DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

Transkript

1 SUBSTITUTIONER I DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Innehåll: I) Allmänt om substitutioner i förstaordningens DE II) Ekvationer av tpen ( ) F( ) I) I många fall kan en differential ekvation av första ordningen förenklas genom en lämplig substitution En substitution har en av följande former: ( ) F(, ) (ekv) i) ( ) G(, ), ii) ( ) H (, ) eller L (,, ) 0, där () är den na obekanta funktionen Om vi t e inför en n funktion () genom ett samband ( ) G(, ) (sam ) då deriverar vi sambandet (med avseende på ), antingen termvis eller med hjälp av kedjeregeln ( ) G(, ) G(, ) ( ) Därefter substituerar vi ( ) G(, ) och ( ) G(, ) G(, ) ( ) i (ekv) och får en n ekvation med den na obekanta funktionen () Om substitutionen ges i formen ( ) H (, ) eller i formen L (,, ) 0 ger vi på liknande sätt Uppgift Sida av 7

2 Använd substitution ( ) arctan( ( )) för att lösa följande differentialekvation ( ) arctan( ( )) ( ( )) 9( ( )) (*) METOD : Vi kan lösa ovanstående ekvation genom att först bestämma () ur sambandet ( ) arctan( ( )) Vi har tan() och därmed ( ) Detta substitueras i ekvation (*) och fås ( tan ( )) 9 ( tan ( )) ( ) Notera att sin ( ) ( ) ( ) ( ) sin ( ) tan ( ) ( ) Därför kan vi förkorta ekvationen med Vi får en enkel linjär DE ( ) 9 Härav Ce Eftersom tan() får vi slutligen tan( Ce ) Svar: tan( Ce ) METOD : Substitutionen ( ) arctan( ( )) ger ( ) ( ) ( ) eller ( ( )) ( ) ( ) som vi substituerar i DE: Vi får ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) 9( ( )) Ovanstående ekvation förkortas med ( ( )) Vi får en enkel linjär DE ( ) ( ) 9 Härav Ce Från substitutionen ( ) arctan( ( )) har vi tan() och därmed tan( Ce ) Svar: tan( Ce ) Sida av 7

3 Uppgift Använd substitutionen ( ) ln( ( )) för att lösa följande (icke-linjära) ln( ) ekvation 0, där, 0 och 0 ( ) ln( ( )) (Anmärkning: vi kan även lösa ut variabelbte) e som ger e och fortsätta med detta Om vi dividerar DE med får vi ln( ) 0 (*) Substitution i ekvationen (*) ger en linjär DE med avseende på eller 0 (**) F e ln Vi använder formeln ( ) F ( C F Q( ) d) och får ln ln ( ) e ( C e d) = ( d C ) = ( C 4 ) 4 C 4 Eftersom ( ) ln( ( )) har vi ( ) e dvs e C 4 Svar: e C 4 ============================================================== Sida av 7

4 II) EKVATIONER AV TYPEN ( ) F( ) En ekvation av tpen ( ) F( ) (ekv H) överför vi till en separabel DE genom naturliga substitutionen (dvs ( ) ( ) ) Från sambandet får vi, som vi deriverar på och får Detta substitueras i ekvation (ekv H) och fås F() Här kan vi separera variabler: d F( ) eller F( ) som ger d d F( ) d (dvs en ekvation med separabla variabler) Uppgift Lös följande begnnelsevärdesproblem Ange också lösningens (största) eistensinervall e, ( ) Substitutionen ger som vi deriverar och får Detta substitueras i ekvationen och fås följande separabel DE e Härav d d d e e eller d e integrera båda leden e d d Vi har separerat variabler Kvarstår att Sida 4 av 7

5 d e d e ln C Eftersom den sökta lösningen går genom punkten (,) dvs är positivt, väljer vi Alltså e ln C Från sambandet har vi ln C (Den allmänna lösningen på implicit form) e Begnnelsevillkoret ( ) ger e 0 C och därmed är e ln e är den sökta lösningen på implicit form Vi löser ut och får e e form) ln ln( e ln ) ln( e ln ) (som är lösningen på eplicit Lösningen är definierad om två villkor är uppfllda, V: 0 och V: e ln 0 dvs ( ) e e Alltså är lösningens definitionsintervall given av 0 ( e ) e ( e ) Svar: ln( e ln ), 0 e n Definition En funktion G(, ) kallas homogen av graden n om G( t, t) t G(, ) för alla T e är t R homogen av graden, 4 är homogen av graden /5, 5 4 är homogen av graden, 4 5 är homogen av graden 0 Kvoten av två homogena funktioner av graden n ( dvs av samma grad) är en homogen n funktion av graden 0 och, genom att förkorta kvoten med, kan skrivas som F ( / ) dvs en funktion av enbart / Till eempel (Vi förkortade med ) Sida 5 av 7

6 Detta egenskap används för att skriva ekvationer av tpen G(, ), där täljaren och G (, ) nämnaren är homogena av samma grad, på formen F( ) Detta är anledningen att ekvationen F( ) kallas homogen Det är viktigt att inte förväla sådana homogena ekvationer med linjära homogena DE som kommer oftare i vår kurs och generellt oftare i tillämpningar ( Eempelvis är a( ) 0 en linjär homogen DE av första ordningen; a( ) b( ) 0 är en linjär homogen DE av andra ordningen) Uppgift 4 Lös följande begnnelsevärdesproblem Ange också lösningens (största) eistensinervall, ( ) ( genom att förkorta med ) kan skrivas som Substitutionen ger som vi deriverar och får Detta substitueras i ekvationen och fås följande separabel DE som förenklas till d d dvs d d Vi integrerar båda leden och får ln C Vi väljer eftersom lösningen går genom (, ) dvs är negativt Från sambandet har vi 4ln( ) D Sida 6 av 7

7 Villkoret ( ) ger 4 D och därmed 4ln( ) 4 (4ln( ) 4) Härav (4ln( ) 4) Eftersom är negativt ln( ) ) och slutligen (notera igen att är negativt ) ln( ) är den lösning som går genom (, ) Utrcket innehåller roten och logaritm och är definierad om följande två villkor är uppfllda; V: 0 dvs 0 och V: ln( ) 0 ln( ) e e Alltså är (, e ] det största eistens intervall för lösningen ln( ) Svar: ln( ), (, e ] Sida 7 av 7