KONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:

Transkript

1 KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson oc Staffan Linnæus Niclas Hjelm Formelsamling, miniräknare, passare, gradskiva oc linjal För godkänd kontrollskrivning krävs 7 poäng. Godkänd kontrollskrivning innebär att 6 poäng på ordinarie tentamen får tillgodoräknas. Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga oc lätta att följa. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv elst med blyertspenna! Lycka till!

2 . Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = i punkten (,). ( p) Beräkna derivatan till funktionen ( ) f =. ( p). En liten stålkula sjunker i en viskös vätska. Efter tiden t sekunder ar den sjunkit sträckan s meter, där s = 4t + 0(e -0,70t ). Hur stor är kulans astiget vid tiden,5 s? Svara på decimalform med två gällande siffror. ( p) 4. Beräkna derivatan av funktionen ( ) f ( ) = +. ( p) 5. Bestäm koordinaterna för alla etrempunkter till kurvan y = - 9. Avgör om etrempunkterna är maima eller minima. ( p) 6. Bestäm största oc minsta värdet av funktionen 4 f ( ) = + ( p) i intervallet 4.

3 Lösningar. Kurvans derivata y () =. Tangentens lutning i punkten (,) ges av k = y () =. Tangentens ekvation ansätts på formen y = k + m. Insättning av k = oc att linjen ska gå genom punkten (,) ger = + m m = -. Svar: y = -.. ( ) f = = ( ) f = =.. v(t) = s (t) = (-0,7e -0,7t + 0) = 4-4 e -0,7t. v(,5) = 4-4 e -0,7,5 9,. Svar: 9, m/s. 4. Den inre funktionen är u() = + u () = 4. Enligt kedjeregeln gäller då + 4 = f () = ( ) ( ) [ ] 5. Derivatans nollställen ges av ekvationen 6 9 = 0 = 0. Lösningar = ± + = ±, dvs. =, = -. Teckentabell: - f () f() 5 ma -7 min Svar: Maimipunkt (-, 5), minimipunkt (, -7) Funktionen oc dess derivata derivata f () = är definierade för alla 0. De är därför definierade i ela intervallet 4. Största oc minsta värdena kan bara antas där derivatan ar nollställe eller i intervallets ändpunkter. Derivatans nollställen ges av 4 = 0 = ±. Bara lösningen = ligger i det givna intervallet. Funktionen antar där värdet f() = 4. Funktionsvärdena i intervallets ändpunkter: f() = f(4) = 5. Svar: Största funktionsvärdet är 5, minsta funktionsvärdet är 4.

4 Rättningsmall. Derivatan rätt: + p.. -. Lösningen inte på decimalform: - p. Fel antal gällande siffror: - p. 4. Glömmer inre derivatan: 0 p. 5. Motivering av ma/min saknas -p. Anger bara -värden för etrempunkterna -p 6. Tar med punkten = -: - p.

5 Kontrollskrivning matematik C, 0--. Bestäm g () då g( ) = (p). Bestäm f ( ) med jälp av derivatans definition då f ( ) = (p). Bestäm största oc minsta värdet i intervallet 4 för funktionen 4 8 f ( ) = (p). 4. För funktionen gäller: ( ) = 0 oc ( 0) = Vilken av nedanstående grafer visar funktionen? (Endast svar krävs ) (p) A B C y y y D y E y 5.Till kurvan f ( ) = dras en tangent i den punkt där -koordinaten är 4. Bestäm en ekvation för denna tangent. (p) 6.Ett föremål faller från toppen av världens ögsta lyftkran. Föremålets öjd över marken kan beräknas med formeln ( t) = 96 4,9t meter, där t = tiden i sekunder. Beräkna föremålets astiget då det slår i marken. (p)

6 Svar med lösningsförslag Ks C 0... g( ) =, g () = Svar: g ( ) = 5. f () =, f(+) = ( + ) = + +. f(+) f() = (( ++ ) - ( ))/ = ( ) lim ( -) = 0 Svar: Derivatan av = g () = f ( ) = f () = = 0 4 ( + -5) = 0 ( = -5), = 0 oc =. Beräknade funktionsvärden för intervallgränser oc derivatans nollställen inom intervallet ger f(-) = - 59/, f(0) =, f() = - 05 samt f(4) = - 4/ Svar: Största värde samt minsta värde () =0, stämmer för C oc E (0) =, stämmer för A, B,oc E Svar: är funktionen på bild E 5. = 4, y = f(4) = y - y = k ( - ) f () = 0,5-0,5 y - = 0,5( - 4) k = f (4) = 0,5 y = 0,5 + Svar: Tangentens ekvation är y = 0, Tiden det tar för föremålet att nå marken beräknas med 0 =96 4,9t t = ± (96/4,9) /, den negativa roten förkastas t 6,456.. s. Hastigeten beräknas med derivatan (t) = - 9,8t (6,456) - 6 m/s Svar: Föremålet ar astigeten 6m/s då det träffar marken

7 Rättningsmall Ks 4 C --. Förstaderivatan rätt p Helt rätt p. Ej använt derivatans definition 0p. Derivatans nollställen rätt beräknade p

8 KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson, Staffan Linnæus Niclas Hjelm Formelsamling, miniräknare, passare, gradskiva oc linjal För godkänd kontrollskrivning krävs 7 poäng. Godkänd kontrollskrivning innebär att 6 poäng på ordinarie tentamen får tillgodoräknas. Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar,om inte annat sägs. Lösningarna skall vara tydliga oc lätta att följa. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv elst med blyertspenna! Lycka till!

9 . Bestäm riktningskoeffecienten för tangenten till kurvan y = e i den punkt på kurvan som ar -koordinaten. ( p) Matematiklärare Eamensson rättar tentor. Efter tiden t timmar ar an rättat A st tentor, där A =t -5e -0,t +5 Med vilken astiget rättas tentorna efter,0? (p) Bestäm med derivatans definition, derivatan till f() = (p) 4. 4 Bestäm koordinaterna för alla etrempunkter till funktionen f ( ) = 0, 5 Avgör om etrempunkterna är maima eller minima. (p) 5 För vilket värde på a är den räta linjen y = + a en tangent till kurvan y = 4? (p) 6 Bestäm största oc minsta värdet av funktionen f ( ) = - ( p) i intervallet 6

10 Rättningsmall. -. Fel enet -p. Rätt uppställd differenskvot +p Inte använt derivatans definition -p 4. Bara svarat med -koordinaterna -p Ej verifierat etrempunkternas karaktär -p 5. Beräknat -värdet i tangeringspunkten +p 6. Noterar ej att =0,5 ej tillör intervallet -p Undersöker bara intervallets gränser utan att studera derivatans nollställen -p Förslag på lösningar. Tangenten ar samma lutning som funktionen i tangeringspunkten. Riktningskoefficienten k = y () y = e oc y`() = e Svar: Riktningskoefficienten är e. Derivatan av funktionen ger rättningsastigeten, antal tentor/. A = +e -0,t Vi tiden,0 blir astigeten + e -0,6 4,6 tentor/ Svar:Efter rättas tentorna med en astiget av 4,6 tentor/.. Vi börjar med att förenkla ändringskvoten (f(+) - f())/ (( + ) - )/ = ( ) / Efter utbryning av oc förkortning med erålles + + Slutligen beräknar vi gränsvärdet av den förenklade ändringskvoten då närmar sig 0 lim = Svar: Derivatan av blir

11 4. Vi börjar med att beräkna eventuella nollställen till derivatan. f() = - 0,5 4 f () = 4 - = (4 - ) f () = 0 ger = 0 eller 4 - = 0 Vi ar tre nollställen till derivatan: = -, = 0 samt = Vi sätter in dessa nollställen i andraderivatan för att undersöka etrempunkternas karaktär. Positiv andraderivata betyder minpunkt oc negativ mapunkt. f () = 4 - f (-) = 4 - (-) = f (0) = 4 - (0) = 4 0 f () = 4 - () = Så beräknas y- koordinaterna genom att sätta in derivatans nollställen i f. f() = - 0,5 4 f(-) = (-) - 0,5(-) 4 = 4 f(0) = (0) - 0,5 (0) 4 = 0 f() = () - 0,5() 4 = 4 Svar: Funktionen ar mapunkter i ( -, 4 ) oc (,4 ) samt minpunkt (0,0 ). 5. I tangeringspunkten ar tangent oc funktion samma lutning ( derivata). Funktionen y = 4 - ar derivatan - oc tangenten y = + a,ar k-värdet. Detta ger ekvationen - = oc lösningen = -,5. I tangeringspunkten är även y-koordinaterna lika. Då = -,5 blir funktions värdet 4 - (-,5) =,75 Med = -,5 oc y =,75 kan värdet på a beräknas.,75 = (-,5) + a ger a =6,5 Svar : Värdet på a är 6,5 6. Funktionen ar största oc minsta värde i intervallets gränser eller för eventuella nollställen för derivatan inom intervallet. Funktionen är definierad för 0. Intervallet är 6 Vi börjar med att undersöka eventuella nollställen till derivatan. f ( ) = + =- + 0,5

12 f () = - +0,5-0,5 f () = 0 ger 0,5/ = = / oc = /4 Eftersom derivatans enda nollställe, = /4, ej ligger inom tillåtet intervall kommer funktionen att a största oc minsta värde i intervallgränserna. f( ) = - + = 0 oc f(6) =-6+ 6 = -. Svar: Funktionen ar sitt största värde 0, för = oc sitt minsta värde -, för = 6.

13 KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson, Staffan Linnæus oc Jonas Stenolm Niclas Hjelm Formelsamling, miniräknare, passare, gradskiva oc linjal För godkänd kontrollskrivning krävs 7 av totalt poäng. Godkänd kontrollskrivning innebär att 6 poäng på ordinarie tentamen får tillgodoräknas. Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga oc lätta att följa. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv elst med blyertspenna! Lycka till!

14 . Bestäm f () med derivatans definition, då f =. Redovisa noggrant varje steg. ( p) ( ) 4 4. Bestäm derivatan till funktionen ( ) = f. ( p). Folkmängden i ett land ges av N 0,08 t ( ) miljoner personer, där t är antalet år t = 5,8 e efter januari år 00. Bestäm folkmängdens tillvätastiget den januari år 007. ( p) 4. Bestäm största oc minsta värde för funktionen y = 4 6 på intervallet 0. ( p) 5. Ett rektangulärt trädgårdsland avgränsas av ett stängsel på tre sidor oc av en flod på den fjärde sidan. Bestäm den största area trädgårdslandet kan a om man ar 6 m stängsel till sitt förfogande. ( p) 8 6. Bestäm koordinaterna för samtliga lokala etrempunkter till f ( ) = +. Undersök också etrempunkternas karaktär (maimum eller minimum). (p)

15 Lösningar f ( + ). Derivatans definition: f ( ) = lim 0 Differenskvoten ställs upp oc förenklas: f ( ) 4 ( + ) = 4 ( + + = = ) 4 = (8 + 4) = = Man låter gå mot noll: f ( ) = lim(8 + 4) = = 8 0. Skriv funktionen utan rottecken oc i nämnaren: f 4 4 ( ) = = f ( ) = Svar: f ( ) ( ) = 0 4 = 0 4. Folkmängdens tillvätastiget är detsamma som funktionens derivata. 0,08 t 0, 08 t N ( t) = 5,8 e 0,08 = 0,4644 e 0,08 5,00 Tillvätastigeten januari 007 är N (5,00) = 0,4644 e 0,508 0, 5 miljoner personer / år. Svar: Tillvätastigeten är 0,5 miljoner personer per år. 4. Största oc minsta värde för funktionen ( y = 4 6 ) måste finnas i någon av följande punkter: ) Stationära punkter, d.v.s. punkter där f ( ) = 0. ) Intervallets ändpunkter. ) Derivatan blir y = 6

16 y = 0 6 = 0 = = ± ± 0,707, varav den negativa roten förkastas eftersom den ligger utanför det givna intervallet. Teckenstudium av förstaderivatan runt = 0, 707 : y (0) = 0 6 = 6 < 0 y () = 6 = 6 > 0 Teckenvälingen blir då 0 +, d.v.s. det är ett minimum. y ( ) = 4 ( ) 6 ( ) = 4 ) Ändpunkter: y ( 0) = 0 oc y ( ) = 0 Svar: Minsta värde är 4 y min = oc största värde är ma 0 y = 5. Rektangulärt trädgårdsland: Flod y Trädgårdslandets area är A = y (se figur) Stängslet är 6 m långt: y + = 6 y = 6 Arean som funktion av enbart ena sidans längd (): = (6 ) = 6, med definitionsmängden: 0 < 8 A( ) < (m) A ( ) = 6 4 oc A ( ) = 4 A ( ) = = 0 = 9 A ( ) = 4 < 0 alltså ett maimum A ( 9) = 9 (6 9) = 6 Ändpunkter: A ( 0) = 0 (6 0) = 0 A ( 8) = 8 (6 8) = 0 Svar: Trädgårdslandet kan som mest a en area av 6 m.

17 6. Lokala etrempunkter kan finnas i stationära punkter eller i ändpunkter (saknas) f ( ) = +, f ( ) =, f ( ) = ( ) = 8 8 f ( ) = 0 = 0 = = 9 = ± Undersök karaktär: 6 6 f ( ) = = < 0 alltså ett maimum. ( ) f ( ) = = > 0 alltså ett minimum 7 Funktionsvärden i etrempunkter beräknas: 8 f ( ) = ( ) + = 8 f ( ) = + = Svar: Funktionen ar ett lokalt maimum i (-, -), oc ett lokalt minimum i (, ).

18 Rättningsmall. Varje felaktig term -p f = 0 inget avdrag 4 Svarar med ( ). Enet saknas eller felaktig enet -p Fel tid -p 4. Beaktar bara ändpunkterna -p Beaktar bara punkter där derivatan är noll (oc drar därutöver slutsatsen största värde saknas -p Ej ittat negativ rot till f ( ) = 0 -p Ej förkastat negativ rot till f ( ) = 0 -p 5. Definitionsmängd saknas -p Verifierar ej ma -p Verifierar ma, men kontrollerar ej ändpunkter inget avdrag 6. Punkternas karaktär ej bestämd -p Bestämmer korrekt ena etrempunkten oc dess karaktär p Bestämmer ej y-koordinater -p

19 KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson, Håkan Strömberg Niclas Hjelm Formelsamling, miniräknare, passare, gradskiva oc linjal För godkänd kontrollskrivning krävs 7 poäng. Godkänd kontrollskrivning innebär att 6 poäng på ordinarie tentamen får tillgodoräknas. Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar,om inte annat sägs. Lösningarna skall vara tydliga oc lätta att följa. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv elst med blyertspenna! Lycka till!

20 . Bestäm riktningskoefficienten för tangenten till kurvan f() = + i den punkt på kurvan som ar -koordinaten 4. ( p). Höjden, meter över marken, för ett föremål som släpps från en klippa kan beräknas med (t) = 00-5t, där t är tiden i sekunder. Beräkna astigeten på föremålet då det är 0 meter över marken (p). Bestäm med derivatans definition, derivatan till f() = (p) 4. Bestäm koordinaterna för alla etrempunkter till funktionen f() = +. Avgör för varje etrempunkt om denna är maima eller minima. (p) 5. En rektangel, ritad i den första kvadranten, ar två av sina sidor på koordinatalarna, ett örn i origo oc det motsatta örnet på kurvan y =. Bestäm rektangelns maimala area. (p) 6. Bestäm största oc minsta värdet av funktionen f() = + i intervallet 0,5 5 (p)

21 Rättningsmall. Helt rätt p. Beräknat f (0) -p. Ställt upp differenskvoten rätt p Inte använt derivatans definition -p 4. Inte svarat med både - oc y-koordinaterna -p Ej verifierat etrempunkternas karaktär -p Endast ittat en etrempunkt -p 5. Ej angett definitionsmängd -p Ej undersökt etrempunktens karaktär -p 6. Undersöker bara intervallets gränser utan att studera derivatans nollställen -p Undersöker ej etrempunktens karaktär inget avdrag Förslag på lösningar. Tangenten ar samma lutning som funktionen i tangeringspunkten. Riktningskoefficienten k = f (4) f () = oc f`(4) = 4 Svar: Riktningskoefficienten är /4. Hastigeten på föremålet kan beräknas med derivatan vid den tid föremålet är 0 m över marken. Börjar således med att beräkna ur lång tid det tar för föremålet att nå 0m. (t) = 00-5t, = 0 ger 00-5t = 0 t > 0 t = 6 oc t = 6, ( t = - 6 uppfyller ej def.villkor ). `(t) = -0t `(6) = -60

22 Svar:Vid tiden 6 s faller föremålet med astigeten 60m/s... Ställer upp oc förenklar differenskvoten, f(+) f() där f() = , oc f(+) = (+) +5(+)+6) = f ( + ) f ( ) = ( + + 5) Enligt derivatans definition, ( + + 5) f ( ) = lim = +5 0 f ( ) = lim 0 f ( + ) f ( ) Svar: Derivatan till funktionen f() = ++5 är Vi börjar med att beräkna eventuella nollställen till derivatan. =. f ( ) + f () = + 6 = ( + ) f () = 0 ger = 0 eller + = 0 Vi ar två nollställen till derivatan: = -, = 0 Vi sätter in dessa nollställen i andraderivatan för att undersöka etrempunkternas karaktär. Positiv andraderivata betyder minpunkt oc negativ mapunkt. f () = f (-) = 6(-) + 6 = mapunkt f (0) = 6 0 minpunkt Så beräknas y- koordinaterna genom att sätta in derivatans nollställen i f. =. f ( ) + f(-) = (-) + ((-) = 4 f(0) = 0

23 Svar: Funktionen ar mapunkt i ( -, 4 ) samt minpunkt (0,0 ). 5. Rektangeln ar arean bas öjd. I den första kvadranten är basen oc öjden y. Eftersom y =, så blir rektangelarean A() = (- ) =, 0 < < A() undersöks med derivata. A`() = A`() =0 ger = oc =4 Enligt definitionsvillkoren undersöker vi ma- eller min endast för =. A``() = -6 oc A``() < 0 Funktionen ar bara en etrempunkt, mapunkt, i intervallet, varför A ma ges av A() = 8 = 6 Svar : Maimal area för rektangeln är 6 a.e. 6. Funktionen ar största oc minsta värde i intervallets gränser eller för eventuella nollställen för derivatan inom intervallet. Funktionen är ej definierad för = 0. Intervallet är 0,5 5 Vi börjar med att undersöka eventuella nollställen till derivatan. f() = + / = + - f () = - = / f () = 0 ger / = 0 = ger nollställen för derivatan för = - oc = Eftersom = - ligger utanför tillåtet intervall, undersöker vi funktionens största oc minsta värde för = 0,5, = samt = 5. f(0,5 )= 0,5 + /0,5 = + 4 = 5 f() = + / = + =4 f(5) = 5 + /5 = 0 + 0,4 = 0,4.

24 Svar: Funktionen ar sitt största värde0,4, för = 5 oc sitt minsta värde 4, för =.