATISK INTRODUKTION. Innehåll"

Transkript

1 MATEMATISK INTRODUKTION Innehåll - Räkneregler för bråk - Räkneregler för potenser - Procenträkning - Ekvationer o Ekvationer och tillvätförlopp - Nuvärdesberäkningar - Funktioner o Linjära funktioner o Inversfunktionen o Hur påverkas funktionssamband av ändrade förutsättningar? o Linjära ekvationssystem o Icke-linjära funktioner o De enklaste deriveringsreglerna o Marginella och totala samband - Optimering - Funktioner av två variabler o Partialderivator o Nivåkurvor o Optimering med två förklaringsvariabler, med och utan bivillkor 1

2 Räkneregler för bråk a b c d ac bd a / b c / d a b d c ad bc a c ad bc ad bc b d bd bd bd för att kunna addera två bråk krävs att de har en gemensam nämnare! a + b b a b + b b a b +1 a + b a + 1 obs inte a + 1 b 1 FEL! Räkneregler för potenser m n m+ n m n m n n 1 0 n 1 ( 0) 1 1 n mn n ( m ) ( n ) 1 1 m m m m n y ( y) y m y n d.v.s. uttrycket kan inte skrivas om Eempel: (10 ) ,1 (10 1,1) 11 men 10 1,1 6 11

3 Procenträkning Eempel: p Priset på en vara stiger år 1 med 50% för att år sjunka med 50%. Med hur många procent har priset stigit eller sjunkit totalt? 100 p % , p % , Sammanlagt har priset således sjunkit med 5/100 5% 5% av befolkningen har år 0 en inkomst > :-. Andelen ökar med a) 10 procentenheter om året b) 10 procent om året Hur stor del av befolkningen har en inkomst > :- år? a) % b) år 1 : 5 + 0,1 5 7,5% år : 7,5 + 0,1 7,5 30,5% Hur många procent av bruttopriset utgör momsen om momspåslaget på nettopriset är 5%? Pris utan moms 100:- Pris med moms 15:- Momsens andel av bruttopriset 5/15 1/5 eller 0% 3

4 Ekvationer Lösningsprincip: Lös ut genom att addera eller subtrahera samma tal till båda sidor av ekvationen multiplicera, dividera eller upphöj båda sidor med samma tal (ej 0) a b Eempel: b a a + c b b c a Av en persons inkomstökning går 40% bort i skatt. Hur mycket måste hon öka sin inkomst med för att få behålla 1 000:- efter skatt? 1000 ( 1 0,4) , ,6 När företaget höjde priset på sin vara med 0% steg försäljningsintäkterna med 8%. Med hur många procent sjönk antalet enheter som företaget sålde av varan? Vi kan godtyckligt anta att pris 100 och kvantitet 100 i utgångsläget pris kvantitet intäkter före efter Antalet enheter har sjunkit från 100 till 90, d.v.s. med 10% 4

5 Ekvationer och tillvätförlopp KPI (konsumentprisinde) är Antag att inflationen de följande 10 åren är 5% om året. Vad är KPI år 000? tidpunkt belopp , ,05 1, , ,05 10 tillvätfaktor 1, , ,69 16,9 En person kan sätta in ett belopp på ett bankkonto som ger 5% årlig ränta. Personen önskar kunna plocka ut 0 000:- om 10 år. Hur mycket måste han sätta in? tidpunkt belopp 0 1 1,05 1,05 1,05 1, , , , , ,

6 En obligation kostar på marknaden :- idag och kan lösas in om 10 år till beloppet 0 000:-. Ingen årlig utdelning förekommer. Vad motsvarar detta för årlig ränta, (d.v.s. vad är marknadsräntan för obligationen)? tidpunkt belopp tillvätfaktor ( 10 ) 0, ,1 10 0, , ,1 tillvätfaktor 1, Den årliga räntan är knappt 7,18% Antag att marknadsaktörernas inflationsförväntningar stiger (d.v.s. man förväntar sig att den årliga inflationen skall bli högre än tidigare, varje år under 10-årsperioden). Marknadsräntan för obligationen stiger därför till 8%. Vad blir då kursen idag för ovanstående obligation? tidpunkt belopp 0 1 1, , tillvätfaktor 1,08 1, , ,

7 Nuvärdesberäkningar Vid (eempelvis) en beräkning av en investerings lönsamhet måste hänsyn tas till att kostnader och intäkter inträffar i olika tidpunkter. Normalt är en intäkt/kostnad mindre värd/kostsam ju längre fram i tiden den inträffar Eempel: Personen i tidigare eempel är indifferent mellan (tycker eakt lika bra om) att få 178:- idag eller 0000:- om 10 år, eftersom 178:- idag kan investeras till 5% ränta och väa till 0000:- om 10 år. Man säger då att nuvärdet av 0000:- om 10 år vid diskonteringsräntan 5% är 178:- Nuvärdet PV (present value) av beloppet :- om n år vid diskonteringsräntan i n PV (1 + i n ( 1+ i) ) Diskonteringstabell 1: ( 1+ i) n Nuvärdet av en krona som utfaller efter n år vid olika räntesatser år/ränta 0,0 0,03 0,05 0,07 0,10 1 0,9804 0,9709 0,954 0,9346 0,9091 0,961 0,946 0,9070 0,8734 0, ,943 0,9151 0,8638 0,8163 0, ,938 0,8885 0,87 0,769 0, ,9057 0,866 0,7835 0,7130 0, ,803 0,7441 0,6139 0,5083 0, ,6730 0,5537 0,3769 0,584 0, ,551 0,410 0,314 0,1314 0,0573 7

8 Ofta förekommer det att samma intäkts- eller kostnadspost återkommer flera år i rad: Nuvärdet av kronor (i slutet av) varje år från år 1 till år 3 vid diskonteringsräntan 5% PV , , ,05 3 PV 0,954 0,9070 0, (0, , ,8638) 10000,73 73 PV Nuvärdet PV (present value) av beloppet :- (i slutet av) varje år i n år vid diskonteringsräntan i är n t 1 (1 + i) t (1 + i) 1 Diskonteringstabell : (1 + i) n t 1 + (1 + i) t... (1 + i) n 1 (1 + i) i Nuvärdet av en krona som utfaller i slutet av varje år i n år vid olika räntesatser år/ränta 0,0 0,03 0,05 0,07 0,10 1 0,980 0,971 0,95 0,935 0,909 1,94 1,913 1,859 1,808 1,736 3,884,89,73,64, ,808 3,717 3,546 3,387 3, ,713 4,580 4,39 4,100 3, ,983 8,530 7,7 7,04 6, ,351 14,877 1,46 10,594 8,514 30,396 19,600 15,37 1,409 9,47 n 8

9 PV Nuvärdet PV av beloppet :- (i slutet av) varje år i ett oändligt antal år vid diskonteringsräntan i är t 1 (1 + i) (1 + i) + (1 + i)... i all oändlighet i t 1 1 Nuvärdet av kronor (i slutet av) varje år från år 4 till år 10 vid diskonteringsräntan 5% Beräknas som nuvärdet av kronor varje år från år 1 till 10 minus nuvärdet av kronor varje år från år 1 till 3 PV (7,7,73) , Diskonteringstabell : Nu även med oändlig tid år/ränta 0,0 0,03 0,05 0,07 0,10 1 0,980 0,971 0,95 0,935 0,909 1,94 1,913 1,859 1,808 1,736 3,884,89,73,64, ,808 3,717 3,546 3,387 3, ,713 4,580 4,39 4,100 3, ,983 8,530 7,7 7,04 6, ,351 14,877 1,46 10,594 8,514 30,396 19,600 15,37 1,409 9,47 50,000 33,333 0,000 14,86 10,000 9

10 Funktioner En funktion illustrerar ett samband mellan två (eller flera) variabler En variabel y är en funktion av en annan variabel, om det till varje värde som som får anta (definitionsmängden för ) är ordnat ett och endast ett värde på y y f() eller enbart y() Linjära funktioner y a + b y Antag 0 a+b a+b a Δ 1 Δy b 1 a interceptet, skärningen med y-aeln (där värdet för 0) b linjens lutning, definierad som kvoten Δy/Δ för två godtyckliga punkter på linjen b > 0 innebär positiv lutning b < 0 innebär negativ lutning b 0 innebär att y-värdet är konstant, oberoende av f( 0 ) betyder funktionens värde för 0 För funktionen ovan är eempelvis f() a+b 10

11 Ekonomiskt eempel: c dp Efterfrågad kvantitet () är beroende av priset (p). När priset ökar sjunker efterfrågad kvantitet (d > 0 -d < 0) c dp c För att 0 krävs att c-dp 0 dp c p c/d f(c/d) 0, medan f(0) c c/d Inversfunktionen Om y() är strikt stigande eller sjunkande eisterar inversfunktionen (y). (Obs y() behöver inte vara linjär) p c dp p c d 1 d linjens lutning -1/d p c/d D p c d 1 d OBS: I ekonomiska modeller är det vanligt att man beskriver sambandet mellan pris och kvantitet med p på yaeln och på -aeln oavsett om (p) eller p() efterfrågekurvan ofta betecknad D (demand) c 11

12 Hur påverkas funktionssamband av ändrade förutsättningar? Eempel: Efterfrågesamband p p p 500 0, 5 D 0 D 1 00 D Utgångsläget D 0 D 1 visar vad som händer om efterfrågad kvantitet ökar med 50 % vid alla priser 1 1,5(1000 p) p p D visar vad som händer om efterfrågad kvantitet stiger med en given storlek (00) vid alla priser 100 p p 600 0, 5 1

13 p p p 500 0, D 0 D 1 D Utgångsläget D 0 D 1 visar vad som händer om samtliga konsumenter är beredda att betala 50 % mer för varan 4 p 1,5(500 0,5) 750 0, p D visar vad som inträffar om samtliga konsumenter är beredda att betala ett givet belopp (00 kronor) mer för varan p 700 0, p 13

14 Linjära ekvationssystem Låt såväl efterfrågad kvantitet som utbjuden kvantitet vara linjära funktioner av priset Efterfrågesambandet (D) visas av p 500 Utbudssambandet (S) visas av p ,5 p 500 S p* jämviktspris * jämviktskvantitet p* 15 D * Ekvationssystemet löses lämpligen med substitutionsmetoden, vilket innebär att man först löser ut den ena variabeln som en funktion av den andra (vilket i detta eempel redan är gjort) och sen sätter in denna lösning i den återstående ekvationen ,5 * ,5 + 1,5 375 I nästa steg: p 500 * p* 50 14

15 Icke-linjära funktioner Icke-linjära funktioner kan matematiskt se ut på väldigt många olika sätt. 0,5 1 3 y y y y y a + b + är eempel på potensfunktioner, d.v.s. funktioner där förklaringsvariabeln () förekommer upphöjt till ett positivt eller negativt tal. Den sista utgör en generell kvadratisk funktion c Ekonomiskt eempel: Antag att efterfrågesambandet ett visst företags produkt p 500 gäller efterfrågan på Företagets totala intäkter (TR) som en funktion av den kvantitet som företaget säljer () är då en kvadratisk funktion TR p ( 500 ) 500 Observera att konstanten 0 eftersom 0 TR 0 TR TR (tusen) ,

16 Lutningen på en icke-linjär funktion varierar längs kurvan och definieras för en viss punkt på kurvan som lutningen för tangenten till punkten derivatan till funktionen i denna punkt Derivatan av y f() är i sin tur en funktion av och skrivs vanligen som dy f ( ), eller y d dtr I vårt eempel där TR f() skriver vi f ( ), eller TR d Genom att utnyttja deriveringsreglerna får vi i vårt eempel: f ( ) 500 f ( ) 500 TR dtr/d

17 De enklaste deriveringsreglerna y f ( ) a f '( ) 0 n y f ( ) a f '( ) na Eempel: y 5 f '( ) y 3 f '( ) 3 6 y 1 y f '( ) 1 3 f '( ) n 1 y f ( ) h( ) + g( ) f '( ) h ( ) + g ( ) Eempel: 3 y f '( ) TR f ( ) 500 f ( ) 500 Marginella och totala samband Derivatan till en funktion visar funktionens förändringstakt i en viss given punkt på kurvan, d.v.s. i vilken takt funktionens värde förändras om man marginellt ändrar värdet för förklaringsvariabeln Om den ursprungliga funktionen visar ett totalsamband visar derivatan motsvarande marginella samband Eempel: Derivatan av totalintäktsfunktionen (TR) visar marginalintäktsfunktionen (MR) TR f ( ) 500 MR f ( ) 500 MR visar alltså i vilken takt totalintäkten förändras om man förändrar den kvantitet man säljer marginellt 17

18 Eempel: Ett företag säljer en vara till ett konstant pris 10:-, respektive 0:- per enhet. Företagets totala intäkt är en funktion av kvantiteten TR TR TR Företagets marginalintäkt är här konstant och lika med priset för varan MR 0 MR dtr/d 0 10 MR dtr/d

19 Från ytan under den funktion som visar det marginella sambandet kan man också härleda det totala sambandet Hur mycket ökar företagets totala intäkter om ökar från 500 till 1000? Antag här att priset 0:- TR TR 0 Intäktsökning MR Intäktsökning MR

20 Antag att företagets totala kostnader (TC) visas av funktionen TC ,01 TC TC , kostnadsökning TC Marginalkostnaden (MC) visas av derivatan till TC- funktionen, MC 0,0 MC MC 0,0 30 kostnadsökning / MC

21 Optimering Att söka en funktions högsta eller lägsta värden (maimum eller minimum) Eempel: Att bestämma den kvantitet som maimerar företagets vinst Att bestämma den kombination av olika produktionsfaktorer som minimerar företagets produktionskostnad för en given kvantitet En funktions maimum och minimum finner man antingen där funktionen vänder eller i någon ändpunkt (om sådana finns) y f() Antag att funktionerna är definierade endast för o g() 0 1 Lokalt och globalt maimum och minimum f() har ett lokalt maimum där 0. Detta utgör även ett globalt maimum. g() har lokala maimum där 0 och 1. Den har sitt globala maimum där 0. g() har ett lokalt minimum där 0, men såväl g() som f() verkar saknar globala minimum (så vitt man kan se av grafen) 1

22 Där funktionen vänder är derivatan (normalt) 0, vilket ger oss följande metod för att finna ett globalt maimum eller minimum Bestäm för vilket/vilka värden på som derivatan 0 och huruvida det rör sig om lokala maimum eller minimum y y f() f() 0 0 Undersök derivatan stra före 0 ( 0 - Δ) respektive stra efter 0 ( 0 + Δ) f ( 0 - Δ) f ( 0 ) f ( 0 + Δ) typ av etremvärde positiv noll negativ lokalt maimum negativ noll positiv lokalt minimum Bestäm funktionens värde (d.v.s. värdet för variabeln y) för de värden på man hittat och jämför med eventuella ändpunkter för att avgöra vad som utgör globalt maimum eller minimum

23 Eempel 1: Bestäm den kvantitet som maimerar intäkterna om TR f ( ) 500 MR f ( ) * 50 f ( 49) > 0 f (51) < 0 Funktionen har således ett lokalt maimum för 50 f (50) f ( 0) 0 En jämförelse med ändpunkten visar att 50 även är ett globalt maimum Eempel : Bestäm den kvantitet som maimerar vinsten Företagets vinst π () TR() TC() TR 0 TC ,01 π() 0 ( ,01 ) π ( ) 0 0,0 0 * 1000 π ( 999) 0 0,0 999 > 0 π '(1001) 0 0,0 1001< 0 Vinstfunktionen har således ett lokalt maimum för 1000 π (1000) ( , π ( 0) 4000 ) 6000 En jämförelse med ändpunkten visar att 1000 även är ett globalt maimum Alternativt sätt att bestämma lokalt maimum för vinstfunktionen: π ( ) TR ( ) TC ( ) 0 MR MC 0 MR MC MR 0 MC 0,0 MR MC 0 0,0 * 1000 För lokalt maimum önskar vi sedan att: MR MC > 0 för något mindre än * MR > MC MR MC < 0 för något större än * MR < MC 3

24 Grafisk illustration TC TR TC π TC TR π Vinsten maimeras där MR MC, d.v.s. där lutningen på TR lutningen på TC. MR > MC för stra under 1000 och MR < MC för stra över 1000 lokalt maimum MC MC MR MR MC

25 Funktioner av två variabler Eempel: En produktionsfunktion, där den producerade kvantiteten () antas vara en funktion av mängden kapital (K) och arbetskraft (L) f(k,l) Även nu visar derivatan funktionens förändringstakt i en viss given punkt på kurvan, d.v.s. i vilken takt funktionens värde förändras om man marginellt ändrar värdet för förklaringsvariabeln, men nu finns det två förklaringsvariabler Partialderivator K L partialderivatan med avseende på K. Visar hur förändras om K förändras samtidigt som L hålls konstant partialderivatan med avseende på L. Visar hur förändras om L förändras samtidigt som K hålls konstant När man deriverar partiellt skall man behandla den andra variabeln som en konstant Eempel 1: f(k,l) K + 0K+ L 3 K + 0 3L K L Eempel : f(k,l) K + LK + 5L K + L K + 5 K L 5

26 Nivåkurvor För att undvika tredimensionella figurer åskådliggörs en funktion av två variabler grafiskt vanligen med hjälp av nivåkurvor, som sammanbinder olika kombinationer av förklaringsvariablerna som ger ett visst värde för funktionen Eempel f(k,l) KL Nivåkurvan för 100: 100 KL 100 K L På motsvarande sätt härleds andra nivåkurvor K 5 K100/L K L KL , , , ,5 0 5 L 6

27 Optimering med två förklaringsvariabler, med och utan bivillkor Antag ett företag som tillverkar två olika varor. Producerad och såld kvantitet betecknas X och Y vinstfunktionen: π(x, Y) Y X + Y Y 0 Y 1. π 1000 π 000 π 3000 π 6000 π 5000 π 4000 X 1 X X Antag att företaget kan välja kvantiteter fritt Vinsten maimeras med kombinationen X 0, Y 0, där båda partialderivatorna 0 (OBS, generellt krävs att man går vidare för att avgöra huruvida detta är π π 0 0 X Y maimum, minimum eller något annat) Antag att företaget inte kan välja kvantiteter fritt Vi har ett bivillkor som säger att företaget totalt måste producera och sälja 100 enheter, d.v.s. X + Y 100 (se den streckade linjen i figuren, som visar nivåkurvan för kvantiteten 100) Vinsten maimeras med kombinationen X 1, Y 1, där den nivåkurva som visar bivillkoret tangerar en nivåkurva för den funktion som skall optimeras, d.v.s. där de har eakt samma lutning 7

28 Eempel: Ett minimeringsproblem med bivillkor Säg att företaget i tidigare eempel vill producera 100 så billigt som möjligt. Kombinera nivåkurvan för 100 med nivåkurvor som binder ihop olika kombinationer av K och L som kostar företaget lika mycket Antag att varje enhet K kostar 50:- och varje enhet L kostar 1000:- TC f(k,l) 50K L K 40 TC 10000:- TC 5000:- K 0-4L K L TC , , , Företagets val 100 (bivillkor) K 40-4L K L TC ,5 0 5 L Lösningen till företagets problem (K 0, L 5) finner vi där nivåkurvan som visar den önskade kvantiteten tangerar en nivåkurva som visar kostnaden, d.v.s. där nivåkurvorna har samma lutning 8

Nationalekonomi Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling LINKÖPINGS UNIVERSITET. Matematik och nationalekonomi, en introduktion

Nationalekonomi Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling LINKÖPINGS UNIVERSITET. Matematik och nationalekonomi, en introduktion Nationalekonomi Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematik och nationalekonomi, en introduktion Thomas Sonesson 01 Förord Nationalekonomi är en vetenskap som

Läs mer

Introduktion till nationalekonomi. Föreläsningsunderlag 4, Thomas Sonesson. Marknadens utbud = Σ utbud från enskilda företag (ett eller flera)

Introduktion till nationalekonomi. Föreläsningsunderlag 4, Thomas Sonesson. Marknadens utbud = Σ utbud från enskilda företag (ett eller flera) Produktion Marknadens utbud = Σ utbud från enskilda företag (ett eller flera) Företaget i ekonomisk teori Produktionsresurser FÖRETAGET färdiga produkter (inputs) (produktionsprocesser) (output) Efterfrågan

Läs mer

Introduktion till nationalekonomi. Föreläsningsunderlag 5, Thomas Sonesson

Introduktion till nationalekonomi. Föreläsningsunderlag 5, Thomas Sonesson Marknadsformer Företagets beteende på marknaden, d.v.s. - val av producerad kvantitet - val av pris - val av andra konkurrensmedel varierar med de förhållanden som råder på marknaden - antal aktörer -

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6. KTH matematik Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer Harald Lang 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Svar: 1. 2. 5 3. 1 4. 5 5. 1 6. 6 7. 1 8. 0 9.

Läs mer

Produktionsteori, kostnader och perfekt konkurrens

Produktionsteori, kostnader och perfekt konkurrens Produktionsteori, kostnader och perfekt konkurrens 1 Upplägg Produktionsteori Produktionsfunktionen. Produktion på kort sikt vs. lång sikt. Isokvanter. Skalavkastning. Kostnader Kostnadsfunktionen. Kostnader

Läs mer

(Föreläsning:) 1. Marknader i perfekt konkurrens

(Föreläsning:) 1. Marknader i perfekt konkurrens (Läs själva:) PERFEKT KONKURRENS = FULLSTÄNDIG KONKURRENS 2012-11-25 Här analyserar vi marknadsformen perfekt konkurrens. Marginalprincipen vägleder oss till att inse att företagen ökar produktionen så

Läs mer

Tentamen på kurs Nationalekonomi (1-20 poäng), delkurs 1, Mikroekonomisk teori med tillämpningar, 7 poäng, måndagen den 15 augusti 2005, kl 9-14.

Tentamen på kurs Nationalekonomi (1-20 poäng), delkurs 1, Mikroekonomisk teori med tillämpningar, 7 poäng, måndagen den 15 augusti 2005, kl 9-14. HÖGSKOLAN I HALMSTAD INSTITUTIONEN FÖR EKONOMI OCH TEKNIK Tentamen på kurs Nationalekonomi (1-20 poäng), delkurs 1, Mikroekonomisk teori med tillämpningar, 7 poäng, måndagen den 15 augusti 2005, kl 9-14.

Läs mer

Efterfrågan. Vad bestämmer den efterfrågade kvantiteten av en vara (eller tjänst) på en marknad (under en given tidsperiod)?

Efterfrågan. Vad bestämmer den efterfrågade kvantiteten av en vara (eller tjänst) på en marknad (under en given tidsperiod)? Efterfrågan Vad bestämmer den efterfrågade kvantiteten av en vara (eller tjänst) på en marknad (under en given tidsperiod)? Efterfrågad = vad man önskar att köpa på en marknad under rådande förhållanden

Läs mer

Föreläsning 3-4. Produktionsteori. - Produktionsfunktionen - Kostnadsfunktionen. - Sambandet mellan marginalkostnad, marginalprodukt och lön

Föreläsning 3-4. Produktionsteori. - Produktionsfunktionen - Kostnadsfunktionen. - Sambandet mellan marginalkostnad, marginalprodukt och lön Föreläsning 3-4 Produktionsteori - Produktionsfunktionen - Kostnadsfunktionen - Sambandet mellan marginalkostnad, marginalprodukt och lön - Långsiktiga utbudet Produktionsfunktionen TP=Totalproduktion

Läs mer

Mycket kort repetition av mikrodelen på kursen Introduktion till nationalekonomi. Utbud och efterfrågan

Mycket kort repetition av mikrodelen på kursen Introduktion till nationalekonomi. Utbud och efterfrågan Mycket kort repetition av mikrodelen på kursen Introduktion till nationalekonomi Utbud och efterfrågan 1 Exempeluppgift 1: Elasticiteter När inkomsterna ökade med 7 % ökade efterfrågan på bussresor med

Läs mer

FACIT TILL TENTAMEN, 30/4, 2011 Delkurs 1 FRÅGA 1

FACIT TILL TENTAMEN, 30/4, 2011 Delkurs 1 FRÅGA 1 17 FACIT TILL TENTAMEN, 3/4, 211 Delkurs 1 FRÅGA 1 I. c.(x) 38,25 euro. II. b.(x) Om MC < ATC så sjunker ATC. III. c.(x) 1/3 av skattebördan bärs av konsumenterna och resten av producenterna. 1 3Q = 1

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Tentan ger maximalt 100 poäng och betygssätts med Väl godkänd (minst 80 poäng), Godkänd (minst 60 poäng) eller Underkänd (under 60 poäng). Lycka till!

Tentan ger maximalt 100 poäng och betygssätts med Väl godkänd (minst 80 poäng), Godkänd (minst 60 poäng) eller Underkänd (under 60 poäng). Lycka till! Tentamen består av två delar. Del 1 innehåller fem multiple choice frågor som ger fem poäng vardera och 0 poäng för fel svar. Endast ett alternativ är rätt om inget annat anges. Fråga 6 är en sant/falsk-fråga

Läs mer

Föreläsning 5 Elasticiteter m.m.

Föreläsning 5 Elasticiteter m.m. Föreläsning 5 Elasticiteter m.m. 2012-11-09 Elasticiteter Elasticiteter Efterfrågans priselasticitet Inkomstelasticitet Korspriselasticitet Utbudselasticitet Konsumentöverskott Asymmetrisk information

Läs mer

Utbudsidan Produktionsteori

Utbudsidan Produktionsteori Utbudsidan Produktionsteori Produktion och kostnader Frank kap 9-1 Företaget Produktion och kostnader på kort sikt Produktion och kostnader på lång sikt Isokost och isokvant 1 2 Företaget Vi antar att

Läs mer

Övningsuppgifter på derivator för sf1627, matematik för ekonomer (rev. 1) Produktregeln: derivera 1. 2. 3. 4.

Övningsuppgifter på derivator för sf1627, matematik för ekonomer (rev. 1) Produktregeln: derivera 1. 2. 3. 4. Övningsuppgifter på derivator för sf627, matematik för ekonomer (rev. ) Produktregeln: derivera. 2. 3. 4. 5. 6. Kvotregeln: derivera. 2. 3. 4. 5. Kedjeregeln: derivera. 2. 3. 4. 5. 6. Logaritmisk derivering

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Tentamen i nationalekonomi, tillämpad mikroekonomi A, 3 hp (samt 7,5 hp)

Tentamen i nationalekonomi, tillämpad mikroekonomi A, 3 hp (samt 7,5 hp) Tentamen i nationalekonomi, tillämpad mikroekonomi A, 3 hp (samt 7,5 hp) 2011-08-23 Ansvarig lärare: Viktor Mejman Hjälpmedel: Skrivdon och räknare. Kurslitteratur. Maximal poängsumma: 16 För betyget G

Läs mer

Föreläsning 4- Konsumentteori

Föreläsning 4- Konsumentteori Föreläsning 4- Konsumentteori 2012-11-08 Vad är konsumentteori? Vad bestämmer hur konsumenten väljer att spendera sin inkomst mellan olika varor? Vad bestämmer hur mycket konsumenten köper av en viss vara?

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

FÖRNYELSEBARA RESURSER ETT RÄKNEEXEMPEL. Utgå från en logistisk tillväxtfunktion: = f ( x) = rx 1, där x är populationen, r är den

FÖRNYELSEBARA RESURSER ETT RÄKNEEXEMPEL. Utgå från en logistisk tillväxtfunktion: = f ( x) = rx 1, där x är populationen, r är den FÖRNYELSEBARA RESURSER ETT RÄNEEXEMPEL dx x Utgå från en logistisk tillväxtfunktion: = f ( x) = rx, där x är populationen, r är den dt inneboende tillväxttakten (alltid ett tal mellan noll och ett), och

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Uppgifter att arbeta med inför workshop på kursen

Uppgifter att arbeta med inför workshop på kursen LINKÖPINGS UNIVERSITET Nationalekonomi Marknadsanalys och reglering 730G66 Peter Andersson Uppgifter att arbeta med inför workshop på kursen Dessa uppgifter är ägnade att öva kunskaperna när det gäller

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Mall för Tentamen på Mikroteori med tillämpningar, Fredagen den 29 oktober 2010

Mall för Tentamen på Mikroteori med tillämpningar, Fredagen den 29 oktober 2010 Mall för Tentamen på Mikroteori med tillämpningar, Fredagen den 29 oktober 2010 Fråga 1 Rätt rad: b,d,a,a,d,c,d,c,d,b 1. En vara är normal om a) individens efterfrågan ökar i varans pris b) individens

Läs mer

TENTAMENSUPPGIFTER i MIKROTEORI Från Peter Lohmander 2010-03-02

TENTAMENSUPPGIFTER i MIKROTEORI Från Peter Lohmander 2010-03-02 1 File = EK_GK_OM_Tentafragor Lohmander Peter 010_03_0 TENTAMENSUPPGIFTER i MIKROTEORI Från Peter Lohmander 010-03-0 UPPGIFT 1: Det finns ett särskilt samand mellan ATC s minpunkt och MC, som gäller under

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så

Läs mer

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte):

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte): Linjära samband Räta linjens ekvation Förmågan att se, analsera och förstå olika samband är egenskaper som är viktiga att ha i vardagslivet men oundvikliga för kommande studier och arbetsliv. Med ett samband

Läs mer

Skriv KOD på samtliga inlämnade blad och glöm inte att lämna in svar på flervalsfrågorna!

Skriv KOD på samtliga inlämnade blad och glöm inte att lämna in svar på flervalsfrågorna! Tentamen i nationalekonomi, mikro A 7,5 hp 2011-08-16 Ansvarig lärare: Anders Lunander Viktor Mejman Hjälpmedel: Skrivdon och räknare. Kurslitteratur. Maximal poängsumma: 24 För betyget G krävs: 12 För

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte2 Studiematerialet

Läs mer

Några frågor kring samhällsekonomiska lönsamhetskalkyler

Några frågor kring samhällsekonomiska lönsamhetskalkyler Thomas Sonesson Nationalekonomi Linköpings Universitet Några frågor kring samhällsekonomiska lönsamhetskalkyler 1. Realekonomisk kalkyl och intressentkalkyl En samhällsekonomisk kalkyl kan presenteras

Läs mer

Definitioner - Antaganden - Hypoteser Slutsatser

Definitioner - Antaganden - Hypoteser Slutsatser F1 NATIONALEKONOMI (ECONOMICS) Vetenskapen om hur samhällen använder sina knappa resurser. Knapphet Resurser Knappa resurser VAL => resursfördelningsprocess => VÄLFÄRD Olika sätt att studera resursfördelningen:

Läs mer

Rättningsmall för Mikroteori med tillämpningar, tentamensdatum 090327

Rättningsmall för Mikroteori med tillämpningar, tentamensdatum 090327 Rättningsmall för Mikroteori med tillämpningar, tentamensdatum 090327 Poäng på tentan Astri Muren 090421 Fråga 1 / dugga 1: max 10 p Fråga 2 / dugga 2: max 10 p Fråga 3 / seminarierna: max 10 p Fråga 4

Läs mer

a) Långsiktig jämvikt där aggregerad efterfrågan möter aggregerat utbud på både kort och lång sikt. AU KS

a) Långsiktig jämvikt där aggregerad efterfrågan möter aggregerat utbud på både kort och lång sikt. AU KS Uppgift 1 a) Långsiktig jämvikt där aggregerad efterfrågan möter aggregerat utbud på både kort och lång sikt. AU LS AU KS AE BN* BN b) Kontraktiv penningpolitik: höjd ränta dyrare att låna till investeringar

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Föreläsning 7 - Faktormarknader

Föreläsning 7 - Faktormarknader Föreläsning 7 - Faktormarknader 2012-11-22 Faktormarknader En faktormarknad är en marknad där produktionsfaktorer prissätts och omsätts. Arbetsmarknaden Individen Hela marknaden Efterfrågan på arbetskraft

Läs mer

Lathund, samband & stora tal, åk 8

Lathund, samband & stora tal, åk 8 Lathund, samband & stora tal, åk 8 Den vågräta tallinjen kallas x-axeln och den lodräta tallinjen kallas y-axeln. Punkten där tallinjerna skär varandra kallas origo (0,0). När man beskriver en punkt i

Läs mer

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- STOCKHOLMS UNIVERSITET Nationalekonomiska institutionen HT 2010 Sten Nyberg Omtentamen på Mikroteori med tillämpningar, EC1111, 15 högskolepoäng Fredagen den 29 oktober 2010 Skrivtid: 5 timmar. Utnyttja

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering

Läs mer

Gör-det-själv-uppgifter 1: marknader och elasticiteter

Gör-det-själv-uppgifter 1: marknader och elasticiteter LINKÖPINGS UNIVERSITET Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling Nationalekonomi Gör-det-själv-uppgifter 1: marknader och elasticiteter Uppgift 1-4 behandlar efterfråge- och utbudskurvor samt

Läs mer

AID:... Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat följande begrepp. a) IRR b) APR c) Going concern d) APV. Lösningsförslag: Se Lärobok och/alt Google.

AID:... Uppgift 1 (2 poäng) Definiera kortfattat följande begrepp. a) IRR b) APR c) Going concern d) APV. Lösningsförslag: Se Lärobok och/alt Google. Notera att det är lösningsförslag. Inga utförliga lösningar till triviala definitioner och inga utvecklade svar på essä-typ frågor. Och, att kursen undervisas lite olika år från år. År 2013 mera från Kap

Läs mer

F1-2: Produktionsteori, kostnader och perfekt konkurrens. Upplägg

F1-2: Produktionsteori, kostnader och perfekt konkurrens. Upplägg F1-2:, kostnader och perfekt konkurrens Upplägg Produktionsfunktionen Produktion på kort och lång sikt. Isokvanter Skalavkastning Kostnader Kostnadsfunktionen Kostnader på kort och lång sikt Isokoster

Läs mer

Övningsuppgifter - modul 1: (kapitel 1-3, Perloff upplaga 5 och 6)

Övningsuppgifter - modul 1: (kapitel 1-3, Perloff upplaga 5 och 6) Övningsuppgifter - modul 1: (kapitel 1-3, erloff upplaga 5 och 6) erloff upplaga 5: övningsuppgift 1, 24 och 33 (kapitel 2). erloff upplaga 6: övningsuppgift 2, 3 och 37 (kapitel 2) Del 1: Utbud, efterfrågan

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

VFTF01 National- och företagsekonomi ht 2010 Svar till övning 2, den 7 september

VFTF01 National- och företagsekonomi ht 2010 Svar till övning 2, den 7 september VFTF01 National- och företagsekonomi ht 2010 Svar till övning 2, den 7 september 1. Knapphet (scarcity) är ett viktigt begrepp för att kunna tala om värden. Använd utbudefterfråge-modellen för att analysera

Läs mer

F4 Konsumen+eori. 2010 11 12 charlo+e.svensson@liu.se

F4 Konsumen+eori. 2010 11 12 charlo+e.svensson@liu.se F4 Konsumen+eori 2010 11 12 charlo+e.svensson@liu.se F4 Konsumen+eori Konsumenters preferenser och indifferenskurvor. BudgetrestrikAoner. OpAmal konsumaon. Effekter av en inkomsdörändring. Effekter av

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

E D C B. F alt. F(x) 80% 40p. 70% 35p

E D C B. F alt. F(x) 80% 40p. 70% 35p Institutionen för Samhällsvetenskap Nationalekonomi Campus i Sundsvall Dick Svedin den 12 november 2010 Mikroekonomisk teori A, 7,5hp: Skriftlig omtentamen 2010 11-12 Tentamen består av sammanlagt 6 uppgifter

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Föreläsningsnoteringar 2009 03 17 Bengt Assarsson. Real BNP identitet. IS kurvan (varumarknaden) Y C I G X Q

Föreläsningsnoteringar 2009 03 17 Bengt Assarsson. Real BNP identitet. IS kurvan (varumarknaden) Y C I G X Q Föreläsningsnoteringar 2009 03 7 Bengt Assarsson Real BN identitet Y CI G X Q Y BN i reala termer C hushållens konsumtionsutgifter i reala termer I investeringar i reala termer G offentliga utgifter i

Läs mer

ÖVNINGSUPPGIFTER TILL KURSEN MIKRO- OCH VÄLFÄRDSEKONOMI, HNAA71 EKONOMPROGRAMMET 2007

ÖVNINGSUPPGIFTER TILL KURSEN MIKRO- OCH VÄLFÄRDSEKONOMI, HNAA71 EKONOMPROGRAMMET 2007 LINKÖPINGS UNIVERSITET Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling Nationalekonomi Thomas Sonesson (kursansvarig) Birgit Hagberg ÖVNINGSUPPGIFTER TILL KURSEN MIKRO- OCH VÄLFÄRDSEKONOMI, HNAA71

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

F4 Konsumentteori Konsumentteori Konsumentens preferenser och indifferenskurvor Budgetrestriktioner.

F4 Konsumentteori Konsumentteori Konsumentens preferenser och indifferenskurvor Budgetrestriktioner. F4 Konsumentteori 2011-11-11 Konsumentteori Konsumentens preferenser och indifferenskurvor Budgetrestriktioner Konsumentens val Effekter av prisförändring Effekter av inkomstförändring Inkomst och substitutionseffekt

Läs mer

Lösningsförslag, mikroekonomi vt11, tenta 1. Fråga 1. Fråga 1. a) K. 10 isokost. isokvant. Lc La 20 L

Lösningsförslag, mikroekonomi vt11, tenta 1. Fråga 1. Fråga 1. a) K. 10 isokost. isokvant. Lc La 20 L Lösningsförslag, mikroekonomi vt11, tenta 1 Fråga 1 Fråga 1 a) K 10 isokost Ka isokvant Kc Lc La 20 L Med totalkostnad 1 mkr och givna priser kan man max köpa 10 000K eller 20 000 L eller linjära kombinationer

Läs mer

En effektiv miljöpolitik

En effektiv miljöpolitik En effektiv miljöpolitik Hur stor miljöpåverkan skall vi tillåta? Hur når vi vårt mål Här kommer vi att fokusera på den första frågan, för att sedan utifrån svaret på denna försöka besvara den andra frågan.

Läs mer

Föreläsning 4- Konsumentteori

Föreläsning 4- Konsumentteori Föreläsning 4- Konsumentteori 2012-08-30 Emma Rosklint Vad är konsumentteori? Handlar om konsumentens konsumtionsval. Varför väljer konsumenten att konsumera vissa varor och inte andra? Vad bestämmer hur

Läs mer

INTRODUKTION OCH ELASTICITETER samt uppgifter. 2012-11-25.

INTRODUKTION OCH ELASTICITETER samt uppgifter. 2012-11-25. INTRODUKTION OCH ELASTICITETER samt uppgifter. 2012-11-25. Moment i denna handout: *Nationalekonomins grundprinciper: Läs: kap. 1 i PR. *Utbud, efterfrågan och marknadsjämvikt vid perfekt konkurrens: Läs

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Tentamen på Mikroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng Fredagen den 27 mars 2009

Tentamen på Mikroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng Fredagen den 27 mars 2009 STOCKHOLMS UNIVERSITET Nationalekonomiska institutionen VT 2009 Astri Muren Tentamen på Mikroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng Fredagen den 27 mars 2009 Skrivtid: 5 timmar. Utnyttja skrivtiden

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Gränsvärdesberäkningar i praktiken

Gränsvärdesberäkningar i praktiken Gränsvärdesberäkningar i praktiken - ett komplement till kapitel i analsboken Jonas Månsson När man beräknar gränsvärden använder man sig av en rad olika strategier beroende på det givna problemet. Avsikten

Läs mer

Kostnadsteori: Företagens kostnader. Reviderat 2012-11-27.

Kostnadsteori: Företagens kostnader. Reviderat 2012-11-27. ostnadsteori: Företagens kostnader. Reviderat 2012-11-27. 1. INLEDNING I NE ekonomiska kostnader = alternativkostnader Bokföringskostnad kontra ekonomisk kostnad: Skillnaden mellan dessa begrepp är att

Läs mer

Försättsblad Tentamen

Försättsblad Tentamen Försättsblad Tentamen (Används även till tentamenslådan.) Måste alltid lämnas in. OBS! Eventuella lösblad måste alltid fästas ihop med tentamen. Institution Ekonomihögskolan Skriftligt prov i delkurs Makro

Läs mer

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2 Flervariabelanals I Vintern Översikt öreläsningar läsvecka Denna vecka ägnas nästan uteslutande åt problemet att hitta största och minsta värden till en unktion av lera variabler. Vi kommer att studera

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling Nationalekonomi ÖVNING 4

LINKÖPINGS UNIVERSITET Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling Nationalekonomi ÖVNING 4 LINKÖPINGS UNIVERSITET HT10 Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling Nationalekonomi ÖVNING 4 MIKROEKONOMI, 730G39 INTERNATIONELLA CIVILEKONOMPROGRAMMET Uppgift 1 Är nedanstående påståenden

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva

Läs mer

TENTAMEN A/MIKROTEORI MED TILLÄMPNINGAR Delkurs 1, 7,5hp VT2011. Examinator: Dr. Petre Badulescu 30 april 2011

TENTAMEN A/MIKROTEORI MED TILLÄMPNINGAR Delkurs 1, 7,5hp VT2011. Examinator: Dr. Petre Badulescu 30 april 2011 1 LINNÉUNIVERSITET KALMAR Nationalekonomi TENTAMEN A/MIKROTEORI MED TILLÄMPNINGAR Delkurs 1, 7,5hp VT2011 Examinator: Dr. Petre Badulescu 30 april 2011 Skrivid: 5 timmar Hjälpmedel: Miniräknare. Programmerbar

Läs mer

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Finaltävling i Stockholm den november 008 Förslag till lösningar Problem 1 En romb är inskriven i en konve fyrhörning Rombens sidor är parallella

Läs mer

3. Härled marginalprodukten och genomsnittsprodukten från en totalproduktionskurva med nedanstående (typiska) utseende.

3. Härled marginalprodukten och genomsnittsprodukten från en totalproduktionskurva med nedanstående (typiska) utseende. Övning 5 september 2009 Produktionsteori FRANK kap. 9-11 1. Definiera rörliga och fasta produktionsfaktorer. Svar: Rörliga är de som varierar med den producerade mängden. Fasta är de som är oberoende av

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson Potenser. Matematik 1A. Uppgift nr 10 Multiplicera

DOP-matematik Copyright Tord Persson Potenser. Matematik 1A. Uppgift nr 10 Multiplicera Potenser Uppgift nr Skriv 7 7 7 i potensform Uppgift nr 2 Vilket tal är exponent och vilket är bas i potensen 9 6? Uppgift nr 3 Beräkna värdet av potensen (-3) 2 Uppgift nr 4 Skriv talet 4 i potensform

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

3. Förklara hur en skattehöjning inte nödvändigtvis kommer att innebära att vi arbetar mindre. Visa!!

3. Förklara hur en skattehöjning inte nödvändigtvis kommer att innebära att vi arbetar mindre. Visa!! Övning 7 den 24 september 2009 Faktormarknaderna Frank kap 14-15 1. Hur kan man förklara den i relation till spridningen i marginalproduktivitet låga lönespridningen på arbetsplatser? Läs The Internal

Läs mer

Spridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts.

Spridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts. Spridningsdiagram (scatterplot) En scatterplot som visar par av observationer: reklamkostnader på -aeln and försäljning på -aeln ScatterplotofAdvertising Ependitures ()andsales () 4 Fler eempel Notera:

Läs mer

Tentamen i Makroekonomisk analys (NAA117)

Tentamen i Makroekonomisk analys (NAA117) Mälardalens högskola, nationalekonomi Tentamen i Makroekonomisk analys (NAA117) Kurspoäng: 7,5 högskolepoäng Lärare: Johan Lindén Datum och tid: 2016-05-13, 8.30-12.30 Hjälpmedel: miniräknare Betygsgränser,

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Omtentamen SMI01A CE12. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student)

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Omtentamen SMI01A CE12. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Mikroekonomi Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Omtentamen SMI01A CE12 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2013 08 29 Tid: 9.00 14.00 Hjälpmedel:

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för:

Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Finansiell ekonomi Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: 21FE1B Nationalekonomi 1-30 hp, ordinarie tentamen 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 18/3 16 Tid: 09:00 13:00 Hjälpmedel: Miniräknare, rutat papper,

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. Föreläsning 2: Simplexmetoden. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform. 3. Simplexalgoritmen. 4. Hur bestämmer man tillåtna startbaslösningar? Föreläsning

Läs mer

Övningar Mikro NEGA05 (Matematikekonomi) Marknadsmisslyckanden Arbetsmarknaden

Övningar Mikro NEGA05 (Matematikekonomi) Marknadsmisslyckanden Arbetsmarknaden Övningar Mikro NEGA05 (Matematikekonomi) Marknadsmisslyckanden Arbetsmarknaden Henrik Jaldell Katarina Katz MARKNADSMISSLYCKANDEN 1. Anta att ett naturligt monopol har nedanstående totalkostnadsfunktion

Läs mer

Ränteberäkning vid reglering av monopolverksamhet

Ränteberäkning vid reglering av monopolverksamhet 1 Jan Bergstrand 2009 12 04 Ränteberäkning vid reglering av monopolverksamhet Bakgrund Energimarknadsinspektionen arbetar f.n. med en utredning om reglering av intäkterna för elnätsföretag som förvaltar

Läs mer

Tentamen förslag till lösningar

Tentamen förslag till lösningar Kurs: MS 3280 Nationalekonomi för Aktuarier Tisdagen den 14 december 2004. Tentamen förslag till lösningar Examinator: Lars Johansson Skrivtid: 5 timmar. Utnyttja skrivtiden och håll kontakt med klockan.

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer