Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Transkript

1 TENTAMEN 7 juni 2011 Tid: 13:15-17:15 Moment: TEN2 (Analys), 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008 (Program: Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och analys, HF1006 (Program: Datateknik), lärare: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs 10 av max 24 poäng. För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng. Hjälpmedel på tentamen TEN2: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx). Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget. Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. Uppgift 1. (4p) Bestäm följande gränsvärden 2 2 lim lim lim lim 2 3 Uppgift 2. ( 4p) Bestäm ekvationen för a) tangenten b) normalen till kurvan 30 i punkten (1,1). Uppgift 3. ( 4p) Vi betraktar funktionen 8 4 a) Bestäm eventuella asymptoter. b) Bestäm eventuella stationera punkter och deras typ. c) använd resultaten i a) och b) för att rita grafen till funktionen. d) Bestäm funktionens värdemängd.

2 Uppgift 4. ( 4p) Beräkna följande integraler Uppgift 5. ( 2p) Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området som begränsas av kurvorna och roterar kring x-axeln. Uppgift 6. ( 2p) Bestäm den allmänna lösningen till följande differentialekvation Uppgift 7. ( 4p) Bestäm strömmen i(t) ( den allmänna lösningen) i nedanstående LRC krets om resistansen R = 15 ohm, spolens induktans L = 1 henry, kondensatorns kapacitans C = farad och batteriets spänning 12 volt. Tips: Använd Kirchhoffs spänningslag (=potentialvandring) och följande relationer: spänningsfallet över resistorn =, spänningsfallet över spolen =, spänningsfallet över kondensatorn =, Mellan laddningen och strömmen råder sambandet. Lycka till!

3 FACIT: Uppgift 1. (4p) Bestäm följande gränsvärden 2 2 lim lim lim lim lim alternativ lösning: lim lim , lim 0 lim lim 3 2 ö 21/ lim 32/ lim , lim 0 2 lim 3 0, lim Uppgift 2. ( 4p) Bestäm ekvationen för a) tangenten b) normalen till kurvan 30 i punkten (1,1). Anmärkning: Substitutionen x=1, y = 1 i kurvans ekv. visar att punkten (1,1) ligger på kurvan. Implicitderivering ger , Alltså tangentens riktningskoefficient är 1 Därför har normalen riktningskoefficienten 1/ 1

4 Ekvationen för den räta linje som har koefficient k och går genom punkten, är. Härav får vi Tangentens ekvation : ( eller 2 ) Normalens ekvation: ( eller ) Svar: Tangentens ekvation : 2 Normalens ekvation: Uppgift 3. ( 4p) Vi betraktar funktionen 8 4 a) Bestäm eventuella asymptoter. b) Bestäm eventuella stationera punkter och deras typ. c) använd resultaten i a) och b) för att rita grafen till funktionen. d) Bestäm funktionens värdemängd. a) ASYMPTOTER: Nämnaren 4 kan inte vara 0. Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla x och därför har funktionen INGEN vertikal (lodrät) asymptot. Vi undersöker om funktionen har någon horisontell ( vågrätt) asymptot: samma gäller om x går mot Alltså f(x) går mot 0 då x går mot. lim lim lim lim Med andra ord är x axeln en horisontell ( vågrät) asymptot då x går mot. ( Därmed har funktionen INGEN sned asymptot ) Alltså har funktionen en horisontell asymptot y=0 ( x axeln) då x går mot. b) STATIONÄRA PUNKTER

5 Första derivatans tecken: En stationer punkt S(0, 2); maximum. c) GRAFEN till funktionen d) VÄRDEMÄNGDEN Vi ser från grafen att 0 2 Svar: a) En horisontell asymptot y=0 (x-axeln) b) 2 för 0 c) se ovanstående graf d) Värdemängden: 0 2 Uppgift 4. ( 4p) Beräkna följande integraler 5 2

6 b) Först delar vi integranden i partiella bråk: Nämnaren faktoriseras med hjälp av formeln : 5 och 1) : ( I vårt fall Ansats: Eftersom ( *) måste gälla för varje x vi kan bestämma A och B genom att substituera i (*) först 5 och därefter 1 ( detta är enklast sätt den här gången). ö 5 å /4 1 å å /4 Alltså 1/4 och 1/4, och därför 1 1/4 1/

7 Substitution: 4 = Uppgift 5. ( 2p) Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området som begränsas av kurvorna och roterar kring x-axeln. Låt och 0 1 ( Lägg märke till att i intervallet [0,1] t ex 1/2 1/2, 1/2 1/4.) Volymen= Svar: Volymen Uppgift 6. ( 2p) Bestäm den allmänna lösningen till följande differentialekvation Karakteristiska ekvationen för homogena delen: , 2 Därför är läsningen till den homogena delen. Höger ledet är en konstant=20. Därför har vi en partikulär lösning av typ Vi substituerar, 0 och 0 och får

8 Alltså 2 och därmed 2 är den allmänna lösningen till vår ekvation. Svar: 2 Uppgift 7. ( 4p) Bestäm strömmen i(t) ( den allmänna lösningen) i nedanstående LRC krets om resistansen R = 15 ohm, spolens induktans L = 1 henry, kondensatorns kapacitans C = farad och batteriets spänning 12 volt. Tips: Använd Kirchhoffs spänningslag (=potentialvandring) och följande relationer: spänningsfallet över resistorn =, spänningsfallet över spolen =, spänningsfallet över kondensatorn =, Mellan laddningen och strömmen råder sambandet. Med hjälp av Kirchhoffs spänningslag (=potentialvandring) får vi följande diff. ekv med två obekanta och. För att eliminera deriverar vi (*) och använder :

9 Nu substituerar vi givna värden på L=1, R=15, C=1/50 och 12 dvs 0 och får Vi har fått en homogen diff. ekv. med konstanta koefficienter. Karakteristiska ekvationen: , 5 Därmed är den allmänna lösningen Svar :